第二课时　补集及综合应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第二课时补集及综合应用目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

为了进一步提高同学们的伙食水平，丰富菜品花样，

学校食堂的

老师们做了大量的工作，这是他们周一、周二工作计划的一部分：计划前两天买进的品种

组成集合

U

第一天买进的品种

组成集合

A

第一天未买进的计划品

种组成集合

B

冬瓜、黄瓜、鲫鱼、茄

子、虾、猪肉、芹菜、

土豆、毛豆黄瓜、鲫鱼、茄

子、猪肉、芹菜、

土豆冬瓜、虾、毛豆【问题】

（1）集合

A

与集合

U

是什么关系？（2）集合

B

与集合

A

是什么关系？

知识点一

全集1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是

某一给定集合的

，那么称这个给定的集合为全集.2.记法：全集通常记作

⁠.提醒

“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据

具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当

我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.子集U

知识点二补集1.补集的概念文字语言如果集合

A

是全集

U

的一个子集，则由

⁠的所有元素组成的集合，称为

A

在

U

中的补集，记作

，读作“

中的补集”符号语言∁

UA

＝{

x

｜

x

∈

U

，且

x

∉

A

}图形语言

U

中不属于

A

∁UA

A

在

U

2.补集的性质（1）

A

∪（∁

UA

）＝

⁠；（2）

A

∩（∁

UA

）＝

⁠；（3）∁

UU

＝

，∁

U

∅＝

U

，∁

U

（∁

UA

）＝

⁠；（4）（∁

UA

）∩（∁

UB

）＝∁

U

（

A

∪

B

）；（5）（∁

UA

）∪（∁

UB

）＝∁

U

（

A

∩

B

）.U

∅

∅

A

提醒

（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围；（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算.求

集合

A

的补集的前提是

A

为全集

U

的子集，随着所选全集的不

同，得到的补集也是不同的.

1.已知集合

U

＝{－3，－2，－1，0，1，2}，

A

＝{－2，－1，0，

1}，则∁

UA

＝（

）A.{－2，－1，0，1}B.{－3}C.{－3，2}D.{0，1}解析：

∵集合

U

＝{－3，－2，－1，0，1，2}，

A

＝{－2，－

1，0，1}，∴∁

UA

＝{－3，2}.故选C.2.设集合

A

＝{

x

｜

x

＜0}，

B

＝{

x

｜

x

≥1}，则（∁R

A

）∩

B

＝

（

）A.∅B.[0，1]C.（0，＋∞）D.[1，＋∞）解析：

由题设，∁R

A

＝{

x

｜

x

≥0}，∴（∁R

A

）∩

B

＝{

x

｜

x

≥0}∩{

x

｜

x

≥1}＝[1，＋∞）.故选D.3.已知全集

U

＝{0，1，2}，且∁

UA

＝{2}，则

A

＝

⁠.解析：∵

U

＝{0，1，2}，∁

UA

＝{2}，∴

A

＝{0，1}.{0，1}

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一补集的简单运算【例1】

（链接教科书第19页例4）（1）设集合

U

＝{1，2，3，4，

5，6}，

M

＝{1，2，4}，则∁

UM

＝（

C

）A.

U

B.{1，3，5}C.{3，5，6}D.{2，4，6}解析：因为

U

＝{1，2，3，4，5，6}，

M

＝{1，2，4}，由补集的定

义，可知∁

UM

＝{3，5，6}.（2）已知全集

U

＝R，集合

A

＝{

x

｜

x

＜－2，或

x

＞2}，则∁

UA

＝

⁠.解析：如图，在数轴上表示出集合

A

，可

知∁

UA

＝{

x

｜－2≤

x

≤2}.{

x

｜－2≤

x

≤2}

通性通法求集合补集的2种方法（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解；（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴

分析求解.【跟踪训练】1.已知全集为R，集合

M

＝{

x

｜

x

＞1}，则∁R

M

＝（

）A.RB.{

x

｜

x

≥1}C.{

x

｜

x

＜1}D.{

x

｜

x

≤1}解析：

∵集合

M

＝{

x

｜

x

＞1}，∴∁R

M

＝{

x

｜

x

≤1}.故选D.2.设全集为

U

，

M

＝{0，2，4}，∁

UM

＝{6}，则

U

＝

⁠.解析：∵

M

＝{0，2，4}，∁

UM

＝{6}，∴

U

＝{0，2，4，6}.{0，2，4，6}

题型二集合的综合运算【例2】

（1）（2026·天津高考）已知集合

U

＝{-2,-1,0,1,2,3}，

A

＝{-1,0,1,3}，

B

＝{-2,0,1}，则（∁

UA

）∪

B

＝（

A

）A.{-2}B.{-2，2}C.{0,1,2}D.{-2,0,1,2}

A.{-2，-1}B.

