小学奥数题目汇编及解答

1（一1讲循环小数与分数]．741计算： 6213133 7 【分析与解】原式= 62712234131

【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有1995

9

1995×0.5． 199(310 1993

195

1995 =

1993 40.4 9

1995 19951993

=1(

)=1

1 1

1987=13973

4 8x 【分析与解】方法一

4x112x

2 8xx+ 4x4 方法二：有

82x2

，所以28

1323；所以x42，那么xx4x4求4,43,44344...43109个4+43+443...

9个=4(441)(4441)...(44...410个4=444444...44...4910个

(999999...9

10个 10个 方法二1039+4=31104×9=363，为36339104×8=323，为32335104×7=283，为28331104×6=243，为24327104×5=202，为20222104×4=162，为16218104×3=121，为121139 94 4【分析与解 3(110.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=6

23)

0.3)(2350.625 384515527

13

（3=2×3×4（4=3×4×55)=4×5×6(10)=9×10×11„

1 1

1617 【分析与解 )

1

【分析与解】

,, 6

的和为l，因此应去掉 1-2101.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?【分析与解 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有„较大，于是最大的9.29189【分析与解】

，

，

11

caab cb abc

，当acb

c ab cb abc aca2，那么有2cbb、c

2(c2）c(c 2c 2 3 ==

(21)(21)(31)(31)...(101)(101)22 33 132435465768798109112233412334455...991011223341 2 已知

116612671368146915116512661367146815

a=1166126713681469157011651266136714681511(651)12(661)13(671)14(681)15（69=116512661367146815

1112131411651266136714681511121314

=100 1001165+1266136714681511121314

11121314 因 100 1001165+12661367146815

所以a

11121314

100

11121314 100116512661367146815

所以a＞100 综上有101

＜a＜101

．所以a

＝

＝ 有AB＝ 有A×A＜4×（＝ ＝ ，所以有

10

10

方法二

1357...9799 98A2＝113355...99 1001335577...979799 224461

3、

5、

、„

9798

、

1

得到的结果中有1980÷9=220个“12345679098765432012345678”k个 k个2（二1na122232 n21nn12n6

2 3 1

,b

2 3 1

a 2 3

,b 2 3 98

98

.A<BA

B97

98

97

98

,96

97

96

97 98 98 2 3 4

23

4 1

a98

98 试 2 3 4 3

1

4 1【分析与解】x34

1 12

12x1

12x11

2x1+2+3+4+„4+100【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050． 2+3+4+5„97+98+99+100100+99+98+97+ 101100101×100，那么原式的和为10l×100÷2=5050．=122(31)3(42)4(53) 100(10199)=(12231234234534 =100101=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+„+99×100×(101-(1232341233452344563455674569899100)99100101方程二：12+22+32+42+„+n2n2n(n1(2n16 0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.81×3+24+3×5+46+„+9799+98×100100．方法一：2，于是我们容易想到裂项的方法．0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.810.0 =(

=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+„+992-=(11+22+32+42+52+„+992-1=(×99×100×199-61=×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+„+(n-31=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+„+(n-1)×n[n+1-(n-3 123231234342345 =3(n1)n(n2)(n1)n(n =1(n1)n(n1)120)(1120)(111 1222 )23 45 【分析与解】

23 345

2 23 23 nn(n1)(2n26

120)(1120)(11 1222 111)111)6(11 1231451201)1(312351=24( )=

23 45 20

243 465 2022120=24( )( 120

243 45 465120120

202221==6(

12 411

)1 21=6(1 =(11111 )2(1111 )2(111 (11 )2(11 )2 )2(11111 12+1=2;(11)2(1)2(11) (111)2(11)2(1)2(111) (1111)2(111)2(11)2(1)2(1111) 17×18+18×19+19×20+„+29×303多位数的运算，涉及利用 k个一、 k个在多位数运算中，我们往往运用 k个 3我们把 3转化为 9 2004个 于是原式为 2004个 0-

÷3）

0-1）× 20042004个 2004个 1999个1999个

，于是为 1999个19991999个 原式=333 3×2×3×3×333 2004个 = 3×2×3× 2004个 0- 0-

2008个 99 =

,于是为 022003个2003个 2003个计算 1－ 【分析与解】此题的显著特征是式子都含有 1，从而找出突破口 1－ 2 1 0

0- 1×（ 9 3.

