材料力学(I) 课件全套 孙训方 第1-9章 绪论及基本概念-压杆稳定

1第1章绪论及基本概念§1-1材料力学的任务§1-2材料力学与生产实践的关系§1-3可变形固体的性质及其基本假设§1-4杆件的几何特性§1-5杆件变形的基本形式2§1-1材料力学的任务结构物和机械由构件组成。3结构物实例4对构件在荷载作用下正常工作的要求Ⅰ.具有足够的强度——荷载作用下构件不断裂，荷载去除后构件不产生过大的永久变形(塑性变形)FF(a)FF钢筋(b)5

美国的Tacoma老桥于1940年11月7日因风力引起的振动而产生断裂破坏。6荷载未作用时塑形变形示例荷载作用下F荷载去除后7塑形变形示例8Ⅱ.具有足够的刚度——荷载作用下的弹性变形不超过工程允许范围。荷载未作用时荷载去除后荷载作用下F9弹性变形示例10Ⅲ.满足稳定性要求——对于理想中心压杆是指荷载作用下杆件能保持原有形态的平衡。理想中心压杆11理想中心压杆12

在满足上述强度、刚度和稳定性要求的同时，须尽可能合理选用材料和降低材料消耗量，以节约投资。材料力学包含的两个方面理论分析实验研究测定材料的力学性能；解决某些不能全靠理论分析的问题13§1-2材料力学与生产实践的关系赵州桥(石拱桥)595-605年建，充分利用石料的抗压缩强度好的特性。安澜竹索桥(宋代建)(1964年改为钢缆承托的索桥)充分利用竹材的抗拉伸强度好的特性。14通过实验建立理论的初期伽利略(G.Galileo)1638年提出计算梁强度的公式(但结论不正确)胡克(R.Hooke)1678年发表根据实验得出的物理定律——胡克定律15

材料力学是随生产的发展而建立的关于强度、刚度和稳定性计算的理论。生产实践科学实验材料力学16§1-3可变形固体的性质及其基本假设

材料在荷载作用下都会产生变形——尺寸改变和形状改变——可变形固体。对可变形固体的基本假设：Ⅰ.连续性假设——无空隙、密实连续。(1)从受力构件内任意取出的体积单元内均不含空隙；(2)变形必须满足几何相容条件，变形后的固体内既无“空隙”，亦不产生“挤入”现象。据此：17Ⅱ.均匀性假设——各点处材料的力学性能相同。对常用工程材料，尚有各向同性假设。Ⅲ.小变形假设——构件在承受荷载作用时，其变形与构件的原始尺寸相比甚小，甚至可以略去不计。18§1-4杆件的几何特性直杆曲杆主要几何因素：横截面、轴线等截面杆和变截面杆19§1-5杆件变形的基本形式Ⅰ.轴向拉伸或轴向压缩木压杆20Ⅱ.剪切21剪切变形22Ⅲ.扭转23扭转变形24Ⅳ.弯曲F1=F2时(从而亦有FA=FB)车轴的AB部分不受剪切——纯弯曲。车轴的外伸部分既受弯又受剪——横力弯曲25弯曲变形26

工程中常用构件在荷载作用下，大多为几种基本变形形式的组合——组合变形。烟囱(压缩+横力弯曲)齿轮传动轴(扭转+水平面内横力弯曲+竖直面内横力弯曲)厂房吊车立柱(压缩+纯弯曲)27赵州桥世界上现存最早、跨度最大的空腹式单孔圆弧拱石桥。位于中国河北省赵县，跨洨水。原名安济桥，俗称大石桥。隋开皇十五年至大业元年(595－605年)由匠人李春修建。净跨37.02m，矢高7.23m，桥面宽9m。拱由28券(窄拱)并列组成。大拱券上两端各建有两个小拱(净跨分别为2.85m和3.81m)，以减轻桥身自重和增大泄洪面积。由于桥位良好、基底应力适宜，千余年来虽经多次洪水和地震，桥身基本完好。该桥构思精巧，造型稳重，是世界桥梁史上的杰作。1961年定为中国全国重点文物保护单位。28安澜竹索桥安澜竹索桥是国家重点文物保护单位，相传始建于李冰建都江堰的战国末期，宋代时重建。历史上这座桥曾毁坏过几次，当时的政府均马上加以重修。这座桥原为一座竹索桥，现已改建成钢索桥，只是表面进行了仿竹木处理。全桥有九墩八孔，长340m,宽1.4m，高13m。29胡克（HookeRobert,1635－1703年)

