材料力学（II） 课件全套 孙训方 第1-7章 弯曲问题的进一步研究 -材料力学性能的进一步研究

1第1章弯曲问题的进一步研究§1-1非对称纯弯曲梁的正应力§1-2两种材料的组合梁§1-3开口薄壁梁的切应力·弯曲中心§1-4开口薄壁截面梁约束扭转的概念§1-5平面大曲率杆纯弯曲时的正应力2§1-1非对称纯弯曲梁的正应力

当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内时，梁将发生对称弯曲(图a)，材料力学(I)中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。(对称轴)Fzy(a)xyzF3

当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将发生非对称弯曲(图b)。本节研究非对称弯曲时，梁横截面上的正应力。zFyxFzy(b)zyF对称轴z4

三角形截面纯弯曲梁如图(a)所示，图中，x为梁的轴线，y、z为任意一对相互垂直的形心轴。横截面上弯矩M的矢量方向和y轴的夹角为j，M在y、z轴上的分量分别为My和Mz。Ⅰ.非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式5

几何方面试验表明，非对称弯曲时，平面假设依然成立，设横截面的中性轴为n-n(位置未定)，距中性轴为h(图b)的任一点的线应变为式中，r为变形后中性层的曲率半径。(1)6

物理方面横截面上各点仍为单轴应力状态，并设材料在线弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的弹性模量均为E，横截面上任一点的正应力为(2)7静力学方面法向内力元素s

dA组成的内力分别为将(2)式代入(3)式，得(3)(4)(5)8因为，必有

可见，中性轴n－n通过横截面的形心。设中性轴n－n和y轴的夹角为q，如图所示。由图可见将上式代入(2)式，得9将(6)式代入(4)、(5)两式，并注意到可得10联解以上两式，得将(7)，(8)两式代入(6)式，得(1-1)式称为广义弯曲正应力公式。(1-1)11由(7)和(8)式可以解出中性轴和y轴的夹角q为由(1-2)式可以确定中性轴的位置。令(1-1)式中也可以得到(1-2)式。12

横截面上的最大拉应力和最大压应力分别发生在距中性轴最远的D1和D2点处，如图a、b所示。把D1和D2点的坐标(y，z)代入(1-1)式，可以得到横截面的st,max和sc,max。(1-1)式也可以用于计算细长梁横力弯曲时，横截面上的正应力。13Ⅱ.广义弯曲正应力公式的讨论

广义弯曲正应力公式(1-1)适用一切弯曲情况下梁横截面上正应力的计算，分述如下：

(1)梁具有纵向对称平面xy，且外力作用在该平面内(对称弯曲，平面弯曲)。上式即为对称弯曲时，梁横截面上的正应力计算公式，式中的负号是因为(1-1)式中Mz为负值。令(1-1)式中，My=0,Mz=M,Iyz=0,得(1-1)14(2)梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平面平行

如图所示Z字形截面梁，图中y,z轴为形心主惯性轴(Iyz=0)，xy，xz均为形心主惯性平面。弯矩M位于xy面内(M的矢量沿z轴)。将My=0，M=Mz，Iyz=0代人(1-1)式，得(1-1)15上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或者外力作用面平行于形心主惯性平面时，对称弯曲时的正应力公式仍然适用。由(1-2)式，得，即说明中性轴为z轴，梁只绕z轴弯曲，梁的挠曲线和外力均在xy平面内，或外力所在平面和挠曲线平面平行，即梁发生平面弯曲。16

如图所示Z字形截面梁，其y、z轴为形心主惯性轴，弯矩M的矢量与y轴的夹角为j，把My=Mcosj，Mz=Msinj，及Iyz=0代入（1-1）式，得(3)梁不具有纵向对称平面，外力也不作用在形心主惯性平面内(1-1)17

上式右端的第一项表示xz平面内弯曲时的正应力，第二项表示xy平面内弯曲时的正应力。可见外力不作用在形心主惯性平面内时，可将外力向两个形心主惯性平面内分解，分别计算两个形心主惯性平面内的弯曲正应力，将二者叠加可得到横截面上任一点的正应力。中性轴公式成为因为所以即中性轴不再垂直于M(外力)作用平面(中性轴不沿M的矢量方向)。外力和挠曲线不在同一平面内，梁产生斜弯曲。18(4)梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对称平面有一夹角。

这种情况，是情况3的特例，已在材料力学(Ⅰ)的§8-2中研究过。19

已知：Iy=283×10-8m4，Iz=1930×10-8m4，Iyz=532×10-8m4，[s]=170MPa。求[q]。例题1-3201.用广义弯曲正应力公式计算

由于q作用线沿y轴，所以My=0。由图b可见，Mmax=MC=Mz。Mz的矢量方向沿z轴的负方向，所以确定中性轴位置(b)例题1-3解:21由式得(b)例题1-322中性轴n-n位置如图c所示。由图可见，st,max和sc,max分别发生在C截面的D点和E点。该两点到中性轴的距离相等，D点的坐标为(c)例题1-323把有关数值代入上式，得

[q]=23.1kN/m可得D点的强度条件为按式例题1-324

2.叠加法将Mz=MC沿形心主轴y0，z0方向分解(图d)，分别计算两个平面弯曲时的正应力，然后进行叠加。确定形心主轴的位置，即形心主轴y0，z0的位置如图d所示。zy0yz0D(d)例题1-325