计算 6× 【分析与解】我们还是利用 9

6× 67×25=[2×（ 9）]×[2×（ 9

=[2 01）]×[2 0 =1×1 0- 0

0- 0-

=9

× 9-

1- 2004个 100 2004个 2004个 2004个评注：对于 100 2004个 100 2004个 0 100

2005个

2004个 9 100

2005个

2004个 49

2004个

2004个计算 2 2的积1998个 1998个【分析与解】我们先还是同上例来凑成 9k个 2 1998个 1998个22 929个9 01998个29118个 1998个 01 918个 1998个9个 498个 1998个4＝＝ 0 0＝1 56 1997个 1997个我们知道 9个19974，9221848×4=323，3525459 8个我们知道 4938271649382716 049382716 220个 评注：对于 0- 4计算，我们再详细的说一说1998个 1998个 1998个 0 1998个 1998个 1998个＝ 9+1- 1997个 1998个＝＝ 51997个 ＝＝ 561997个 1997个 ： （199+199199+19919199„91999【分析与解】199819981998＝1998×10011001

19981998 原式＝1998（1+10001+100010001+100110011001）÷［1999（1+10001+100010001100110011］×99＝198÷991999199.【分析与解】1993×1231000000—11993×123M＝＝abcdef000000-＝abcdeff1999999+1－＝abcdeff19a9b9c9d9e9f＝abcdeff19a9b9c9d9e9f那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9 k个试求9×99×9999×99999999×„× 9× 9× 256个【分析与解】

512个

设9×99×9999×99999999×„× 9× 9× 9256个

512个

9类 注意到9×99×9999×99999999×„× 9× 9256个 512个则 0 0

256个

512个

k个即 9乘积1023个 8．我们定义完全平方数A2=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：【分析与解】（ 1）2，只有在n<10时成立 89=A2A2004个 【分析与解】①注意到有 89可以看成 89，其中2004个 寻找规律：当n=149=72；n=24489=672； 672于是，类推有 89 6722004个

2003个

n个

89= 0+ 82004个

2004个

2004个则 0+ 8 02004个

2004个

2004个 1×［4×（ 9

1×［4×（ 9

＝（ 67

②由①知 89＝ 672，于是数字和为(4n+8n一n个

于是，n=167，所以 89 ，所以存在，并且为 89 167个

167个

计算 6×9× 3的乘积是多少 于是，猜想 3=199996 02

6×9× 3=199996 02

评注：我们与题l对比，发现题1为 6×9×3× 3使用递推的方法就有碍,

练习1．设N= 6×9× 练习2．乘积 9× 练习3．试求 416％．那么，原计划生产插秧机多少台?5040÷(1+16％-56％)=84004：3，202171．5【分析与解】:43，202120×4+21×3=143，则单位“171.5÷143：0.5140413

x只，那么西院养鸡x40只．x40111401xx280. 3 12

2

2

2

所以有西院原养鸡(40—2015=24040+240=280 【分析与解】方法一：1204060200200×90=18000325255169÷5％=180325-180=145451625％那么，这堆糖果中有

9 1)=20块9

=9911104 1013462 4 75 28％．小明从某一堆中拿走一半棋子32％．那么，共有棋子多少堆?【分析与解】方法一：x堆棋子，每堆有棋子“1

1×3228x=32x12

2

l

4 32185：3，中班2：1，那么大班有女生多少名?3

1

233010％，5

4 4 2328％，那么水果糖所占百4b粒巧克力糖．2a

a

575

2a 3a

2ac．4.5【分析与解】表述1：6050由③知两校获二等奖的共有(60+50)×20％=2260-60×50％-18=1212÷50×100％=24％．9表述 2590％出售，结果每天售出的1．51．25．卖出价买入价

【分析与解】根据题中给出的公式知：

＝去年卖入价

今年卖出价1+25今年卖出价1+25定价 定价 51a:b=c：d，则(ac)：(bd)=a：b=c：d；2a:b=c：d，则(ac)：(bd)=3a:b=c：d，则(a+xc)：(bxd)=a：b=c：d；(x4a:b=c：da×d=b×c；(即外项积等于内项积)

1．AB8：534，AB2方法一：设A8xB5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17A136，B85．方法二：AB31BB17×5=85．5x+56)：x=60：1205x+56)：x=1：2x=10x+112， 【分析与解】1：33：4．试求公鹅、母鹅的数量比． =15: 544)45:46:(35 4)46:

8751

3总数

87 3

（

（

3

3 ：206m150cm，求柱子的高度为多少？【分析与解】70cm175cm;所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5A，BC3：5：2?A、BB55：1.5．于是此时含有C为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中C的含量为3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.256.25．【分析与解】男工为“kk25