{-1，1}C.{-2，1}D.

{-2，-1，1}

通性通法解决集合交、并、补运算的技巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，

然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借

助于维恩图来求解；（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分

别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要

注意边界问题.【跟踪训练】1.设集合

U

＝{1，2，3，4，5，6，7}，

A

＝{1，2，3}，

B

＝{3，4，

5，6}，则（∁

UA

）∩

B

＝（

）A.{4，5，6}B.{3，4，5，6}C.{3，4，5，6，7}D.{1，2，4，5，6，7}解析：

因为集合

U

＝{1，2，3，4，5，6，7}，

A

＝{1，2，

3}，

B

＝{3，4，5，6}，所以∁

UA

＝{4，5，6，7}，（∁

UA

）∩

B

＝

{4，5，6}.故选A.2.若集合

A

＝{

y

｜0≤

y

＜2}，

B

＝{

x

｜｜

x

｜＞1}，则

A

∩（∁R

B

）

＝（

）A.{

x

｜0≤

x

≤1}B.{

x

｜1≤

x

≤2}C.{

x

｜－1＜

x

≤0}D.{

x

｜1＜

x

＜2}解析：

由集合

B

得

B

＝{

x

｜

x

＞1或

x

＜－1}，所以∁R

B

＝{

x

｜

－1≤

x

≤1}，故

A

∩（∁R

B

）＝{

x

｜0≤

x

≤1}，故选A.题型三与补集相关的参数值的求解【例3】

设集合

A

＝{

x

｜

x

＋

m

≥0}，

B

＝{

x

｜－2＜

x

＜4}，全集

U

＝R，且（∁

UA

）∩

B

＝∅，求实数

m

的取值范围.解：由已知得

A

＝{

x

｜

x

≥－

m

}，所以∁

UA

＝{

x

｜

x

＜－

m

}，因为

B

＝{

x

｜－2＜

x

＜4}，（∁

UA

）∩

B

＝∅，

如图，所以－

m

≤－2，即

m

≥2，所以

m

的取值范围是[2，＋∞）.【母题探究】1.（变条件）本例将条件“（∁

UA

）∩

B

＝∅”改为“（∁

UA

）∩

B

≠∅”，其他条件不变，则

m

的取值范围又是什么？解：由已知得

A

＝{

x

｜

x

≥－

m

}，所以∁

UA

＝{

x

｜

x

＜－

m

}，又（∁

UA

）∩

B

≠∅，所以－

m

＞－2，解得

m

＜2.故

m

的取值范围为（－∞，2）.2.（变条件）本例将条件“（∁

UA

）∩

B

＝∅”改为“（∁

UB

）∪

A

＝

R”，其他条件不变，则

m

的取值范围又是什么？解：由已知得

A

＝{

x

｜

x

≥－

m

}，∁

UB

＝{

x

｜

x

≤－2，或

x

≥4}.又（∁

UB

）∪

A

＝R，所以－

m

≤－2，解得

m

≥2.故

m

的取值范围为[2，＋∞）.通性通法由集合的补集求解参数的方法（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集的

定义求解；（2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数

问题时，一般利用数轴分析求解.【跟踪训练】（多选）已知全集

U

＝R，集合

A

＝{

x

｜－2≤

x

≤7}，

B

＝{

x

｜

m

＋

1≤

x

≤2

m

－1}，则使

A

⊆∁

UB

成立的实数

m

的取值范围可以是

（

）A.{

m

｜6＜

m

≤10}B.{

m

｜－2＜

m

＜2}C.

D.{

m

｜5＜

m

≤8}

所以选项A、B、C正确，选项D不正确.故选A、B、C.

