信号分析与处理(第3版) 课件 第3章3.2.3DFT性质

信号分析与处理SignalAnalysisandProcessing

第3章

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换绪论内容回顾1、信号分类2、信号分析与处理系统（连续离散）信号分类不要怕，连续离散看时间。时间连续是连续，时间离散是离散。时间幅值都连续，这个信号必模拟。时间幅值都离散，数字信号不会错。（能量功率）能量功率有点难，记住公式变简单。先来求解能量W，再除时间得功率。信号平方求积分，区间负到正无穷。能量有限是能量，功率这时必为0。能量无限怎么办？快去求解功率P。功率有限是功率，功率这时不为0。非功非能还正常，既功既能不可能。（信号分析与处理系统）输入连续抗混叠，（抗混叠滤波器）连续A/D变离散，（A/D转换器）离散DSP处理完，（数字信号处理器）离散D/A变连续，（D/A转换器）输出之前要平滑。（输出平滑滤波器）在无限时间的幅值有限的周期信号为功率信号；能量信号一定为非周期信号；非周期信号又可分为三种：能量信号：持续时间有限的脉冲型信号

t→ꝏ时，f(t)→0功率信号：持续时间无限，但幅度有限的信号非功非能信号：t→ꝏ时，f(t)→ꝏ既功既能信号×能量信号和功率信号小结第1章内容回顾连续时间信号离散时间信号第2章内容回顾信号最高频率最小采样频率已知信号x1(t)和x2(t)的最高频率分别为fm1和fm2，且fm1>fm2。下列工程实际中的复杂信号，离散采样不失真的最小采样频率分别是多少？采样定理拓展四种变换1、x(t)=C（其中C为常数）是什么信号?()能量信号功率信号既不是能量信号也不是功率信号既是能量信号也是功率信号ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本解析：正确答案为B直流信号是功率信号。能量无限，功率有限。答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析单选题10分2、信号

中含有的直流分量为（

）11/221+cos2ΩtABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为BFS,求直流分量a0/2答案解析单选题10分3、判断序列

是否是周期序列，如是周期序列，确定其周期。（

）周期序列，周期为2周期序列，周期为2π周期序列，周期为5π非周期序列ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为D一个周期，一个非周期所以x(n)是非周期的。答案解析单选题10分4、已知信号x(t)频谱的最高频率为fm，则信号x(t)sin(πfmt)经等间隔采样后，不会发生频率混叠的最小采样频率为（

）3fmfm3fm/2fm/2ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为A采样定理：x(t)最高频率为fmsin(πfmt)最高频率为fm/2x(t)sin(πfmt)最高频率为：fm+fm/2=3fm/2不会发生频率混叠的最小采样频率fs>2*3fm/2=3fm答案解析单选题10分5、某序列的频谱

，该序列的6点DFT中的X(3)=（

）。1/332/33/2ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为CX(z)、DTFT和DFT之间的关系答案解析单选题10分6、已知x(n)=δ(n)，N点的DFT[x(n)]=X(k)，则X(5)=()。N10-NABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为B。答案解析单选题10分主

要

内

容1、连续时间信号的傅里叶变换2、离散傅里叶变换及性质第3章DFT和FFT2.1、序列的傅里叶变换2.2、离散傅里叶变换2.3、离散傅里叶变换的性质2.4、DFT在应用中的问题DFT的性质线性选频性循环移位循环卷积对称性设x1(n)，x2(n)都是两个有限列长为N的有限序列，它们的离散付里叶变换分别为：则它们的线性组合：线性证明：如果x1(n)和x2(n)长度皆为N，即0≤n≤N-1范围有值，则aX1(k)+bX2(k)的长度也是N；若x1(n)和x2(n)长度不等，设x1(n)长度为N1，x2(n)长度为N2，则ax1(n)+bx2(n)的长度应为N=max[N1，N2]，故DFT必须按长度N计算。若N1<N2，则N=N2，那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变成长度为N序列，然后都作N点的DFT。说明：当输入频率为rω的正弦波时，傅里叶变换后的离散频谱中只有一条谱线取值为N，其余的都为零。输入信号是若干频率不同的正弦波的线性组合，经过离散傅里叶变换后，将在不同的谱线位置有对应的输出。离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。选频性DFT有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。(1)圆周移位(2)时移特性循环移位从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出：当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来，因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位。左移m位的循环移位就是将该序列在圆周上顺时针旋转m位。有限长序列圆周移位的实现步骤21310.5nx(n)(1)周期延拓：N=5时2131x(n)0.521310.51120.5n3(2)周期延拓：N=6时，补零加长2131x(n)0.521310.51123n举例21310.5nx(n)(4)M=-2时，右移(取主值)2131nx(n)0.5(3)M=1时，左移(取主值)131x(n)0.52n同理可得：频移特性时域序列的调制等效于频域的圆周移位。7、对5点有限长序列[13052]进行向左2点圆周移位后得到序列()[13052][52130][05213][00130]ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为C。圆周移位，1和3从左边移出去的，从右边移进来。答案解析单选题10分卷积在此我们主要介绍：线性卷积圆周卷积（循环卷积）圆周卷积与线性卷积的性质对比卷积线性卷积定义：有限长序列