1

【分析与解】标准的时钟每隔65假设经历了x

于是，甲钟每隔

5 24 2460

246024

×x

246024

×x246024

246024

5

246065

5 5

24 65

24 小时

60

23

3

6【分析与解】1

(325414):(315424)46: 1

15:(325414)45: 天

625

18

25

)×(

25

5

【分析与解】15 【分析与解】甲、乙、丙三个队合修的工作效率 1012

所以－

2

=5

1232【分析与解】23

3

23

15

181

18

8

18

1

【分析与解】乙管每小时注满水池的 丙管每小时注满水池的

=

1【分析与解】8

、 即 －8

【分析与解】18

+

91

8

＋

．

－

5【分析与解】

＋2×

6181”2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为3效率的．434

【分析与解】100÷10=103

3

)×3=(“排”－10)，3

352152【分析与解】“115

，2“进”－“排 15

题中需同时打开x212

，

16

【分析与解】 全池的

＋－ 1－－

12

6

l－

l÷

34

4

13 ＋－

6

÷

4

4

4

13 ＋－

6

=

1 1

4

1÷

甲管

4

AA，B4B，C【分析与解】

811

14

因为

4

－（ 18

7【分析与解】27627×6=16216先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙)；【分析与解】24×6=14422236×12=432的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，613

161

23

3

③=2阴影部分面积.于是，整个为4 块地.那么需

群牛吃新长的草，于是

=现在

3.4

90【分析与解】牛、马45天吃了原有+45天新长的草 牛、马90天吃60天吃了原有+6090原有+90 90天吃了原有+90天新长的草909090 所需时间为l÷

3

【分析与解】118导引详解》五年级[第15讲 1、2、34、5③6、7③④步【分析与解】设这个两位数为ab，则数字和为ab10ab，有10abab即10ab4a4b，亦即b2a注意到a和b09a0，因此a1、2、34，相应地b2、 设AB

,那么A+B 【分析与解】3A+llB=17B=l，A=27357x+3y=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的x=2(mod3x2y12；x2+3=5yx x即y12y5,xy14、 601l110【分析与解】11110abcd abcd由a10b100c1000d100002(2)(1)得9b99c999d99403743624【分析与解 y人)，那么有13x103yx6y=216，化简为3x36y=216x12yx12x24x36x48x有y5y4y3y2y1

x但是，女职工人数为3yx必须是自然数，所以只有y53yx30.7O.8【分析与解】0.7，0.8xy0.7x+0.8y=3.47x+8y7y≡6，l，2，3，4(mod7y6,1,130357【分析与解】7„„，3544+7k克重．3x个，5y个，则3x5y47k．当k=03x5y4当k=13x5y11x=2，y=1，717当k>1，73、5【分析与解】B、C、D、E、Ab、c、d、e、(10-b-c-d-e)2.910bcde4.7b7.2c10.6d14.9e18b43c77d120e=310，显然e只能取0，1，2．Ⅰ有18b43c77d=310，其中d可取0，1，2，3，4．c≡4(mod6)，于是c418b=310-43×4=138，bd=0(2)有18b43c=233，将系数，常数对6取模得：c≡5(mod6),于是最小,那么有18b=233-43×5=18,c≡O(mod6)，于是c0，18b=156，bd=2c≡1(mod6)，于是最小那么有18b=79—Ⅱ有18b43c77d=190，其中d可以取0、1、c≡5(mod6)，于是c5，18b+215=113d=1有18b43c=36,显然有Ⅲ有18b43c77d=70dc≡4(rood6)，于是c418b+172=70，显然不满足【分析与解】21681．【分析与解】1【分析与解】(110102+3+5+7+11+13+17+19+23+2950．222 222 23又有50

8个

60÷7=8„„4，60= +7+4，而4=2+2，恰好有60= 8个

8个【分析与解】98501001234849492，46，46分，482；4579„47分，492346,8„46分、48308111，3分，979935357，5，135—17=181718359，6，3，21591mnmnm=np+rr(p+1)，(n－rP．把自然数SS＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，3，这样它们的乘积最大．2+3+4+5+„+n若自然数Nk1Nkm2m－1 ，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即 ，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．【分析与解】画出示意图 4+3+3+2+1=1330【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天42【分析与解】abaa+1)个小球．742=14×342：13+14+15342=21×242=9+10+11+124743凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23200012=1+1可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，111，2，3，4，5，6，7，8，9，1110k29：9=4+5，9=2+3+4，921”，就是用连续的整数的和的形式来表达根据（1）33+1=444=2×2，最小的729)2,3、6、9、10、27【分析与解】A(A有

2A(A1)