集合运算中的新定义问题我们知道，如果集合

A

⊆

S

，那么

S

的子集

A

相对于全集

S

的补集为∁

SA

，即∁

SA

＝{

x

｜

x

∈

S

，且

x

∉

A

}.类似地，对于集合

A

，

B

，我们把

集合{

x

｜

x

∈

A

，且

x

∉

B

}叫做集合

A

与

B

的差集，记作

A

－

B

.

例如，

A

＝{1，2，3，4，5}，

B

＝{4，5，6，7，8}，则有

A

－

B

＝{1，2，

3}，

B

－

A

＝{6，7，8}.【问题探究】1.若

S

是高一（1）班全体同学组成的集合，

A

是高一（1）班全体女

同学组成的集合，求

S

－

A

及∁

SA

.

提示：

S

－

A

＝{

x

｜

x

∈

S

，且

x

∉

A

}＝∁

SA

＝{高一（1）班全体男

同学}.2.在下列各图中用阴影表示集合

A

－

B

.

提示：

A

中去掉

B

的部分，得到下列图.3.如果

A

－

B

＝∅，那么集合

A

与

B

之间具有怎样的关系？提示：

A

－

B

＝∅说明集合{

x

｜

x

∈

A

，且

x

∉

B

}中无元素，即

A

中

的元素都在

B

中，所以

A

⊆

B

.

4.现有三个集合

A

，

B

，

C

分别用圆表示，则集合

C

－（

A

－

B

）可用

下列图中阴影部分表示的为（

）提示：

∵

A

－

B

＝{

x

｜

x

∈

A

，且

x

∉

B

}，即

A

－

B

是集合

A

中的元素去掉

A

∩

B

中的元素，记作集合

D

.

如图所示.∴集合

C

－（

A

－

B

）就是

C

中的元素去掉集合

C

∩

D

中的元素.故

选A.【迁移应用】

由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国

数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理

数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才

结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学

史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个

非空的子集

M

与

N

，且满足

M

∪

N

＝Q，

M

∩

N

＝∅，

M

中的每一个

元素都小于

N

中的每一个元素，则称（

M

，

N

）为戴德金分割.试判

断，对于任一戴德金分割（

M

，

N

），①

M

没有最大元素，

N

有一个最小元素；②

M

没有最大元素，

N

也没有最小元素；③

M

有一个最大元素，

N

有一个最小元素；④

M

有一个最大元素，

N

没有最小元素.①②④下列选项中，可能成立的是

（填序号）.解析：若

M

＝{

x

∈Q｜

x

＜0}，

N

＝{

x

∈Q｜

x

≥0}，则

M

没有最大

元素，

N

有一个最小元素0，故①可能成立；

若

M

＝{

x

∈Q｜

x

≤0}，

N

＝{

x

∈Q｜

x

＞0}，则

M

有一个最大元

素，

N

没有最小元素，故④可能成立；

M

有一个最大元素，

N

有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至

少有一个有理数不存在于

M

和

N

两个集合中，与

M

和

N

的并集是所有

的有理数集矛盾，故③不可能成立.

1.已知

U

＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，

A

＝{1，3，5，7}，

B

＝

{2，4，5}，则∁

U

（

A

∪

B

）＝（

）A.{6，8}B.{5，7}C.{4，6，7}D.{1，3，5，6，8}解析：

A

∪

B

＝{1，2，3，4，5，7}，则∁

U

（

A

∪

B

）＝{6，

8}，选A.2.设全集

U

＝R，集合

A

＝{

x

｜0＜

x

＜9}，

B

＝{

x

∈Z｜－4＜

x

＜

4}，则集合（∁

UA

）∩

B

中的元素的个数为（

）A.3B.4C.5D.6解析：

∵

U

＝R，

A

＝{

x

｜0＜

x

＜9}，∴∁

UA

＝{

x

｜

x

≤0，或

x

≥9}，又∵

B

＝{

x

∈Z｜－4＜

x

＜4}，∴（∁

UA

）∩

B

＝{

x

∈Z｜

－4＜

x

≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素.3.已知集合

A

，

B

均为全集

U

＝{1，2，3，4}的子集，且∁

U

（

A

∪

B

）＝{4}，

B

＝{1，2}，则

A

∩（∁

UB

）等于（

）A.{3}B.{4}C.

{3，4}D.∅解析：