胡克1635年出生于英格兰怀特岛清水村,1653年到牛津大学作工读生。1655年成为玻意耳的助手，由于他的实验才能，1662年被任命为皇家学会的实验主持人，1663年获硕士学位，同年被选为皇家学会正式会员，又兼任了学会陈列室管理员和图书17世纪英国优秀的物理学家和天文学家。他的成就是多方面的。在光学和引力研究方面仅次于牛顿，而作为科学仪器的发明者和设计者，在当时是无与伦比的。301665年，胡克提出了光的波动学说，将光振动的传播同水波的传播相比较。1672年，他进一步指出，光振动可以垂直于光传播的方向，他还研究了云母片的颜色，确认光现象随着云母片厚度的变化而变化。管理员。1665年任格雷姆学院几何学教授，1667－1683年任学会秘书并负责出版会刊。1703年在伦敦逝世。

胡克根据弹簧实验的结果，于1678年得出了胡克定律，即在比例极限内，弹性物体的应力与应变成正比。31

胡克的主要著作有《显微检测法》、《哲学实验与观察》等。1674年，胡克根据修正的惯性原理，以及离开太阳的离心力同向着太阳的吸引力之间的平衡，提出了行星运动的理论。32伽利略（GalileoGalilei,1564－1642年)

意大利物理学家、天文学家。生于意大利北部佛罗伦萨一个贵族的家庭。1581年入比萨大学学医。主张研究自然界必须进行系统的观察和实验，是近代实验科学与机械唯物主义的奠基者之一。通过实验，推翻了向来奉为权威的亚里士多德关于“物体下落的速度和重量成比例”的学说。还发现物体的惯性定律、摆振动的等时性、抛体运行定律，并确定了伽利略相对性原理，因而被认为是经典力学和实验物理的先驱。331632年发表《关于两种世界体系对话》，反对托勒密的地心体系，次年遭到罗马教廷异端裁判所判罪判刑。此后他完成了《两种新科学的对话》。他主张：自然之书以数学特征写成。34第一章结束35第2章轴向拉伸和压缩§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-2内力·截面法·及轴力图§2-3应力·拉(压)杆内的应力§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律§2-5拉(压)杆内的应变能§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-7强度条件·安全因数·许用应力§2-8应力集中的概念36§2-1轴向拉伸和压缩的概念

工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图37受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆桁架的示意图（未考虑端部连接情况）38§2-2内力·截面法·及轴力图

材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。也就是由于外力作用于构件而产生的附加内力。Ⅰ.内力

根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。

通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。39Ⅱ.截面法·轴力及轴力图(1)假想地截开指定截面；(2)用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；(3)根据分离体的平衡求出内力值。步骤：FN=F40

横截面m-m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)——轴力。取横截面m-m的左边或右边为分离体均可。轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定:当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力背离截面FN=+F41

用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面FN=-F42

轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。F(f)(c)F43试作图a所示杆的轴力图。例题2-1441.用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方便，先求出约束力