A，B2．因为相邻的两个数互质，所以，偶数÷21221，均为完全平方数．A=lB2=1×2÷2=1A+B=2，A+2B=3l+2=3；26213，不是完全平方数，不满足．A+2B=49+2×35=119l+2+3+„+84=85+86+87+„+119(=3570)．1+2+3+„+84=85+86+87+„+119(=3570)．6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+250(273【分析与解】(1x+y+z=50x、y、zx、y、z,„„„„„„„„„„„„26+24+23+21+20+„+3+2 26+(24+23)+(21+20)+„+(3+2)=26+4747 5=26+(47+5)×8÷2=26+52×8(26118【分析与解】nl

x y z 1318÷2=93

但是我们还应注意到，当分的次数越多，分母的和越大．如：当分成10118+10=2883223

12

11 12此时对应 2

111

10（一如果把任意nn【分析与解】5250。n5．n45O520；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．n31×2×36，2×3×44，3×4×5n21×2，2×3，3×4，4×52，6，4，0，显然不所以满足条件的n如果四个两位质数a，b，c，da+b=c+d【分析与解】11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，所以满足条件的a+b30【分析与解】1239514，32，50，68，8658650326814．14．【分析与解】2002847的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：201，且两两均不互质．请写出所有可能的【分析与解】a、b、ca＜b＜c141326、91、143326、33、3591、34、33143、63、8510-1A4830A【分析与解】B小圆周长为×30=307r4824，302412

设ab【分析与解】12，18，24，36，72a＞b．(2)60=2×2×3×5121，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b60a＞b．a=60，b6011a－b11a=30，b4，12，20a－b26，18，10；a=20b3，6，12，15a－b17，14，8，5；a=15，b4，12a－b11，3；a=12，b5，10a－b7，2．总之，a－b11+3+4+2+2=22狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳423

米，黄鼠狼每次跳24

次．比赛途中，从起点开始每隔8

由于1234

=11，123÷23=9 8

8

12

【分析与解】18，33[18，33]=1981981～1981，2，3，„，7，(O181833999÷98=9所以共有5×18+9=99个这样的数．603，939，393AA2A除乙数所得余数是A2A【分析与解】4393A2939A603A即A1275，306，969(1275，306，969)=17×3=51．当A为516÷51=1„4；93÷18„2139÷51736．A为176÷17=5„893÷175„„；33÷7=2证明：形如1，11，1111111„【分析与解】41443，所以不可能为完全平方数．2n+1，则它的平方为4n2+4n+141．【分析与解】59+17+24+28+30+31+33+44=216．6131．3l1【分析与解】10，12，15[10，12，15]=60

1061251549，11，1410，12，15344．2811题方形面积为l4611-255，3，2【分析与解】556060【分析与解】29×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方11-44l121

4

【分析与解】154 2×2×6+1×l×4+×

4

××4=29.254【分析与解】3×3×0.06：0.542×2×0.04=0.16

厘米=117【分析与解】容器的底面积是(13-4)×(9-4)=45(2【分析与解】21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，7541296【分析与解】122416,，圆柱的体积是428128

:1281:243333

，(

(

2)(22

1)52152218

底面积为522221，水的体积保持不变为52153156

177

于是7

3．14)【分析与解】21.5221.5121124.5325【分析与解】长方体中，高+宽=+(365-1212

122

的33其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：63451234×5404×5，4×5，4×34×(5+5+3-4)=36364×5，4×5，4×3，4×34×(5+5+3+3-五面染红的长方体，应只留一个3×5的面不染，这时就产生27．12（一9933【分析与解】【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，同理△BCG、△EHD、△IGH在△IAFIA=IF=AF=9(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=1912-216如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于26为【分析与解】x1+2x1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2x=11．【分析与解】如下图所示，在正六边形ABCDEF中, 面积相等，12个 角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．ABCDEF612-6ABC，DC=3BD，DE=EAABC1．则阴影部分的【分析与解 △ABC、△ADC同高，所以底的比等于面积比，那么

DCS

34

34 EADSDEC2SADC8

x

14

14

12x4

x38 SBDFSFDC42x);(x8)13x56 所以，阴影部分面积为SDECSFEA 12-7，PABCDEAB，FGBC，HICAAIPD12PGCH15BEPF20ABC【分析与解】AIPDPGCHIPPH12：15=4：5．FP:PG=20:15=4:3，DP:PE=12:20=3:5．2

即SDPH

DPHEPH的高相等，所以底的比即为面积的比，有

:

DPPE35

53

51525 12-7(bFH、BPSIFPPHSEPHPHSFBP510 12-7(cFD、APSDPGFPSDFPFPSAPD462

SABC

BEPFSCGPHSIFPSDGPSEHP12201582

5

8

51

78

，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的8 长

128．517，所以剩12852127212-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，AB，C，D，EA：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那【分析与解】而ABCE横A5+1=6，那么C3．ABC=1：2：3，所以ABC．有AC6，所以AC3．12-1020，黄色的面积是【分析与解】14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．12=2012=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12-112601506A，B，C，D，E，F，其中仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人【分析与解】FAFD的距离，于是A(0，150)，球经过的路线为：→(220150)→(700)→(070)→(80150)30)→(140，150)→(0，10)→(10，0)→(160，150)→(260，50)→(210,0)→(60，150)90)→(90，0)→(240，150)→(260，130)因此，该球最后落入EAB=1995，AD=1994BC【分析与解】ADAD2BCCB2．BCC1AB边的点距A2，1994÷2=997．所以最后落人DBC997【分析与解直线AB的右上方的有2个完整的圆2个半圆1个 1个而1个 正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．4：6=2：3．12-140r=9∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多3.14)所以