x1(n),0≤n≤N1-1；x2(n),0≤n≤N2-1

则线性卷积为：注意：线性卷积结果长度变为N1+N2-1。线性卷积四个步骤：翻转移位相乘相加（求和）令则圆周卷积结果长度不变，为N。圆周（循环）卷积x(n)逆时针，h(n)顺时针h(n)不动，x(n)顺时针移位对应位相乘再相加圆周卷积的实现步骤231x(n)54n0N1=5线性卷积：圆周卷积：(N=7)补零加长231x(k)54k0N1=5N2=3213h(n)n0x(k)231540N=7k举例讲解线性卷积无需周期延拓，圆周卷积需进行周期延拓：线性卷积的翻转：圆周卷积的翻转(并取主值区间）：231h(-k)k0231h(k)0k231231231h(-k)k0132平移231h(1-k)k00231h(1-k)k231x(k)54k0231x(k)540N=7k相乘∑x(k)h(-k)=5×1=5∑x(k)h(1-k)=5×2+4×1=14∑x(k)h(2-k)=5×3+4×2+3×1=26∑x(k)h(3-k)=4×3+3×2+2×1=20∑x(k)h(4-k)=3×3+2×2+1×1=14∑x(k)h(5-k)=2×3+1×2=8∑x(k)h(6-k)=1×3=3

相加得到线性卷积的示意图

相加得到圆周卷积的示意图14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可见，线性卷积与圆周卷积相同

当N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时若圆周卷积取长度为N=5，则求圆周卷积231x(k)540N=5k求得圆周卷积∑x(k)h(-k)=5×1+2×3+1×2=13∑x(k)h(1-k)=5×2+4×1+1×3=17∑x(k)h(2-k)=5×3+4×2+3×1=26∑x(k)h(3-k)=4×3+3×2+2×1=20∑x(k)h(4-k)=3×3+2×2+1×1=14看出圆周卷积与线性卷积不同。171326y(n)n02014k231h(-k)0x=[5,4,3,2,1];h=[1,2,3];lenx=length(x);%求各序列原始长度lenh=length(h);N=lenx+lenh-1;%线性卷积长度N=7x=[xzeros(1,N-lenx)];%x(n)补零[5,4,3,2,1,0,0]subplot(231);%绘离散图stem(x,'.')xlabel('n');ylabel('x(n)');title('原始序列x(n)');h=[hzeros(1,N-lenh)];%h(n)补零[1,2,3,0,0,0,0]subplot(232);stem(h,'.')xlabel('n');ylabel('h(n)');title('原始序列h(n)');y1=cconv(x,h,N);