FR=10kN。在AB段用1-1截面将杆截开，以左端杆为分离体（图c），由SFx=0得FN1=10kN(拉力)10kN例题2-1解:45以图d为分离体，由SFx=0，得FN2=50kN(拉力)10kN40kN例题2-146取截面3－3右边为分离体（图e），假设轴力为拉力。同理，FN4=20kN(拉力)由SFx=0，得FN3=-5kN（压力）。(e)25kN20kN例题2-147由轴力图可见2.以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小，由以上结果作轴力图如图所示。例题2-148试作图a所示杆的轴力图。例题2-2FFFl2ll(a)ABCD491.用截面法分别求各段杆的轴力约束反力为FR=F例题2-2FR2FFFq11233(b)l2llxABCD解:50以图c为分离体，得FN1=F以图e为分离体，得FN3=F例题2-2(c)11AF33D(e)2FFFqFR11233(b)l2llxABCD51以图d为分离体，得例题2-2BqFFx1A22(d)2FFFqFR11233(b)l2llxABCD52FN

图FFF+-+(f)2.由以上结果画出轴力图如图f所示例题2-2FFFl2ll(a)ABCD53求分布荷载作用的BC段的轴力时，作截面之前不允许用合力2lq＝2F代替分布荷载。作截面之后，利用平衡方程求轴力时，方可用合力qx1代替分布荷载。求轴力时，不允许将力沿其作用线段，例如，将作用在D截面的力F移到C截面时，AB、BC段的轴力不变，而CD段轴力为零。例题2-2FFFl2ll(a)ABCD54§2-3应力·拉(压)杆内的应力Ⅰ应力的概念

受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积DA上分布内力的平均集度即平均应力，，其方向和大小一般而言，随所取DA的大小而不同。55

该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。56总应力p法向分量切向分量正应力s切应力t某一截面上法向分布内力在某一点处的集度某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力量纲：ML-1T-2应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。57Ⅱ拉(压)杆横截面上的应力(1)与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；(2)s在横截面上的变化规律横截面上各点处s

相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN；横截面上各点处s

不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。58为此：(1)观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。(2)设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。59(3)推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s都相等。(4)等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。60注意：(1)上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。(2)即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。(3)圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。61q=F/AqF/2F/2F/2F/2FFFFFFFF(a)(b)

这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚绍中编《材料力学精讲》，P15)。62

试求图a所示正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。例题2-3631.作轴力图如图所示。分别求各段柱的工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力Ⅱ段柱横截面上的正应力(压应力)(压应力)例题2-364

结果表明，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa

(压应力）例题2-365

试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

例题2-466

薄壁圆环(δ<<d)在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力FN后，用式s=FN/(bδ)求拉应力。例题2-4解:67用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离体，如图b所示。分布力的合力为由SFy=0，得径向截面上的拉应力为例题2-468Ⅲ.拉(压)杆斜截面上的应力斜截面上的内力：

变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相互平行。两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。69斜截面上的总应力：

推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。

式中，为拉(压)杆横截面上(a

=0)的正应力。

70斜截面上的正应力(normalstress)和切应力(shearingstress)：

正应力和切应力的正负规定：

71思考：1.写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。

2.拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？kk723.对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其上的切应力t0=0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况——该点处的应力状态(stateofstress)？73§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律拉(压)杆的纵向变形

基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：

纵向总变形Dl=l1-l

（反映绝对变形量）

纵向线应变（反映变形程度）74x截面处沿x方向的纵向平均线应变为

图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体75线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。一般情况下，杆沿x方向的总变形

x截面处沿x方向的纵向线应变为

沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体76横向变形——与杆轴垂直方向的变形在基本情况下77引进比例常数E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),适用于拉(压)杆。

式中：E称为弹性模量(modulusofelasticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA——

杆的拉伸(压缩)刚度。胡克定律(Hooke’slaw)

工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力78胡克定律的另一表达形式：

←单轴应力状态下的胡克定律

低碳钢(Q235)：

79注意：(1)单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。80(2)单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力s方向的线应变e与正应力之间的关系，不适用于求其它方向的线应变。81单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：82低碳钢(Q235)：n

=0.24~0.28。

亦即

横向变形因数(泊松比)(Poisson’sratio)

单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e

与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poisson’sratio)：83(2)横截面B,C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。(1)列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个杆纵向变形的表达式。