609242.3910，3.14)【分析与解】PADABOP0AB有 1010

102112.5

半圆DPC（ 1010551

2 131054【分析与解】9103【分析与解】10103【分析与解 20184【分析与解 20204【分析与解

14ABCD+EFG=1993ABCD×EFG【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．A1BCD+EFG=993，EFG7591234×759BCD7591759×234它们的差 一 个是,

, 911

【分析与解】l

+ 911

337

335710104453×3×7×1l3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．15

. 【分析与解

，在等式两边同时乘上3

1

+

＝

3514

+

＝

1

+

＝

，

+

＝

14—114 【分析与解】0.625，，

217÷0.625=81×8=81 217÷2=81×3=315

2÷3+1=12，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.531.5÷3+1=111.5÷0.625+l=3.4，1.52 5

15

7 4【分析与解】(1k．8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+48k=60,k(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为【分析与解】1：Sa214S(1++3+11)+=66a； 在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S66 5S66可知*=7S18.2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)aaS，则有：66+4a=5S．66a综合两个等式664a5S，可得a6S最后考虑含xx、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)x5e66+4x－e=5S=90，4x-e=24e1—11e≠xx=7．即每行相等的和S18，*7．1【分析与解】方法一7

=0.1428577

=0.2857147

＝7

＝0.571428 7 0.7142857

＝0.8571425、61、4、2、8、5、76142857．个六位数为1abcde6abcde1.只能是1abcde×3abcde1=1abcded5，c8，b2，a4142857．方法三abcde1=1abcde×3．那么有abcde×10+l=(100000+abcde)×3，解得abcde=42857．142857．

15一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内29103×4=1244【分析与解】1231、231、23l2、34，12A1A2A3„A11A1以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三212A19③每三个点在A12【分析与解】1199641996【分析与解】123„时可剪出的三角形个数，2×1996+2=39943×1996+1=5989BC【分析与解】因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西1912，„，98【分析与解】TT828=256i1个元素之后和ii=，2„k于是不同的顺序总数为：1611【分析与解】45+3+2+1=11411×4=445+5+5+2，41+1+1+1.【分析与解】四个队共赛了C2436场，6m12(=6×218(=6×3) 由于m4m=2＋3＋4=5＝14mABAB各队用它们的得NN1NN个队进行循环赛，一共要打N

N(N 场比赛：每个队要N12①210②31O【分析与解】3339分，四轮最多493641364132．前三名得分的和至少为78924.所以后三名的得分的和至多为32245445953a5874，765，123，364，925，其中每一个数每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765123，364，92562，45．5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，77)．4，22，再拿7724．123、3644724．724．【分析与解】4+4：84+4=846—8 EC255B、E，C介于A、D之间，则当A，CD598，B104所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94．734717 A.763117(杯 C.753217(杯 D.654217(杯)都有4和AB1、7BD45BA有两个数字相同，又与式DB

17N

N（N-N

场比赛：每个队要打N-12210310核心关系：总计分=31×赛平场次．【分析与解】526181614，17171714，10-5-2=3C2226343030÷3=10【分析与解】363+3+01+0+／+3+3．那么，第一名为／+3+1+3+30+／+3+3+31+0+／+30+0+0+／+3，0+0+0+0+／．55但是，2+4+6+8+10=300、2、4、6、8．41+1+～+1+1，而这时戊一定有得分．所以不满足．01(1)4(2)BCD并列情况；(3CB4)D队战胜了A553E5，A的另外三场均是AE23，ECBDB、C、D4C12B、C、D5A5E02

1815

a【分析与解 方法一：设这个分数

19为a =a19=

,即5a-95=103-a,解得a33,则122-33=89 103 是a方法二

a

，并且有(a1

=122,，解得。=14．所以原来的分数 50％，B75％BA【分析与解】ABA150Bxx+150)个．400(x400100(2x

=75x=25.25+150=17525．升．那么其中的Ax3)×36x×35％=11×38．5x0.5．A11-2x-3=7(升)．13

4

【分析与解】x6：00x6+xx62x31(6x162xxx=4．4 4 1715，最后得到的一个商是a2【分析与解】8a78181172a174512a+457=578a+259，即于是，[(80+1)×8+17890％，那么这堆【分析与解】方法一5049÷50×100％=98％．以后每次数出的球中，红球占7÷8×100％=87．5％．x次9050+8z49+7x．方法二：设,除了开始数出的50n次，那么,共有红球49+7n，共有球50+8n497n≣9049+7n≣45+7．2n,解得n≢20n504329，23，2l17．4【分析与解】xyzwxyz 3232