形心主惯性矩分别为沿形心主轴y0，z0弯矩的分量分别为2086.9×10-8m4126.1×10-8m4例题1-326D点在y0，z0坐标中的坐标的绝对值分别为zy0yz0D(d)例题1-327D点的强度条件为解得可见，当形心主轴位置未知时，利用广义弯曲正应力公式计算较为方便。例题1-328§1-2两种材料的组合梁

由1,2两种材料组合成一个整体的矩形截面梁如图a所示。设1,2两种材料的弹性模量分别为E1和E2，且E1<E2，横截面面积分别为A1和A2。现在分析该梁在纯弯曲时横截面上的正应力。弯矩M作用在纵向对称平面内，且M为正。29

图中，y为对称轴，z为中性轴(位置未定)。设平面假设依然成立，变形后中性层的曲率半径为r，横截面上距中性轴为y的任一点的线应变为线应变沿高度的变化规律如图b所示。(1)30

当材料均在线弹性范围内工作时，横截面上材料1,2两部分的正应力分别为(2)正应力沿高度的变化规律如图c所示31静力学关系为把(2)式代入(3)式，得(a)式为确定中性轴位置的条件。32设中性轴z到z1轴的距离为yn，微面积dA到z和z1轴的距离分别为y和y'(图f)。由图可见，把(b)式代入(a)式，得(c)(b)z(f)yz133注意到，yn为常量，设面积A1,A2的形心到z1轴的距离分别为yC1和yC2(图f)则于是(c)式成为解得(d)z(f)yz134将上式右端除以E1，(d)式成为由(5)式可以确定中性轴的位置。把(2)式代入(4)式，得式中，分别表示面积A1和A2对z轴的惯性矩。由(e)式得中性层的曲率为(6)(e)(5)35将(6)式代入(2)式，得(f)(g)令(7)I为等效惯性矩，(f)、(g)式成为(8)36▲相当截面设高度h1和h2及材料1部分的宽度b不变，把材料2部分的宽度按折算，折算后的截面如图e所示。折算的截面相当于仅由材料1构成的截面，称为相当截面。37

由图e可见，材料1、2两部分的面积的形心位置yC1、yC2不变。求实际截面的中性轴公式(5)成为该式也是求相当截面水平形心轴的公式。实际截面的等效惯性矩为相当截面对水平形心轴的惯性矩。zy(b)38

按相当截面求出的正应力，为材料1部分的正应力，将它乘以后才是材料2部分的应力，即（同8式）zy(b)39

图a所示矩形截面梁，由铝合金1和碳钢2组成，两种材料的弹性模量分别为E1＝70GPa，E2=210GPa，横截面上的正弯矩M＝50kN·m。试求正应力沿高度的变化规律。5012Oy200100z(a)y30050200100Oz(b)36.711.171.034.2(c)例题1-140

为了说明利用公式和相当截面计算的截面几何性质的一致性，分别采用两种方法计算截面的几何性质。公式法实际截面的几何尺寸如图a所示，其中性轴位置为例题1-1解:411,2两部分面积对中性轴的惯性矩分别为等效惯性矩为例题1-142y30050200100Oz(b)yn相当截面法将碳钢部分的宽度折算成铝合金部分的宽度，即相当截面如图b所示，例题1-143水平形心轴的位置为y30050200100Oz(b)yn例题1-144对z轴的惯性矩为可见两种方法所得到的结果完全一致。y30050200100Oz(b)yn例题1-1451.（铝合金）部分的最大压应力发生在横截面的上边缘，其值为最大拉应力发生在两种材料的分界处，其值为例题1-146正应力沿梁高度的变化规律如图c所示。36.711.471.034.2(c)2.（碳钢）部分的最小拉应力为最大拉应力发生在横截面的下边缘处，其值为例题1-147

一木梁因承载能力不足，在梁的顶部和底部用钢板加固，如图a所示。钢板和木材的弹性模量和许用应力分别为E1=210GPa，[s]1=160MPa，E2=10.5GPa，[s]2=10MPa。试求该梁所能承受的最大弯矩[M]。62506150112(a)例题1-248解：相当截面如图b所示。其惯性矩为由钢板的强度条件得yz662507.5150(b)例题1-249由木材的强度条件得梁能承受的最大弯矩为[M]＝47.95kN·m62506150112(a)例题1-250§1-3开口薄壁截面梁的切应力·弯曲中心T字形截面悬臂梁如图a所示。图中，z为对称轴，y、z轴为形心主惯性轴。横向力F平行于y轴，到竖直板中线的距离为e。试验表明：梁将在xy面内发生平面弯曲，同时还伴随有扭转。CyxzeyzFC(a)a51

为了分析产生扭转的原因，先分析梁横截面上的切应力。非对称开口薄壁截面梁横截面上的切应力公式仍为图a所示梁横截面的水平板上和y方向平行的切应力很小，可以忽略不计。竖直板上与切应力相应的合力FR几乎等于横截面的剪力FSy，即其作用线沿竖直板的中线，如图b所示。(b)Cyz52

从梁中截取长度为a的一段梁(图c)进行分析，该段梁上两个反向平行力F组成一个力偶，其矩为该力偶矩使梁产生扭转。只有当力F的作用线沿竖直板的中线，Mx=0时,梁只产生弯曲，不产生扭转。yzFe(c)53