84FFFN

图F+-+位移：变形：85(3)图(b)所示杆，其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图(a)的变形有无不同？各横截面及端面的纵向位移与图(a)所示杆的有无不同？何故？86FFFN

图F+-+位移：变形：87

求例题2-4中所示薄壁圆环的直径改变量Dd。已知E=210GPa，d=200mm，d=5mm，p=2MPa。例题2-588解:1.由例题2-4已求出圆环径向截面上的正应力为例题2-5892.因为p<<s，所以在计算变形时可忽略内压力的影响，则薄壁圆环沿圆环切向的线应变e（周向应变）与径向截面上的正应力s

的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即例题2-590圆环直径的改变量(增大)为3.圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed有如下关系：例题2-591

图示杆系中，荷载

P=100kN。试求结点A的位移DA。已知：a=30°，l=2m，两杆直径均为d=25mm，材料的弹性模量为E=210GPa。例题2-692

求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节点的位置。本例中，解除铰链A

的约束，设1，2

杆的伸长量分别为Dl1和Dl2，分别以B和C为圆心，以l1

+Dl1和l2+Dl2为半径画圆弧，两圆弧的交点A'为变形后A点的精确位置。但在小变形时，

Dl1<<l1，Dl2<<l2，可近似用A1B和A2C的垂线代替圆弧，得到交点A'作为变形后A点的位置。再根据位移图所示的几何关系求A的位移。Dl1Dl2(b)例题2-693由胡克定律得其中解:1.分别求1，2两杆的轴力及伸长由结点A的平衡方程得例题2-6942.求A点的位移

由图b可见因为Dl1=Dl2，所以DAx=0Dl1Dl2(b)例题2-695在小变形情况下，确定杆系变形后的位置时，用杆端垂线代替圆弧线是本题的重点也是难点，一定要掌握。2.杆系节点A的位移是因杆件变形所引起，但两者虽有联系但又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。例题2-696§2-5拉(压)杆内的应变能

应变能(strainenergy)——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。

弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作功W，Ve=W。应变能的单位为J（1J=1N·m）。97拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能或外力F所作功：

杆内应变能：98亦可写作或或应变能密度

ve——单位体积内的应变能。应变能密度的单位为J/m3。99沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体100

求如图所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理(Vε=W)求结点A的位移DA。已知：P=100kN，杆长l=2m，杆的直径d=25mm，a

=30°，材料的弹性模量E=210GPa。例题2-7101

利用Vε=W只能求P力的作用点沿P力方向的位移。本题中由对称性可知，A点的水平位移DAx=0，只有竖直位移DAy

，即DA=DAy所以可用1/2PDA=

Vε求DA。例题2-71021.

求结构的应变能由节点A的平衡方程求得FN1=FN2=P/2cosa结构的应变能为例题2-71032.求结点A的位移例题2-7104§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能Ⅰ.材料的拉伸和压缩试验

圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。

矩形截面试样：或。

拉伸试样

105试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。

(2)变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。

圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能)

正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能)

压缩试样

106实验装置（万能试验机）拉伸试验录象107108Ⅱ.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能

拉伸图

纵坐标——试样的抗力F(通常称为荷载)

横坐标——试样工作段的伸长量109低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：

(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Dl与F成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。110(2)阶段Ⅱ——屈服阶段

在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。

此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时ta

的绝对值最大)。111(3)阶段Ⅲ——强化阶段

112卸载及再加载规律

若在强化阶段卸载，则卸载过程中F-Dl关系为直线。可见在强化阶段中，

l=Dle+Dlp。

卸载后立即再加载时，F-Dl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。113(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。

114低碳钢的应力—应变曲线(s

-e曲线)

为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。115低碳钢

s-e曲线上的特征点：比例极限sp(proportionallimit)

弹性极限se(elasticlimit)屈服极限ss(屈服的低限)

(yieldlimit)强度极限sb(拉伸强度)(ultimatestrength)Q235钢的主要强度指标：ss=240MPa，sb=390MPa116低碳钢拉伸试件图片低碳钢拉伸是试件破坏断口图片117低碳钢的塑性指标：伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横截面面积。Q235钢：y≈60%Q235钢：