x14,x3

z2

193x43x4x2y2253x+12=18123x=18-12．

4x

x6x【分析与解】4x-1105105=3×5×74x-1=7x=24x-1=15x=4；4x-1=3x=14x-1=35x=9．7由手小吴看错了方程①中的a7由手小吴看错了方程①中的ay9,小林看错了方程②中的b

y8,如果按正确的a、b【分析与解】

y94×7-b×9=11《九章算术》第八卷“方程”刘徽注:程,课程也.群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如7x367x3

y8是符合①的解，有a×3-2×8=2，解得ayyx1x1x2x3x4 x2002+x2003x2004x2005

x1x2x3x2x3x4

x2003x2004x2005x2004

x3x2x

x1

x3x

x

x4所

x2xx3x

x

x4x

x5

x5x4=x

x6

x4=xx

x

x

x

x2003x于是有x

=x

=x2005

x2x

x6=

x

x1x2

,

所以即x2=x4x6=x8 即x2=x4x6=x8 x2004

x2005215分钟到达．那么AB【分析与解】x米／分钟，从ABY(1x)((3x)(

,,

y10

x3y60AB3×60=180nk209n(96n(96=2323n9-K231．所以n=2320191

9

9

，，【分析与解 设原有x个鸡蛋，那么第一人拿了218(x12个鸡蛋．11(x1)218(x1

1(x1)个鸡蛋，第二人拿了9

1解得x64，则第一人拿了 (641)8个鸡蛋，所以共有64÷8＝8人195：00y4：00+xxy-60x44xy60y，有2x1040x52．521AB?y25 yz,xx=7yzx7y6z2故只答对B6河水是流动的，在QPQR，共3RQPP52

1+y、1—y、y

1

1 2⑤

a21

3(1y23，即a 2 11yab (43y，即5y43y 2 于是，y .由②得ab (1) a

(1)

1

即题中所述情况下从RQP2

21121-l，ABBCCD1D1EEBCECBC5A9D．那么AD4【分析与解】BEBC5

5

9CFFC因此，小王从FC961=18 因此得出小张从BG18GECE6BC30A60-18-6=36(分钟)；AD

38

B1000

1000127=128【分析与解】方法一：9:25

米

-9-

42

4

2

与4

2

675

4,2

4,

2

1525

3521

. 352125 355

355

355

3553

4

3 而 418 2

2

2

2

300÷(625-225)

4

2

1875

4, 54，3201 1

1:1

13: 20 20 4:34:3:3．4

43

1

-1=1 1

×(1-

3一队 1

1=1 1

=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，51

2

6,10【分析与解】(开门前排队人数)+(93×(每个入口每分钟进的人数)×9①(开门前排队人数)+(551×5②①-②得:4=2×(每个人口每分钟进的人数)„③代入②得，开门前排队人数=25×2-5=45【分析与解】设第一天的每个仓库的工作量为那么甲、乙、丙的合作工作效率为1111 15 14

2-

工作÷

228400—5040=33603360： 7于是共有工程量为457 79．89．6所以，乙单独工作需9.85527.3121

3

【分析与解】312

4134

44

412

194个完整周期，剩下

947

4329 需要 天 7于是，甲、乙、丙合作这件工程需 天9【分析与解】方法一：x，则不打开出x5.

2x x

x

x

(x5)(x

1

2x35xx530分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为6030l

111

2 82.5分方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管65605孔出水的时间比前者多72657712522那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水5735进水6535301因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要3030 3)82.5分钟17

23【分析与解】4040+10=50202025=50026-25=l；5001=50015

3

2

40

„„【分析与解】10101，.10.0，001，是无穷的，而

9

9

9

24100％的利润(即利润是成本的10030.2％．那么第二次降【分析与解】第二次降价的利润是：7633102085％出售．那么买三件的顾客有多少人?【分析与解】3×(1-20％)+1×100％=340％=4×851185％．4(76-2

35

33-15-4=14(人)．【分析与解】x立方分米，那么乙容器有溶液(11+15x26-12=144000国人口总数控制在12.7亿以内且在21世纪保持人口每年的自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过10％．请问：到2030年我国粮食产量能超过年人均400千克吗? 【分析与解】1.39÷2≈0.701.39-0.70=0.6920304000×0.69×1.7=4692(亿千克)；4692+2088=6780(亿千克)．12.7×1.13≈16.9400400×16.9=6760(亿千克)．10【分析与解】100190100A200200190100x100+(19x100=10x A10E19-10=9【分析与解】243-125=118(千克)．设四人的体重从小到大排列是a、b、cd，那么一定是ab=99，acad=118，bc=125；或bc=118．ad=125．99113b=99ac=113a，所以b与c都是奇数，或者b与c都是偶数，于是bc一定是偶数，这样就确定了bc=118．a、b、cb、c中较重的人体重是c1、A、B、CA+B+C=20011<A<B<C6【试题分析】②1+A<1+B<A+B<1+C<A+C<B+C3