若力F沿梁自由端的z轴，略去竖直板上平行于z方向切应力，水平板上与切应力相应的合力FR≈FSz，其作用线沿z轴(图d)。剪力FSy和FSz相交于A点(图e)，A点称为截面的弯曲中心或剪力中心。当横向力F通过弯曲中心A时，梁只产生弯曲，不产生扭转。yz(d)yzA(e)54

开口薄壁截面梁的抗扭刚度较小，当横向力不通过弯曲中心A时，将引起很大的扭转变形，并且当扭转时横截面不能自由翘曲时，梁中还要产生附加的正应力和切应力，称为约束扭转(§1-4)。因此研究开口薄壁截面梁的弯曲中心具有十分重要的意义。弯曲中心是剪力FSy和FSz的交点，其位置仅取决于截面的形状和尺寸，它是截面的几何量，与外力的大小和方向及梁的约束等均无关。现将几种截面的弯曲中心位置列于表1-1中。55表1-1几种截面的弯曲中心位置截面形状弯曲中心A的位置在两个狭长矩形中线的交点与形心重合56

由表1-1可见：

1.当截面具有一根对称轴时，例如，槽形,开口薄壁圆环,T字形,等边角形等，其弯曲中心一定位于对称轴上。3.由两个狭长矩形组成的截面，例如，T字形,等边和不等边角形等，其弯曲中心位于两狭长矩形中线的交点处。2.当截面具有两根对称轴时，例如工字形等，其弯曲中心和形心位置重合。Z字形截面为反对称截面，其弯曲中心也与形心位置重合。57试确定图a所示槽形截面弯曲中心的位置。例题1-358

图a中z为对称轴，y,z为形心主惯性轴，当外力沿z轴作用时，切应力分布规律如图b所示，相应的合力近似等于FSz，作用线沿z轴，所以弯曲中心A一定位于z轴上。1.FSz的作用线位置例题1-3解:59

设外力F的作用线平行于y轴，且通过弯曲中心A，其切应力分布规律如图c所示。其中微内力tdA在腹板和翼缘上的合力分别为A为腹板的面积。2.FSy的作用线位置例题1-360FH，FSy的作用线位置如图d所示，将各力向O点简化，得主矢量和主矩分别为设合力作用线通过弯曲中心A，由得例题1-361求图示开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。(a)OyzdeAR0例题1-462因为弯曲中心A位于对称轴z上，所以仅需确定剪力FSy的作用线位置。设剪力FSy平行于y轴，且通过弯曲中心A。在截面的开口处截取dx微段梁(图b)进行分析，可知截面上切应力流如图a所示。(b)dqOyzFSydeR0qjA1.计算在剪力Fsy作用下，横截面上的切应力例题1-4解:63式中，dqOyzFSydeR0qj把(b),(c)式代入(a)，得例题1-464由

，得微内力的合力及其对O点的合力矩分别为2.求Fsy的作用线位置例题1-465

悬臂梁在自由端受集中力F作用，若采用图a,b,c所示三种截面，且力F均通截面的形心C。试问这几种截面梁各产生何种变形？Cz(a)y•(b)CC(c)•例题1-5661.各截面的形心主惯性轴和弯曲中心的位置，分别如图d，e，f所示。zC(A)y(f)A(d).CzyAzy(e)•C例题1-5解:67

图a中力F沿形心主轴y，但不通过弯曲中心A，梁产生平面弯曲和扭转。Cz(a)y

图b中力F既不和形心主惯性轴平行，也不通过弯曲中心A，梁产生斜弯曲和扭转。C(b)Ayz2.判断各种截面梁产生的变形形式例题1-568

图(c)力F不和形心主惯性轴平行。但通过弯曲中心A，梁产生斜弯曲。C(c)Ayz例题1-569§1-4开口薄壁截面梁约束扭转的概念

由§1-3节可知，当横向力不通过开口薄壁截梁的弯曲中心时，梁除了产生弯曲变形外，还要产生较大的扭转变形。且这种扭转往往是约束扭转。本节介绍开口薄壁截面杆约束扭转的概念。70

图示矩形截面杆，扭转后其横向线成为曲线，可以推知横截面变形后成为曲面——翘曲。非圆截面杆扭转时，横截面均要发生翘曲。71

当等直杆仅两端受扭转力偶作用，且两端横截面均可以自由翘曲时，其任意相邻两横截面的翘曲程度相同，即相邻两横截面间的纵向纤维的长度不变，因此横截面上不会产生正应力，这种扭转称为自由扭转。图示矩形截面杆的扭转为自由扭转。72

由于约束条件或荷载等原因，使杆在扭转时，横截面不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，即相邻两横截面间的纵向纤维的长度发生不同程度的改变，因此横截面上产生相应的附加正应力，这种扭转称为约束扭转。实体截面杆的附加正应力很小，可以不计。开口薄壁截面杆的附加正应力较大，不能不计。73

求开口薄壁截面杆件在约束扭转时的内力,应力等，是“薄壁杆件”课程的内容。本节以工字形截面杆为例，简单介绍开口薄壁截面杆约束扭转时横截面上的应力和内力特征。

图a所示工字形截面杆，由于左端为固定端，左端横截面不可能翘曲，右端为自由端，右端横截面可以自由翘曲。可以推知，处于左,右两端面之间的各横截面的翘曲将受到不同程度的约束，即该杆产生约束扭转。74