(通常d

>5%的材料称为塑性材料)118注意：(1)低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。

(2)低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。

(3)超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，

因而是名义应变(工程应变)。119(4)伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积(或直径)之比，原因在此。

思考：低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（l=10d

和l=5d），试问所得伸长率d10和d5哪一个大？

120Ⅲ.其他金属材料在拉伸时的力学性能

121由s－e曲线可见：伸长率√√×局部变形阶段√√√强化阶段×××屈服阶段√√√弹性阶段退火球墨铸铁强铝锰钢材料122sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料铸铁拉伸破坏试验123124割线弹性模量

用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性材料拉伸时的唯一强度指标：

sb←基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。铸铁拉伸时的应力应变曲线125Ⅳ.金属材料在压缩时的力学性能

低碳钢拉、压时的ss基本相同。低碳钢压缩时s-e的曲线

126低碳钢材料轴向压缩时的试验现象127铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的s-e曲线128

试样沿着与横截面大致成50°~55°的斜截面发生错动而破坏。

材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。129铸铁压缩破坏断口铸铁压缩破坏130Ⅴ几种非金属材料的力学性能

(1)混凝土压缩时的力学性能

使用标准立方体试块测定端面润滑时的破坏形式端面未润滑时的破坏形式131

压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以s-e曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。

混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20MPa的混凝土。压缩强度远大于拉伸强度。132

木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交异性材料。

松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s

-e曲线如图。(2)木材拉伸和压缩时的力学性能

木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。133(3)玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）

纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s-e曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。134§2-7强度条件·安全因数·许用应力Ⅰ.拉(压)杆的强度条件

强度条件——保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：

其中：smax——拉(压)杆的最大工作应力，[s]——材料拉伸(压缩)时的许用应力。135Ⅱ

材料的拉、压许用应力塑性材料：脆性材料：许用拉应力其中，ns——对应于屈服极限的安全因数其中，nb——对应于拉、压强度的安全因数常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）136170230160－200710.31017023034－540.440.66.4Q23516MnC20C30低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）

许用应力/MPa

牌号

材料名称轴向拉伸轴向压缩137Ⅲ.关于安全因数的考虑

(1)考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。

(2)考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下，138Ⅳ强度计算的三种类型(3)计算许可荷载已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=A[s]，由FN,max计算相应的荷载。(2)截面选择已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。(1)强度校核已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件对于等截面直杆即为139

试选择如图(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。例题2-81401.用m-m截面将桁架截开由图中(b)所示分离体的平衡方程SMA=0，即例题2-81412.

求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径

由于圆钢的最小直径为10mm，故钢拉杆DI采用f10的圆钢。例题2-8142

图(a)所示三角架中，AC杆由两根80mm

80mm

7mm等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，[s]=170MPa。试求许用荷载[F]。例题2-91431.

由结点

A(图b)的平衡方程（拉）（压）解得例题2-91442.

计算各杆的许用轴力

先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得由强度条件得各杆的许可轴力：杆AC的横截面面积杆AB的横截面面积例题2-91453.

求三角架的许用荷载先按每根杆的许用轴力求各自相应的许用荷载

该三角架的许用荷载应是[F1]和[F2]中值小的一个，所以例题2-9146[F]=[F2]=280.7kN时结构是不安全的1.[F]=[F1]=184.6kN时结构是安全的例题2-91472.试分析下述解法是否正确？并说明原因。

这种解法是不正确的，尽管

[F]的答案与以上解法的结果相同，这仅是巧合，不是普遍规律，也不满足SFx＝0的条件。这是因为认为设定两杆的应力同时达到许用应力，一般情况这是不可能的。该题中，[F]＝184.6kN时，s2<[s]。例题2-9148§2-8应力集中的概念应力集中（stressconcentration）：由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。149

按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局部应力smax与该截面上名义应力snom之比，即理论应力集中因数：

