广东省佛山市普通高中2025-2026学年高一下学期供题训练数学试卷（含解析）

广东佛山市2025-2026学年普通高中供题训练高一数学一、单选题1．的虚部为（

）A． B． C． D．2．样本数据，，，，，，的中位数为（

）A．12 B．14 C．16 D．203．已知，，则（

）A． B． C． D．4．如图，在长方体中，，为中点，则直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．在中，，，，则（

）A． B． C． D．7．一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（

）A． B．C． D．8．在中，、分别在边和上，与交于点，若，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的最小值为C． D．在上单调递增10．已知复数，，则下列复数中，在复平面上对应的点位于第一象限的有（

）A． B． C． D．11．如图，正方体的棱长为2，则（

）

A．三棱锥的外接球半径为B．三棱锥的内切球半径为C．点在正方体的棱上，若，则满足条件的点有6个D．点在正方体表面，若，则点的轨迹围成的面积为三、填空题12．如图，，，，均在单位格点上，则__________．

13．一个半径为2的半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为__________．14．平面四边形中，，，，则的最大值为__________．四、解答题15．如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，．(1)求四棱台的体积；(2)求点到平面的距离．16．读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图．(1)求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人；(3)定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值．17．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点．(1)证明：平面平面；(2)探究直线与平面的位置关系，并说明理由；(3)求二面角的正弦值．18．记的内角，，所对的边分别为，，．已知，．(1)求的值；(2)若的面积为，是边上的点，且，求的长．19．已知函数．(1)求的对称轴方程；(2)若在上的值域为，求的取值范围；(3)若关于的方程存在三个相邻实根，，（其中），且，求．参考答案1．C【详解】，故其虚部为2．B【详解】将数据从小到大排序为：10，12，14，14，16，20，24，样本容量，故该样本数据的中位数为14.3．B【详解】因为，所以，所以，所以.4．A【详解】如图所示：

设，由，得.在长方体中，由、，可得，因此直线与所成的角为（或其补角）.在中，，则，因为为中点，故，在中，则，由，，可得，所以为等边三角形，故，.因此直线与所成角的余弦值为.5．D【详解】由，得，即得，，则，得解得：故.6．B【详解】，，故．7．C【详解】根据得，当秒时，点位于最低点，则经过时间秒后车轮转过的角度，则点到铁轨表面的高度为.得到符合初始条件.8．A【详解】由可知，点到的距离是点到距离的，即，点到的距离是点到距离的，即，已知，则，设，则，由于与共线，则存在实数使得，即，所以，解得，所以，即，所以，设，，则由于与共线，则存在实数使得，即，所以，解得，所以，即，所以，因此，故A正确.

9．BCD【详解】对于A，，则其最小正周期为，故A错误；对于B，当，其中时，有最小值，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，时，，因在上单调递增，则在上单调递增，故D正确.10．AC【详解】因为复数，，所以，对应点为，在第一象限，故A正确；，对应点，不在第一象限，B错误；，对应点为，在第一象限，C正确；，对应点为，不在第一象限，D错误.11．ACD【详解】三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故其半径为，故A正确；因为，三棱锥的表面积为，所以三棱锥的内切球半径为，故B错误；分别取的中点，则当点与以上六点重合时，，故C正确；因为是正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，，因为平面，所以平面，因为点在正方体表面，，所以点的轨迹为线段，则点的轨迹围成的面积为的面积，即，故D正确.

12．【详解】

以点为坐标原点，网格线所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为1,由图可知,，，，,所以，。则.13．【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为,由题意可知，半圆的半径即为圆锥的母线长，故；半圆弧长为圆锥底面的周长，半圆弧长，因此有，解得；因为，所以.14．【详解】设，，根据题意，，即，已知，由于是四边形的内角，所以，因为，所以，即是锐角，由此可得，，，设的外接圆的圆心为，半径为，的外接圆的圆心为，半径为，如图所示，由正弦定理，得，解得，，解得，点在以为弦，半径为的圆弧上，点在以为弦，半径为的圆弧上，因此的最大值即为这两个圆弧上两点的最大距离，即圆心距与两个半径的和，即，设圆心到弦的距离为，则，圆心到弦的距离为，则，则，则.即的最大值为.

15．(1)(2)【详解】（1）由题意，上底面正方形的边长，下底面正方形边长，所以上、下底面积分别为，又棱台的高，所以.（2）设点到平面的距离为,因为底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，在直角梯形中，可得,由可得，,即，解得.16．(1)，平均每周课外阅读时长为小时；(2)人；(3)小时．【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，可得，则平均每周课外阅读时长（小时）.（2）解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在的频率为，其中课外阅读时长在的频率为，若从课外阅读时长在的学生中抽取5人，则课外阅读时长在有人.（3）解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为，前4个矩形的面积之和为，设第分位数位于，设第分位数为，则，所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为小时.17．(1)证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，为的中点，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面平面；(2)平面，理由如下：取的中点，连接，因为，，分别是，，的中点．所以，，且，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；(3)【详解】（1）略（2）略（3），故，由勾股定理得，，，由可知，，过点作⊥于点，则，由勾股定理得，过点作，则⊥，连接，因为，所以⊥，，故即为二面角的平面角，因为，所以，所以，，在中，，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，，二面角的正弦值为.18．(1)(2)【详解】（1）由可得，由余弦定理及可得，，即，故所以，又，所以.（2）由，解得，则，因为，所以，所以.19．(1)；(2)(3)【详解