横截面上相应的内力如图b所示。图中，T为扭矩；MB为翼缘上位于翼缘平面内的弯矩，两翼缘上MB的转向相反；FSw为位于翼缘平面内的剪力，两翼缘上FSw的指向相反。翼缘上存在剪力的原因是由于各横截面的翘曲程度不同，因此弯矩MB随截面位置而变化，即MB=MB(x)，由可知，翼缘上存在剪力。试验和理论分析表明：

杆的变形情况如图a所示，除了扭转变形外，两翼缘还产生相反方向的弯曲。75

横截面上与MB相应的正应力sw

如图c所示；与FSw

相应的弯曲切应力tw

如图d所示；与T相应的扭转切应力t

t如图e所示。其中，MB和sw

以及FSw

和sw

是工字形截面杆在约束扭转时特有的内力和应力。而T和t

t

是基本的内力和应力。76

2.SFz＝0可知，两个FSv的大小相等，指向相反，他们组成一个力偶，其矩为

仅靠截面法和平衡方程是不能确定内力分量的。结合图b分析如下：1.由SMy=0可知，横截面翼缘上的弯矩MB数值相等，转向相反，是自相平衡的。(a)773.

取分离体如图f所示。由SMx＝0，得78

仅用上述的静力学关系，是不能确定内力分量的。从而也无法确定相应的应力分量。也就是说约束扭转问题的内力分析是超静定的，这正是约束扭转问题内力的特征。要解决这个问题必须对变形作出补充假设。再综合利用几何,物理及静力学三个方面关系求解。

由(b)式可见，约束扭转时的扭矩T＝Mx－Tw。将小于自由扭转时的扭矩T＝Mx。所以约束扭转时的扭转切应力tt和扭转角j

都比自由扭转时小。而横截面上却产生了附加正应力sw和弯曲切应力tw。这是约束扭转时，横截面上应力的特征。79§1-5平面大曲率杆纯弯曲时的正应力

工程中还会遇到如吊钩,圆环,曲梁等曲杆的弯曲问题。若曲杆的轴线位于同一平面内，这类曲杆称为平面曲杆。图a为平面曲杆的纵向对称平面，外力偶Me作用在该平面内。平面曲杆纯弯曲时的正应力，仍然要从几何,物理,静力学三个方面进行综合分析。(a)80

变形的几何关系平面曲杆和直梁的区别为：1.曲杆有初曲率；2.相邻横截面间纵向线段的长度不同。因此，平面曲杆变形的几何关系与直梁不同。81

用夹角为dj的两横截面m－m和n－n，从平面曲杆中截取任一微段(图b、c)。根据平面假设，受力后该两横截面相对转动D(dj)角(图b)。82

图c为曲杆的横截面，图中，y为对称轴，zC为形心轴，RC为曲杆轴线的原始曲率半径，z为中性轴（位置未定），r为中性层的曲率半径，r(y)为距中性层为y处线段的曲率半径，r

(r)=r+y。83同一横截面处r,为常量，(a)式表明e

沿横截面高度按双曲线规律变化(图d)。这是因为，微段内侧与外侧到中性层等距离的线段cd和ab的原长不同(图b)。而它们的长度改变量均为yD(dj),所以。

由图b、c可见，距中性层为y的线段ab的原长为r(y)dj，受力后该线段的增长量为yDd(j

),则横截面上各点沿其法线的线应变为(a)84

物理方程不计纵向纤维之间的挤压，并设拉伸和压缩时的弹性模量均为E，根据单轴应力状态的胡克定律，横截面上的正应力为

由(b)式可见，s沿横截面高度也按双曲线规律变化(图e)。(b)85

静力学条件微内力sdA

可简化为三个内力分量，由于受力的对称性，ΣMy=0自动满足。还有zyxMe将(b)式代入(c)式，得(c)(d)把y=r(y)-r代入后解得(e)86

由(e)式确定中性层的曲率半径，从而确定中性轴的位置。中性轴将不通过横截面的形心。这是因为，曲杆内侧各点的压应力值大于到中性轴等距离的外侧各点的拉应力值，又要使由sdA组成的轴向压力等于轴向拉力，因此横截面上受压区的面积必然小于受拉区的面积，即中性轴偏于曲杆内侧一边。把(b)式代入(d)式，得(f)87把y2换成y[r(y)－r]，(f)式左端得积分可以写成式中，为横截面对中性轴z的静矩S，。所以代入(f)式后，得(g)88

将(g)式代回(b)式。得平面曲杆纯弯曲时横截面上的正应力公式为式中，M为横截面上的弯矩；r(y)为横截面上距中性轴z为y处线段的曲率半径，r(y)=r＋y；S为横截面对中性轴z的静矩，计算公式为

为横截面的形心到中性轴的距离(图d)。(1-3)式中的各量均取绝对值。根据变形情况判断是拉应力或压应力。中性层的曲率半径r，由(e)式确定，各种截面的r公式，将在本节最后进行推导。(1-3)(1-4)89I.正应力公式分析代入(b)式，得由(f)式得(h)90若r>>y，1+y/r≈1，则(h)式成为直梁的正应力公式，即