其中Kts的下标ts表示是对应于正应力的理论应力集中因数。名义应力snom为截面突变的横截面上smax作用点处按不考虑应力集中时得出的应力(对于轴向拉压的情况即为横截面上的平均应力)。具有小孔的均匀受拉平板，Kts≈3。150应力集中对强度的影响塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：荷载增大进入弹塑性极限荷载151

均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。

非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。

塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。152第二章结束153第3章扭转§3-1概述§3-2薄壁圆筒的扭转§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*§3-8开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形154§3-1概述变形特点:Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；

Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；

Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。

受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。圆轴扭转变形动画155156

本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。157§3-2薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒

当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)薄壁圆筒的扭转动画158159Ⅰ.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律表面变形情况：(1)圆周线只是绕圆筒轴线转动,形状及尺寸不变；(2)纵向直线在小变形情况下保持为直线,但发生倾斜;(3)圆周线之间的距离保持不变。160推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。161横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力(shearingstress)，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。162引进，上式亦可写作Ⅱ.薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由根据应力分布可知

，于是有163Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearingstrain)。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有g=jr0/l，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。164

薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t

不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t

与g亦成线性关系：

这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。钢材的切变模量的约值为：G=80GPa165§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩

当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a

。166

因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为

因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：167

主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。168Ⅱ.扭矩及扭矩图

传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。169

扭矩的正负规定可按右手螺旋法则表示：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。170

一传动轴如图，转速n=300r/min，转向如图所示。主动轮A输入的功率P1=500kW，三个从动B、C、D轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。例题3-11711.

计算作用在各轮上的外力偶矩

主动轮上M1的转向和轴的转向相同，从动轮上的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。例题3-11722.

计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的例题3-11733.

作扭矩图

由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。例题3-1思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动

轴的扭矩图。这样的布置是否合理？174175§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件Ⅰ.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律应力-应变关系横截面上应力变化规律(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)1761.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g

。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1)几何方面1772.横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律即bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr178

式中——相对扭转角j

沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。

可见，在横截面的同一半径

r的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr与r成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr179(2)物理方面由剪切胡克定律t

=Gg

知

可见，在横截面的同一半径r

的圆周上各点处的切应力tr

均相同，其值

与r成正比，其方向垂直于半径。180其中称为横截面的极惯性矩Ip(单位:m4)，它是横截面的几何性质。(3)静力学方面从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以代入上式得：181式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。横截面周边上各点处(r

=r)的最大切应力为182(1)实心圆截面Ⅱ.圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp183思考：对于空心圆截面，，其原因是什么？(2)空心圆截面184

以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。可得Ⅲ.单元体·切应力互等定理

由单元体的平衡条件∑Fx=0和∑Mz=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy力偶。185

即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t

和t

数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。186思考：对于图示单元体，切应力t、t'

、t

、t

是否互等？187

现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。Ⅳ.斜截面上的应力188分离体上作用力的平衡方程为利用t

=t

'，经整理得189由此可知：(1)单元体的四个侧面(a

=0°和a

=90°)上切应力的绝对值最大；(2)a

=-45°和a

=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；190

至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。191低碳钢扭转试验演示低碳钢扭转破坏断口192铸铁扭转破坏试验演示193铸铁扭转破坏断口194195

思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？196

直径为d1的实心圆轴Ⅰ(图a)和内、外直径分别为d2和D2，a＝d2/D2=0.8的空心圆轴Ⅱ(图b),两轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。例题3-21971.分别求两轴的最大切应力例题3-21982.求D2/d1和二轴重量之比。由t1,max=t2,max，并将a

＝0.8代入得因为两轴的长度l和材料密度r分别相同，所以两轴的重量比即为其横截面面积之比例题3-2199

切应力的分布规律如图c、d所示，当tmax＝[t]时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意加上成本和构造上的要求等因素。zmaxd1(c)tmaxD2d2(d)例题3-2200Ⅴ.强度条件此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即

铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。201

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的许用切应力[t]=80MPa。试校核该轴的强度。例题3-42021.