23

4

23

23

12

【分析与解】21.5101010+2.51230

25【分析与解】4×5=204，说明20－4=161616、8、4、2．54,21534×25=38350＜43214，所以在10108【分析与解】

，

73，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．【分析与解】设这个四位数为abcdm2①3，并且没有进位，为(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)

有②－①得：3333=n2m2 33333333=3×11×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8n+m＞n－m，41将6

【分析与解】111，化简有(a－6)(b－6)=62 11 2

2

t2 aAa2所以，一般公式为Bt2

设t2的约数有xA、Bx+12A注意有一组解A、BB2t1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标1993【分析与解】1112001，4001，„„则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是4，„，标有1993的是1+2+3+„+1993=1987021号．k(k

2n=0k(k+1)=2042，无整数解；n=1k(k+1)=6042，无整数解；n=3k(k+1)=14042118×119=14042118；nk13，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的．求3【分析与解】设这个三位数为abca+b+c，如果没有进位，那么abc3ab(c3则abc+3=a(b1)(c3100+(b+1)+(c+3－10)=c7，8，9．

3207，117108．17【分析与解】先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为ab cd，则a+d为奇数，b+c的和小于10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质．6

26本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意n进制就是逢n进一．【分析与解】所以说进位制n1212，6，4，3，2．44，3，2我们知道(410×(13)10=(52)105210010100我们知道n【分析与解】 55l64135 评注：若原为n进制的数，转化为nk进制，则从右往左数每k个数一组化为nk2415(10100001101)2=(2415)86abc9cba6【分析与解】abca×62b×6+c=36a+6bc635a580c53b53，5)=1．b=05．①当b=035a=80c7a=16c；(7，16)=1a、c≠0，所以a=16，c②当b=535a=3×5+80c7a=3+16c；mod7，3+2c所以c=22+7kk699c=2．于是，35a=15+80×2a=5． abc)=(552) 1987bxyzxyz=1+9+8+7xy、zb【分析与解】我们注意

b2xbyz1987 xyz198 b2-1)xb-1)y=1987-25．b-1)(b+1)xb-1)y=1962，b-1)[(b+1)xy所以，1962b-1)的倍数．当b-1=9b=10，当b-1=18b=19，则（b-1)b+1)xy]=18×(20xy)=196220xyxy

,x

xyyy显然，当b=109b=2×109b=9×109于是为(59B19=(1987)10，B11．于是，我们知道n=44 则【分析与解】1024(1024)=210=(10000000000)2． 并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如111...10000...0

0111...15个 5个或以上02

2

**********2l，41，61，8个l，10 于是为C2C2C6

1098 10987 1098765 123 12345 123456 333...3126 2003个

33...33...000... 2003个2003个3

1= 26=(222)3333...31÷26222...2

2003个 2003个2(222)3整除(222)3，2003÷3：667„„2，所以余(22)33、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】我们设(3ab10=(4cd9=(5ef8 我们知道(4cd)在(400)～(4884×92～5×92-1324～406；还知道(5ef)在(500)～(577) 又知道(3ab10在(300)10～(399)10一2004【分析与解】12348„„210<2004<21111，2213221121012211②11248„1248„1„天．

27 19812 1981

2006

【分析与解】

1981

=

2006

1981

=

1981

+

1981

=

+

+

198111981因为

所以19811198120050x}+{y}<22006 19811198120050，所以

+

1981

这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和

【分析与解】x10，x4x]=66x}+6+{x}=2x}+105{x}=4，{x}=5x]=77x}+7+{x}=2x}+106{x}=3x12x]=88x}+8+{x}=2x}+107{x}=2，{x278x]=1010{x}+10x}=2{x}+109x}=0，{x5

，7

，986r满足r19r

20r

21r91=546．求[100r

【分析与解】显然等式的左边有91-19+1=73rr+1

、„

73×7<54673×8546，rx则设有tr解得t

1938 r19

<8，即r

r

≣8，即r

28A，B，Ca、b、c应尽可能的取较小值，显然当a、b、c2、3、5时最小，有A=2×3=6,B=3×5=15，C=5×2=10．2，，1616【分析与解】设这两个数为a、b，且ab，有abkab

.