设C为曲杆横截面的形心到其内边缘的距离，当RC/C>10时，曲杆的正应力用直梁公式s

=My/Iz计算，可以得到足够精确的结果。这类曲杆称为小曲率杆。当RC/C≤10时，曲杆的正应力必须用公式(1-3)进行计算，这类曲杆称为大曲率杆。91

II.曲杆纯弯曲时的正应力公式，也可以推广到横力弯曲的情况。当横向力作用在曲杆的纵向对称平面内时，曲杆横截面上的内力一般有弯矩,轴力和剪力。和轴力对应的正应力在横截面均匀分布，将它与弯曲正应力叠加，得到总的正应力。弯曲切应力通常用直梁的切应力公式作近似计算。92III.几种常见截面中性层曲率半径r的计算公式(1)梯形截面由可知，确定r的关键在于计算。Oyz93(2)矩形截面令(i)式中，b1=b2=b，得(i)(j)94(3)三角形截面令(i)式中，b1=0，b2=b，得(k)95yz(4)圆截面96(1)97

求图示矩形截面开口圆环n－n截面上的最大正应力。ynnOz2030609075nn例题1-698横截面的形心到中性轴的距离为曲杆的几何尺寸分别为，h=30mm，b=20mm，R1=90mm，R2＝60mm，RC＝75mm。，该曲杆为大曲率杆。中性层的曲率半径为1.用曲杆公式求st,max和sc,max例题1-6解:2030609075nn99横截面对中性轴z的静矩为n－n截面上的轴力和弯矩分别为

n－n截面上的最大拉应力和最大正应力分别发生在其外侧和内侧边缘处，其值分别为例题1-6nn100例题1-6nn101若用直梁公式计算，最大弯曲正应力为其最大误差为2.按直梁公式求解对于大曲率杆必须用曲杆公式计算正应力。例题1-6102第一章结束103第2章考虑材料塑性的极限分析§2-1塑性材料简化的应力-应变曲线§2-2拉压杆系的极限荷载§2-3等直圆杆扭转时的极限扭矩§2-4梁的极限弯矩·塑性铰104§2-1塑性材料简化的应力—应变曲线

图a所示为低碳钢拉伸时的应力—应变曲线，bc表示卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。obec(a)105

为了简化计算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─理想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的t－g曲线简化为图c所示的曲线。b(b)(c)106

图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力~应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。§2-2拉压杆系的极限荷载BCAF(a)(b)107

图a所示静不定杆系结构中，三杆的材料相同，s~e关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。l例题2-1108(1)当F较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此静不定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为可见例题2-1解:1.应力109由于FN3=ssA，使静不定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为(2)F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。Fs称为屈服载荷。令s3＝ss，F=Fs。由(2)式得应力为(4)例题2-1110极限荷载和屈服荷载的比值为当a＝45°时，Fu/Fs＝1.41，即考虑材料塑性将使结构的承载能力提高1.41倍。(3)继续增加荷载，3杆的应力保持s3＝ss不变，1、2杆的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(s1=s2=ss)，整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。令FN1=FN2=FN3=ssA，由结点A的平衡方程得例题2-11112.A点的位移(1)F=Fs时，s3＝ss

，3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为(2)继续增加荷载，3杆的应力s3＝ss保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，当1、2杆刚刚出现塑性变形时，A点的位移为A(d)132例题2-1(7)112外力F和A点位移D之间的关系，如图e所示。F<Fs时，结构的刚度由三根杆组成，F≥Fs时，3杆屈服，结构的刚度由1、2杆组成，所以Oa和ab的斜率不同。(7)(e)ab例题2-1113

由于一次静不定杆系结构中，存在一个多余约束的杆，当某一杆发生塑性变形时，结构成为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧失承载能力，达到极限状态。l例题2-1114§2-3等直圆杆扭转时的极限扭矩

图a所示圆截面杆，其t-g

的关系如图b所示。本节讨论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。115Ⅰ.极限扭矩(1)由塑性材料制成的受扭圆截面杆，一般把tmax=ts(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条件。边缘屈服时的扭矩称为屈服扭矩，并用Ts表示，其值为仅当tmax=ts时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可以继续增加。dO(c)116(2)若扭矩增加到某个值T''时，圆杆进入弹塑性工作状态，根据平面假设，其g的变化规律如图d所示。根据图b所示的t~g关系，t

的分布规律如图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状态，其余部分仍处于弹性状态。设弹性区的直径为ds。取dA=2prdr，扭矩为O(d)d(e)117单位长度的扭转角为式中，右边第一项为弹性区的扭矩，第二项为塑性区的扭矩。(f)118由(1)式和(4)式可得可见，Tu=4Ts/3。若采用极限状态为破坏条件，将使承载能力提高4/3倍。(f)(3)当扭矩增加到T=Tu时，横截面上各点的切应力均达到ts(图f)，圆杆进入完全塑性状态，即为极限状态，Tu称为极限扭矩，其值为119Ⅱ.残余应力

扭矩达到Tu时，卸去全部荷载，即反向加Me=pd3ts/12，由于卸载时，t－g为线性关系(图a)，所以，切应力的分布规律如图b所示，将它与极限状态的切应力，得残余应力，其分布规律如图d所示。取dA=2prdr，其扭矩为120扭矩T＝0，说明残余应力是自相平衡的。121§2-4梁的极限弯矩·塑性铰Ⅰ.纯弯曲梁的极限弯矩

