等式的性质与方程的解集课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.1等式的性质与方程的解集新课程标准解读核心素养掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法

解一元二次方程数学抽象、数学

运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，

狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5

x

－2＝2

x

－2.

等式两边同时加上2，得5

x

－2＋2＝2

x

－2＋2，即5

x

＝2

x

，等式两边

同时除以

x

，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑.【问题】

你认为狐狸的说法正确吗？

知识点

等式的性质与方程的解1.等式的性质（1）等式的两边同时加上

数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个

的数或代数式，等式

仍成立.

同一个不为零2.恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取

⁠时等式

都成立，则称其为恒等式，也称等式

⁠.提醒

常用重要恒等式：①

a2－

b2＝（

a

＋

b

）（

a

－

b

）；②（

a

±

b

）2＝

a2±2

ab

＋

b2；③

a3±

b3＝（

a

±

b

）（

a2∓

ab

＋

b2）；④

（

a

＋

b

＋

c

）2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

ab

＋2

ac

＋2

bc

.3.方程的解集一般地，把一个方程

组成的集合称为这个方程的解集.任意实数两边恒等所有解【想一想】1.若

ac

＝

bc

，一定有

a

＝

b

吗？提示：不一定，当

c

≠0时，若

ac

＝

bc

，则

a

＝

b

.2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解

（根）吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的

根，也可能是这个方程的增根.

1.已知3

x

＝7

y

（

y

≠0），则下列比例式成立的是（

）

2.若

m

（3

x

－

y2）＝9

x2－

y4，则

m

＝

⁠.3.方程

x2＋2

x

－15＝0的解集为

⁠.解析：

x2＋2

x

－15＝0，即（

x

－3）（

x

＋5）＝0，所以

x

＝3或

x

＝－5.所以方程的解集为{3，－5}.3

x

＋

y2

{3，－5}典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一等式性质的应用

A.①②③B.④⑤⑥C.①③⑤D.②④⑥

通性通法

在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘

以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的

条件.【跟踪训练】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（

）A.如果

a

＝

b

，那么

a

＋

c

＝

b

－

c

B.如果

a2＝6

a

，那么

a

＝6

题型二恒等式的化简角度1

利用恒等式化简【例2】

计算下列各式：（1）（4＋

m

）（16－4

m

＋

m2）；（2）（

a

＋2）（

a

－2）（

a4＋4

a2＋16）；解：原式＝43＋

m3＝64＋

m3.解：原式＝（

a2－4）（

a4＋4

a2＋16）＝（

a2）3－43＝

a6－64.（3）（

x

＋1）（

x

－1）（

x2－

x

＋1）（

x2＋

x

＋1）；（4）（

x2＋2

xy

＋

y2）（

x2－

xy

＋

y2）2.解：法一

原式＝（

x2－1）[（

x2＋1）2－

x2]＝（

x2－1）·（

x4＋

x2＋1）＝

x6－1.法二

原式＝（

x

＋1）（

x2－

x

＋1）（

x

－1）（

x2＋

x

＋1）＝（

x3＋1）·（

x3－1）＝

x6－1.解：原式＝（

x

＋

y

）2（

x2－

xy

＋

y2）2＝[（

x

＋

y

）（

x2－

xy

＋

y2）]2＝（

x3＋

y3）2＝

x6＋2

x3

y3＋

y6.通性通法1.在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公

式的结构.2.注意乘法公式的正用、逆用及变形应用.角度2

十字相乘法分解因式【例3】

把下列各式因式分解：（1）6

x2＋11

x

－7；解：由十字相乘法，得：

所以6

x2＋11

x

－7＝（2

x

－1）（3

x

＋7）.

（3）（

x

＋

y

）2－

z

（

x

＋

y

）－6

z2.解：原式＝（

x

＋

y

＋2

z

）（

x

＋

y

－3

z

）.通性通法

对于

ax2＋

bx

＋

c

，将二次项的系数

a

分解成

a1×

a2，常数项

c

分解

成

c1×

c2，并且把

a1，

a2，

c1，

c2排列如图：

，按斜线交叉相

乘，再相加，就得到

a1

c2＋

a2

c1，如果它正好等于

ax2＋

bx

＋

c

的一次

项系数

b

，那么

ax2＋

bx

＋

c

就可以分解成（

a1

x

＋

c1）（

a2

x

＋

c2）.【跟踪训练】1.计算下列各式：（1）（

x

－3

y

－4

z

）2；解：原式＝

x2＋9

y2＋16

z2－6

xy

－8

xz

＋24

yz

.（2）（2

a

＋1－

b

）2－（

a

－

b

）（

a

＋2

b

）；解：原式＝4

a2＋1＋

b2＋4

a

－4

ab

－2

b

－（

a2＋

ab

－2

b2）＝3

a2－5

ab

＋3

b2＋4

a

－2

b

＋1.（3）（

a

＋

b

）（

a2－

ab

＋

b2）－（

a

＋

b

）3；解：原式＝

a3＋

b3－（

a3＋3

a2

b

＋3

ab2＋

b3）＝－3

a2

b－3

ab2.

2.因式分解：

x3＋6

x2＋11

x

＋6.解：法一

x3＋6

x2＋11

x

＋6＝（

x3＋3

x2）＋（3

x2＋9

x

）＋（2

x

＋6）＝

x2（

x

＋3）＋3

x

（

x

＋3）＋2（

x

＋3）＝（

x

＋3）（

x2＋3

x

＋2）＝（

x

＋3）（

x

＋1）（

x

＋2）.法二

x3＋6

x2＋11

x

＋6＝（

x3＋3

x2）＋（3

x2＋11

x

＋6）①＝

x2（

x

＋3）＋（

x

＋3）（3

x

＋2）＝（

x

＋3）（

x2＋3

x

＋2）＝（

x

＋3）（

x

＋1）（

x

＋2）.①可用十字相乘法分解因式3×3＋2×1＝11.题型三求方程的解集角度1

求一元一次方程的解集【例4】

求下列方程的解集：（1）4－3（10－

y

）＝5

y

；解：去括号，得4－30＋3

y

＝5

y

.移项，得3

y

－5

y

＝30－4.合并同类项，得－2

y

＝26.系数化为1，得

y

＝－13.所以该方程的解集为{－13}.

通性通法

解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的

形式灵活安排求解步骤.（1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数.注意根据分数的

基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；（2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数

及符号.角度2

因式分解法解一元二次方程【例5】

求下列方程的解集：（1）

x

（

x

＋2）＝2

x

＋4；解：原方程可变形为

x

（

x

＋2）＝2（

x

＋2），即

（

x

－2）·（

x

＋2）＝0，从而

x

＋2＝0或

x

－2＝0，所以

x

＝－2或

x

＝2，方程的解集为

{－2，2}.（2）16（

x

－5）2－9（

x

＋4）2＝0.

通性通法因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的积；（3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解.

A.1或4B.－1或－4C.－1或4D.1或－4

解得

a

＝－1或

a

＝－4.2.关于

x

的方程

a2

x

＋1＝

b2－

x

的解集为

⁠.解析：由

a2

x

＋1＝

b2－

x

⇒（

a2＋1）

x

＝

b2－1，

1.计算（3

a

－2

b

）2的结果为（

）A.9

a2＋4

b2B.