a

a当k=2

，即(a-2)×(b-2)=2=4，有 ,

，但是要求aba有b

2 2

b

b

a

ak=3

，即a-3b-3)=3=9，有

，但是要求aba有b

b

b逐个验证k36，412，612，10154【分析与解】N2，4，6，8，10，12，147N5055N7，1l137，11，137，11，13于是，当N1，3，7，9，11，138.已知a与b12a与c300，b与c300．那么满足上述条件的自然数abc共有多少组?【分析与解】300=12×52，是a、b12a、b的最大公约数，所以a、b5

12×由于a、b12，则c2x3y5zx0、1、2y0、1a、b、c5×3×2=30【分析与解】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子． 8A32a枚棋子„1A39a1A2(39a-1)+N=2(39a-1)+1+39a=310a-N=310a-1=59049a-l14N27a当a=21，25，27，29，4a-17a=234a-1=91=7×1372312．A，，2，3，50000A6【分析与解】显然A500,000A6000,000；A5200，000A6000，000．如果存在tabcdef>500,000,使得t×A≡111,111mod1,000,000),A当t=999,999A=888,889tA=888,888,111,111评注：如果存在tabcdef>500，000，使得t×A≡111，111(mod1，000，000A这是AB，B×A=111，111(mod1,000，000)，那么有t×A-B×A)=0(mod1，000，000t-B)×A≡0(mod1，000，000A2、5，t-B1，000，000t-B≣1，000，000，那么t>1，000，000，与t为六位数矛盾．614m，n，k，mn≣k，n2m+2n-2k100mnk【分析与解】方法一：设a=m-kb=n-k，则ab，且都是整数．2a+2b-152ab+k=m+n-k210+21-1=102525ab+k10+l+2=13．而且在a=10b=1，k=2还需证明在ab≢10，2a+2b-l25a987654b1a≢3，2a+2b-1<8+8=16522a2b1被25因此ab-km+n-k25(2m-k2n-k1m-k=x,n-k=y则有2x2y≡l(modx=4P+3，y=4Q+3．x=2，y=1，于是2m2n2k24+23-22=20100x=6，y=l，于是2m2n2k28+23-22=260100x=10，y=l，于是2m2n2k212+23-22=4100l00x=7，y=3，于是2m2n2k29+25-22=540l00其余的将超过(1m+n-k=12+3-2=13．2992，3，57．R71．R32．R21+1+2+3=7．5655，P除以Q40320．1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：12？(223、15、213．所以，不管怎样，它们的差增大或减33（1)1230，显然与开始给出的三个数之间差的余数23、15、19，3231532；167，191，223，2ll44423023．15130BFDCEFGx，有： 又SABD=21010=50,SBEF=2 10x

10x100

50 50 有△DFBDBC共底DBDBC的面积110102

H=∠4+∠5-1800∠G=∠5+∠6-1800F=∠6+∠7-1800∠E=∠7+∠8-∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠1199-2)×1800=12600．第一类情况： 161,10,2,20,25, 9 1,13,10,25,14 7813,10. 3, ,

333138.30-8，ABCD72E，FAB,BCECAEDCAECDAE:DC=1:2SAEGSDCG14SAGDSECGSAEGSDCG,SAGDSECG,SAEGSADG12,而这两个三角形高相EG：GD=1:2FH：HD=1:2．

11

EG:GD=SAEGSAGB12SAEG12SAED6(平方厘米)SAGD12SAED1212SHFC6(平方厘米),

SDCH12SDCG4SAEG46

SGHDSDCGSDCH=24-12=12所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为1SABF22010100x1

3

4x

3

影部分面积为20 12．30-121．求阴影部分的33A，B．大半圆的面积为3A3B31小圆的面积1329 而小圆的面积为AB23233 原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为 3.14)【分析与解】ADS直角ADCS扇形ACAS直角ACDS扇形CDDADC、ACD=

AC290CD2(524297.065(平方厘米 31ABCABC,如果它们的对应边成比例,即AB

CA

KK1，就称这两个三角形全等,记作△ABCABC.相似；【分析与解】BDL,做△ABDLABD.ACDAC2AB2CD2=2500AC50 SACDSABC3040214482936.而|S四边形ABCDSACDSABC936.评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形.这样面积Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下 【分析与解】AB=CD,ABCBACDACCACDDCCACDABCACC=1100CCD；又因为CA只是CA移动的变化,所以CACAABCA是一ADC=1800-CDC=300ADC=700-【分析与解】ACP,CP=MB, 1800MBD=600

6S正六边形

3S 在△MDN、△PNDNDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PNDMN=PN．【分析与解】△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,SKMASANG,而△LMA

8

20060KGEB602=120平方厘米．JQAARHJQA≌△ARH,SJQASARH=5△A,而△PQA

8

20JHDC20240平方厘米．SKGEBSJHDC1204080≈80×3.14=251.23211三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又