图a所示矩形截面纯弯曲梁，其材料的s－e关系如图b所示。b(b)(a)h/2h/2122(1)一般认为smax=ss为梁的破坏条件，把上、下边缘屈服时的弯矩称为屈服弯矩，并用Ms表示图c，其值为仅梁的上、下边缘处屈服，梁不会发生明显的屈服变形，弯矩还可以继续增加。(c)123(d)(e)

(2)

当弯矩增加到M=M'时，梁进入弹塑性工作状态，根据平面假设，e

分布规律如图d所示。按照图b所示的s~e

关系，s

的分布规律如图e所示。即梁的上、下边缘附近处为塑性变形，其余部分仍为弹性变形。124(3)当弯矩增加到M=Mu时，整个横截面上的应力均达到ss(图f)，梁进入完全塑性状态，也称为极限状态，Mu称为极限弯矩。由分离体(图g)横截面上的法向内力所组成的合力等于零，即(f)zxy(g)得(2)125式中，At和Ac分别代表受拉区和受压区的面积。由(2)式确定中性轴z的位置。对于水平形心轴为对称轴的截面(例如，矩形等)，水平形心轴即为中性轴。对于水平轴不是对称轴的截面，例如T形截面，中性轴和水平形心轴不重合。随弯矩的增加，中性轴上移。到M=Mu时，中性轴位置如图所示。中性轴上移802080zzc20(中性轴)(形心轴)y126横截面上法向微内力组成极限弯矩，即式中，St、Sc分别表示受拉区和受压区面积对中性轴z的静矩，均取正值。令(塑性弯曲截面系数)(4)则(5)127对于b×h的矩形截面，由(6)和(1)式，得128例题2-4

图示T形截面梁的屈服极限ss＝235MPa。求该梁的极限弯矩Mu。1291.确定中性轴的位置得

设中性轴z到截面底边的距离为y。并设中性轴以下为受拉区，以上为受压区，根据At=Ac，有例题2-4解:1302.求St、Sc例题2-41313.求Mu例题2-41324.残余应力

当矩形截面梁的弯矩达到Mu时，卸去全部荷载，即反向加Mu=bh2ss/4，并注意到卸载时s~e成线性关系，则卸载时smax=(bh2ss/4)/(bh2/6)=3ss/2(图b)，将图b和图a的应力叠加得残余应力(图c)。可以验证残余应力自相平衡。bhyzc+-(a)+-+－-(b)(c)+=+ss133Ⅱ.横力弯曲梁的极限荷载·塑性铰(1)静定梁

图a所示梁的材料为理想弹塑性材料，Mmax=Fl/4发生在C截面处，当C截面处的smax=ss时，相应的荷载Fs为屈服荷载，C截面上的弯矩Ms为屈服弯矩，Ms的值为byz-+(a)ABC134在Fs作用下，C截面未产生明显的塑性变形，F还可继续增加。(1)可得(2)1351.当Fs<F<Fu(Fu为整个C截面上的s＝ss时的荷载)时。随F的增加，smax＝ss(M=Ms)的截面由C截面向左、右两侧扩展，塑性区向中性轴处扩展，弹性区的高度为2ys(图b)，C截面的弯矩为-+(b)ABCM136式中，第一个积分为半个弹性区的弯矩，第二个积分为半个塑性区的弯矩。由上式得-+(b)ABCM1372.当F增加到F=Fu时，整个C截面上s

＝ss，C截面发生塑性变形，Fu为极限荷载，C截面上的弯矩为极限弯矩Mu(图c)。C截面两侧部分将绕C截面转动。这种由于塑性变形而形成的，但可以承受弯矩Mu的抽象铰称为塑性铰。极限弯矩为C-+AB(c)(4)138设在Fu作用下，塑性区的长度为ls(图c)，由考虑材料塑性，可使梁的承载能力提高1.5倍。且Fu/Fs与Mu/Ms的比值相同。(4)得(6)由(5)式和(2)式得(7)解得(5)1393.真实铰与塑性铰的区别真实铰不能承受弯矩。

塑性铰能承受弯矩Mu。当M>Mu时，塑性铰不能承受M~Mu的弯矩，它的作用为铰。卸载时，M<Mu，塑性铰不起铰的作用，可以承受弯矩。140(2)超静定梁理想弹塑性材料制成的超静定梁如图所示。1.图a在弹性范围内，解此超静定梁，可知A截面的弯矩最大。Fs为屈服荷载(A截面上的smax＝ss时的荷载)，A截面上的弯矩为屈服弯矩Ms，即Ms=3Fsl/16。由此得(1)ACB(a)1412.图bF增加到F1时，A截面的弯矩首先达到极限弯矩Mu，A截面出现塑性铰。梁成为两端铰支的静定梁。C截面的弯矩为荷载还可以继续增加。在荷载增加的过程中，A截面上的弯矩MA=Mu保持不变，增加部分的荷载将由梁的其它部分承担，使弯矩重新分配。ACBCAB(b)1423.图c当F增加大Fu时，MC=Mu，C截面出现塑性铰，梁成为几何可变的机构。丧失承载能力。Fu为极限荷载。把(2)式中的F1用Fu代换，MC用Mu代换，即由(3)式和(1)得ACB(c)得(3)143即Fu/Fs>Mu/Ms。静定梁时，Fu/Fs＝Mu/Ms。可见超静定梁可以进一步提高承载能力，因为超静定有多余约束。本例中仅A截面出现塑性铰，成为静定梁，还可以继续增加荷载。ACB1444.综上所述：考虑材料的塑性时，拉(压)超静定杆系、圆杆扭转、静定梁或超静定梁，均随荷载增加，使内力(或应力)重新分配，从而可以提高承载能力。而拉(压)杆横截面上的正应力均匀分布，考虑材料塑性时应力分布规律不发生变化，因而也不会提高承载能力。145第二章结束146第3章能量方法§3-1概述§3-2应变能·余能§3-3卡氏定理§3-4用能量法解超静定系统§3-5虚位移原理及单位力法147§3-1概述