绘扭矩图例题3-4解：203AB段内2.分别求每段轴横截面上的最大切应力例题3-4204BC段内2.求每段轴的横截面上的最大切应力例题3-42053.

校核强度

t2,max>t1,max'且有t2,max<[t]=80MPa，故该轴满足强度条件。例题3-4

阶梯状圆轴，其，必须综合考虑扭矩和Wp两个因素，AB段的扭矩大，直径d1也大，BC段的扭矩小，直径也小，必须分别计算两段轴的tmax，经比较后才能确定tmax。206例题3-4

注意：阶梯状圆轴在两段连接处有应力集中现象，在以上计算中对此并未考虑。207§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件Ⅰ.扭转时的变形

等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)

j

来度量。MeADBCMejg208

当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为209

图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，钢的切变模量G=80GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jBC。(a)例题3-52101.

用截面法求出I、II两段轴内的扭矩分别为(a)例题3-5解：211(a)2.

分别计算B、C截面相对于A截面的扭转jAB、jAC，设A截面固定不动：jAB、jAC的转向如图a所示。例题3-5212(a)3.

C截面相对于B截面的扭转角为设B固定不动，jBC的转向与M3相同。例题3-5213Ⅱ.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[j‘]≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[j']≈2(°)/m。(°)(°)214

由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a

=0.5。已知材料的许用切应力[t

]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的最大扭矩Tmax=9.56kN·m，许可单位长度扭转角[j']=0.3(°)/m。试选择轴的直径。例题3-62151.按强度条件求所需外直径D例题3-6解：2162.按刚度条件求所需外直径D例题3-62173.空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a

=d/D=0.5知例题3-6218思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上切应力沿直径CD的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的切应力。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？219§3-6等直圆杆扭转时的应变能

纯剪切应力状态下的应变能密度

对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力tdydz在相应的位移gdx上作功。220于是，当材料在线弹性范围内工作时(t

≤tp，见图b)，有221由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为

单元体内蓄积的应变能dVe数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVe=dW

。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为222

在扭矩T为常量时，长度为l的等直圆杆所蓄积的应变能为等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由可知，亦有223

当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为

在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为l范围内的应变能亦可如下求得：224

图示AB、CD

为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC为刚性块，

D截面处作用有外力偶矩Me。试求：(1)杆系内的应变能；(2)利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D截面的扭转角jD。ABCDMel/2l(a)例题3-72251.用截面法分别求AB和CD杆的扭矩T1和T2T2=MeD

MeT1=-MeBCD

Me(b)例题3-7ABCDMel/2l(a)解:2262.杆系应变能为T2=MeD

MeT1=-MeBCD

Me(b)例题3-7227其转向与Me

相同。3.求D截面的扭转角

jDABCDMel/2l(a)例题3-7228

试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a

<

5°)受轴向压力(拉力)F作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。设d<<(2R)。例题3-82291.用截面法求簧杆横截面上的内力

对于密圈螺旋弹簧可近似认为a≈0o，簧杆的横截面就在外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内，由图b所示的分离体的平衡方程得剪力

FS=F扭矩

T=FR(b)例题3-8解：2302.求簧杆横截面上的应力

簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。因为d<<(2R)，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。于是有例题3-82313.求弹簧的缩短(伸长)变形D

当弹簧所受外力F不超过一定限度时变形D与外力F成线性关系(如图c)。于是外力所作的功为(c)例题3-8232

不计FS的影响，并忽略簧杆的曲率，簧杆内的应变能Ve为式中l=2pRn，表示簧杆轴线的全长，Ip为簧杆横截面的极惯性矩。根据能量守恒原理W=Ve，即如令，则有，式中k为弹簧的刚度系数(N/m)。例题3-8233

以上分析中，不计产生的切应力和应变能，并用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到的和均比实际值偏小。例题3-8234§3-7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形Ⅰ.等直非圆形截面杆扭转时的变形特点