%求循环卷积subplot(234);stem(y1,'.')xlabel('n');ylabel('y1(n)');title('函数法求循环卷积y1(n)');H=fft(h);%求傅里叶变换X=fft(x);Y=H.*X;%性质:频域相乘后做IDFT等于时域卷积y2=real(ifft(Y));subplot(235);stem(y2,'.')xlabel('n');ylabel('y2(n)');title('性质法求循环卷积y(n)');z=conv(x,h);%再求线性卷积进行比较subplot(236);stem(z,'.')xlabel('n');ylabel('z(n)');title('线性卷积z(n)');MATLAB验证@2019214042董磊要用循环卷积实现线性卷积，那么循环卷积的长度L必须大于或者等于线性卷积的长度N+M-1，即：L≥N+M-1。否则，循环卷积周期延拓时会产生混叠。线性卷积循环卷积，L=7循环卷积，L=8圆周卷积与线性卷积的性质对比取L≥N1+N2-1情况下，圆周卷积代替线性卷积的实际实现的框图如下：上图依据的是圆周卷积定理，做的是圆周卷积。然而由于L选取符合条件，因而结果是与线性卷积结果一致的。L点DFTh(n)L点DFTL点IDFTx(n)y(n)圆周卷积代替线性卷积的实现方法令x(n),h(n),y(n)都是N点序列，其DFT分别是X(k),H(k),Y(k)。若：y(n)=x(n)h(n),则：Y(k)=X(k)H(k)若：y(n)=x(n)h(n)则：Y(k)=X(k)H(k)

时域循环卷积频域循环卷积两序列乘积的DFT等于它们的DFT的循环卷积乘以因子1/N。两个时域序列的循环卷积的DFT等于它们的DFT的乘积。8、对x1(n)(0≤n≤N1-1)和x2(n)(0≤n≤N2-1)进行8点的圆周卷积，其中（）的结果不等于线性卷积。N1=3，N2=4N1=5，N2=4N1=4，N2=4N1=5，N2=5ABCD提交可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本正确答案为D。线性卷积后长度:N1+N2-1。答案解析单选题10分1、已知

和求x(n)与h(n)的6点循环卷积。作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂011223434011-123可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本6点循环卷积=线性卷积{1，4，10，16，17，12}答案解析主观题100分解法一：线性卷积求解法1410161712(a+b=0)循环卷积与线性卷积两者等价。竖式法求解线性卷积：例题讲解解法二：圆圈法x(n)和h(n)补充N点，零点对齐，反方向排列。若一个顺时针，另一个则逆时针。对应位相乘并相加，得:移1位求z(1)：一个序列不动，另一个与它原排列方向的反方向移位。牢记两个反方向！........1132002..34..0002.00.........2132003..40..0001移2位求z(2)：移3位求z(3)：.........3132004..00..012.........4132000..01..023移4位求z(4)：移5位求z(5)：.........0132000..12..034.........0132001..23..040解法三：卷积定理求解法解法一：线性卷积求解法解法二：圆圈法解法三：卷积定理求解法

多角度看问题6点循环卷积：

2、已知5点序列x(n)=[1,0,2,1,3]，n=[0,1,2,3,4]，请求解：（1）x(n)线性卷积，x(n)*x(n)。（2）x(n)的5点循环卷积。（3）x(n)的10点循环卷积。作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本线性卷积[1,0,4,2,10,4,13,6,9]5点循环卷积[5,13,10,11,10]10点循环卷积：=线性卷积[1,0,4,2,10,4,13,6,9,0]答案解析主观题100分DFT的对称性质较为复杂，归为以下三类:共轭与圆周共轭对称在时、频域的对应关系；实(虚)部与圆周共轭对称(反对称)分量在时、频域的对应关系；时域为实序列时对应DFT特征；另外，在以上对称性质的基础上，可归纳总结出x(n)与X(k)的奇、偶、虚、实关系，利用这些关系，可减少计算DFT时的运算量。对称性奇对称(序列)和偶对称(序列)

x(n)与-x(-n)互为奇对称；满足x0(n)=-x0(-n)的序列x0(n)称为奇对称序列。

x(n)与x(-n)互为偶对称；满足xe(n)=xe(-n)

的序列xe(n)称为偶对称序列。0x(n)n0xe(n)n0x(-n)n互为偶对称为偶对称序列0x(n)n0x(-n)n互为奇对称0xo(n)n为奇对称序列设x(n)为实序列，X(k)=DFT[x(n)]。则有:(1)X(k)=X*(N-k)(2)若x(n)=x(N-n)，则X(k)=X(N-k)(3)若x(n)=-x(N-n)，则X(k)=-X(N-k)对实序列进行DFT时，利用以上性质可减少运算量，提高运算效率。实序列的对称性则：如果x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部(包括j)的DF