图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm，d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)148若利用外力功在数值上等于应变能，即就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。

若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)x45o30oyA(b)F149

利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。150(a)轴向拉（压）杆Ⅰ应变能(1)线弹性体1.基本变形形式【材料力学(Ⅰ)】

利用应变能在数值上等于外力功W，可得§3-2应变能·余能151(b)扭转152(c)弯曲纯弯曲横力弯曲153

可以把应变能统一写成式中，F为广义力，可以代表一个力，一个力偶，一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移等。1542.构件上有一组广义力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,则（）

例CwCFEIABMel/2l/2qA,（）155Fi为广义力，Di

为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。

3.组合变形（用内力形式表示的应变能）小变形时不计FS

产生的应变能，M(x)

—只产生弯曲转角dqFN

(x)

—只产生轴向线位移dDT(x)—只产生扭转角dj有n个广义力同时作用时156对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为157(a)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。4.应变能的特点:EAF2F1ab例F1F2Me158(b)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F

和Me

同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。

在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)159

先加F,再加Me

(图b，c)式中，F·wC,Me为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无1/2系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),160

还可以先加Me

，再加F，得到的应变能Ve和以上的值相同。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),161

因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即Ve=W

，但必须注意F-D以及s-e的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。(2)非线性弹性体(3-1)应变能为（F-D

曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（s-e

曲线和e

轴之间的面积）(3-2)1.轴向拉伸与压缩162(1)(3-1)和(3-2)式中，分别是以D和e为自变量，F=f(D)，s=f(e)。所以Ve=f(D)为位移状态的函数。(2)因为F-D

，s-e为非线性关系，(3-1)和(3-2)式积分后得不到1/2的系数，只能根据F=f(D)或s=f(e)的函数关系进行积分。应变能密度

式中，Me为扭转力偶矩，j为扭转角，t为扭转切应力，g为切应变。注意：2.扭转应变能163式中，Me为外力偶矩，q为弯曲转角，s为正应力，e为线应变。应变能密度

应变能和应变能密度之间的关系为式中，V为体积。3.梁应变能164

原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载F1作用下杆系的应变能。两杆的材料均线弹性弹性模量均为E,横截面面积均为A。例题3-1165(1)将(1)式代入上式得(2)首先分析力F和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式，然后利用求Ve。设两杆的轴力均为FN

，两杆的伸长量和A点的位移分别为例题3-1解:166由结点A的平衡方程，得由于a为小角度，(3)(4)所以(5)将(4)式代入(3)式，得例题3-1167或写成(7)F

和D的关系如图b所示。将(5)式代入(2)式，得(6)杆的应变能为例题3-1168(1)由于力F

引起的变形

l，对FN产生影响，形成F

和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。例题3-1(2)几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。169Ⅱ.余能

图a为非线性体弹性体的受拉杆，其F-D和s-e关系如图b、c所示。(1)余功的定义为(3-6)170其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc

和外力功W具有相同的量纲，且Wc

为矩形OF1aD1

的面积与曲面OaD1

的面积（W）之差（图d）,故称Wc

为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。FF1WcaWD1Do(d)171

余能密度为(3-8)(3-7)和(3-8)式，分别以F和

s为自变量，D=f(F)，e

=f(s

)。所以Vc=f(F)为受力状态的函数。VcVeF1FD

D1

a(e)o(3)线弹性体(图e)Ve

和Vc

数值相等，但概念和计算方法不同，即Ve

=f(D)，Vc

=f(F)。仿照Ve=W，余能为(3-7)(2)余能(3-9)余能为172

图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的

s~e关系如图b

所示。求结构的余能。例题3-2173由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为应力为解:该题为物理非线性问题，需用求Vc。其中。例题3-2174余能密度为结构的余能为由b图所示的单轴拉伸时的s~e的关系可得例题3-2175

设各力和相应位移的瞬时值分别为fi

、d

i，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为

图示梁的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，Di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。Ⅰ.卡氏第一定理(3-10)§3-3卡氏定理为位移状态函数。176

假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量dDi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为(dDi不是由Fi产生的，FidDi为常力做的功)(a)(b)式中，为应变能对位移Di的变化率。177(3-11)式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故(3-11)适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把Ve写成给定位移的函数形式。(3-11)得令178

图a所示结构中，AB和BC杆的横截面面积均为A，弹性模量均为E。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第一定理，求B点的水平位移D1和铅垂位移D2