横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。

自由扭转(纯扭转)——等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。235

约束扭转——非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。236Ⅱ.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆237(1)一般矩形截面等直杆横截面上的最大切应力在长边中点处：Wt——扭转截面系数，Wt=bb3，b为与m=h/b相关的因数(表3-1)。横截面上短边中点处的切应力：t=ntmaxn

为与m=h/b相关的因数(表3-1)。单位长度扭转角：It——相当极惯性矩，,a

为与m=h/b相关的因数(表3-1)。表3-1

矩形截面杆在自由扭转时的因数a、b和nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0a

bn0.1400.2081.0000.1990.263__0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645__0.7900.8010.7531.1231.1500.7451.7891.7890.7432.4562.4560.7433.1233.1230.743238239(2)狭长矩形截面等直杆240

思考：如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横截面上边缘处的切应力总是与周边相切，而横截面顶点处的切应力总是等于零。为什么？一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆241*§3-8开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形Ⅰ.开口薄壁截面杆(例如角钢、工字钢和槽钢)2422.不考虑横截面相邻组成部分(矩形)在连接处的复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分的切应力分布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相同，即近似假设：1.认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分的单位长度扭转角ji'相同，且就是杆的单位长度扭转角j'，即243(1)应力及变形的计算公式由假设(1)有将上式中的前n项的分子分母各自相加后有式中，T为杆的整个横截面上的扭矩，It为整个横截面的相当极惯性矩。244

根据假设2并注意到可知杆的每一组成部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为(2)各组成部分横截面上的最大切应力tmax

而整个杆的横截面上的最大切应力tmax在厚度最大(dmax)的那个矩形的长边中点处：245(3)杆的单位长度扭转角根据实验结果有：角钢截面h=1.00,槽钢截面h=1.12,T形钢截面h=1.15，工字钢截面h=1.20。式中，。对于型钢，由于其横截面的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数h后的相当极惯性矩It

：246

钢制有纵向切缝的开口环形薄壁截面杆，如图所示。已知：作用于杆两端的扭转力偶矩为Me=30N·m，平均直径d0=40mm，壁厚d=2mm；钢的切变模量G=80×109Pa。试计算：

(1)该开口环形截面杆横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角；

(2)若该杆无纵向切缝，求横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角。例题3-92471.求纵向切缝的开口环形薄壁截面杆的tmax和j'

计算中可将开口环形薄壁截面展开为h=pd0，d=d狭长矩形截面来处理。例题3-9解：248例题3-9249

横截面上切应力沿厚度的按规律变化其指向如图b所示。例题3-92502.求无纵向切缝的薄壁圆筒杆的tmax和j'例题3-9251

横截面上切应力沿厚度均匀分布，其指向如图所示。例题3-9

可见，薄壁圆环截面杆若有一纵向切缝，其切应力和单位长度的扭转角显著增加，亦即其强度和刚度显著降低。工程中多采用加横隔板提高开口薄壁截面杆的强度和刚度。252

近似假设：横截面上各点处的切应力的大小沿壁厚无变化，切应力的方向与壁厚中线相切。Ⅱ.闭口薄壁截面杆(任意闭口截面的变厚度薄壁等直杆件)253(1)应力的计算公式

由相距dx的两横截面及任意两个与壁厚中线正交的纵截面取出如图所示的分离体。如果横截面上C和D两点处的切应力分别为t1和t2，则根据切应力互等定理，上下两纵截面上亦有切应力t1和t2。254

若C和D两点处的壁厚分别为d1和d2，则由该分离体的平衡条件SFx=0有

t1d1dx=t2d2dx

从而知亦即横截面上沿周边任一点处td

为常量。255从而有(参见图)：于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点处切应力的计算公式：

薄壁圆筒作为这类薄壁杆件的特例，当然也适用此公式。事实上此式即是§3-2中导出的公式。式中，A0为壁厚中线所围的面积。256

闭口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力tmax在最小壁厚dmin处：

值得注意的是，开口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力tmax是在壁厚最大的组成部分的长边