。例题3-3179解:1.计算结构的应变能Ve

卡氏第一定理要求把应变能写成位移D1和D2的函数，D1和D2是由AB和BC杆的变形量dAB及dBC所引起的。首先分析dAB、dBC与D1和D2的几何关系。dAB=D1，dBC=D1cos45˚

=设B点只发生水平位移D1(图b)，例题3-3180D1和D2同时发生时，由于是线弹性问题，结构的应变能为(2)设B点只发生铅垂位移D2(图c)，例题3-3181(3)(4)可以验证(3)和(4)式相当于平衡方程。联立求解(3)和(4)

，得由卡氏第一定理，得2.由卡氏定理求D1，D2例题3-3182

也可用结点A的位移图(图d)求dAB、dBC与D1和D2之间的关系。由图d可得(d)例题3-3183Ⅱ.卡氏第二定理

图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di、fi。梁的余能为表明(1)余能定理(3-12)184令上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Fi相应的位移。(3-13)得

设第i个力Fi有一个增量dFi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是185

图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A，材料在单轴拉伸时的s－

e的关系如图b所示。试用余能定理求结点C的铅垂位移D1。例题3-4186解:在例题3-3中，已求出结构的余能为由余能定理得例题3-4187

设BC和CD杆的伸长量为d，容易验证上式的，即为变形的几何关系。两杆的伸长量为由平衡方程得则BC和CD杆横截面上的的应力为故例题3-4188(2)卡氏第一定理和余能定理的比较

余能定理

卡氏第一定理Di→Di+dDi，其它位移均不变，所有的力均不变。Fi→Fi+dFi，其它力均不变，所有的位移均不变。189续表

余能定理

卡氏第一定理(平衡方程)(变形的几何关系)适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体190(3)卡氏第二定理

当结构为线弹性体时，由于力F和位移D成正比，Vc在数值上等于应变能Ve（如图）。若把Ve用力表示，即(3-13)式可改写成(3-14)上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。VcF1FD

D1

a(e)O191

它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。注意:组合变形（不计剪力的影响）时

也可以写成用该式计算时，可减少计算工作量。192

图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用卡氏第二定理求梁A端的挠度wA。例题3-5193

因为A截面处无与wA相应的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。解:1.分析例题3-5194

梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为利用卡氏第二定理，得这种虚加F力的方法，也称为附加力法。（和假设的F

的指向一致）2.求wA例题3-5195

图

a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角DqB。不计剪力对位移的影响。例题3-6196

在中间铰B的两侧截面处各加一个外力偶矩MB

，并求出在一对外力偶MB及q共同作用下梁的支反力(图b)。B截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶

MB

相应的相对角位位移，即解:1.分析例题3-6197

梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为AB段2.求DqB例题3-6198中间铰B两侧截面的相对转角DqB为结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。(0≤x≤l)()BC段例题3-6199

图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。例题3-7200解:圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即

用j角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为例题3-7201

结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。

利用对称性，由卡氏第二定理，得例题3-7202

图a所示Z字型平面刚架中，各杆的弯曲刚度均为EI，材料为线弹性，不计剪力和轴力对位移的影响。用卡氏第二定理求A截面的水平位移DAx

及铅垂位移DAy和A截面的转角qA。例题3-8203在A截面处虚加Fx和MA（图b），则解:1.分析例题3-8204M(x)=-Fx-MA(0≤x≤

3a)AB

段2.分段列弯矩方程，并分别对Fx、F、MA求偏导数例题3-8205B

(c)M(x)F3FaxqABC段将力F向B截面简化，得到作用于B的竖直力F和力偶矩3Fa，Fx和F在垂直于BC杆方向上的分力分别为Fxsinq和Fcosq

，指向如图c中虚线所示。例题3-8206M(x)=Fx4a-Fx-MA

(0≤

x≤3a)CD段例题3-8207由卡氏第二定理可得3.求DAx

、DAy、qA。例题3-8208（）例题3-8209

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1、2两截面的挠度分别为w1和w2。试证明：w11FF2w2例题3-9210

证明：设作用在1、2两截面的外力分别为F1和F2，且F1=F2＝F，则梁的应变能为Ve=Ve(F1，F2)。根据复合函数求导法则，有w11FF2w2例题3-9211

由以上结果可知，若结构上有几个外力的字符相同时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开，利用卡氏定理后，再把该力用原来的字符表示。例如，求上述梁的w1时，应将1截面的力设为F1，则例题3-9w11FF2w2212

图a所示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求A截面的铅垂位移DAy。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2例题3-10213

由于刚架上A、C

截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开(图b)，在应用卡氏第二定理后，令FA=F。即解:1.分析(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2例题3-10214AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx

，各段的弯矩方程及其对

FA的偏导数分别为BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl，2.求DAy例题3-10(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2215CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2，

令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得例题3-10216

图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求A端的铅垂位移DAz（不计剪力对位移的影响）。FlCBAlxxyzO例题3-11217解:1.分段列弯矩方程及扭矩方程，并分别对力F求偏导数AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为（0≤x≤l）（0≤y≤l）BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为例题3-11218

A端的铅垂位移为2.求DAz例题3-11219Ⅰ.

卡氏第一定理()§3-4用能量法解超静定系统220

图a所示各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。例题3-12221

设1、2、3杆的轴力分别为FN1、FN2和FN3（图b），相应的位移为D1、D2和D3（图c）。由对称性可知，FN1=FN2，D1＝D2。由图c可知：