高三数学数列通项与数列中的不等式

届高考数学二轮复习系列课件

第1页18《数列数列通项与

数列中不等式》

第2页一、基础知识1.不完全归纳法归纳通项.2.数学归纳法证实与自然数n有相关命题:

第一步:验证初始状态,即“n=n0时命题成立”;

第二步:假设推理,即“假设n=k(k≥n0)时命题成立，由此出发，推得n=k+1时命题也成立”.3.均值不等式：4.放缩法：注意放缩度，不能太小或太大，实当即可.5.函数单调性.第3页二、例析第4页解:(1)由a1=2,an+1=an2-nan+1得:a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,由此猜测an=n+1(n≥1).(2)①用数学归纳法证实:Ⅰ)当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.Ⅱ)假设当n=k时,不等式成立,即ak≥k+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-K)+1≥k+3,也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2.由Ⅰ)和Ⅱ)得,对于全部n≥1,有an≥n+2.第5页第6页说明:

在证实(2)中②时,注意到分母特点,利用(2)中①结果“对于全部n≥1,有an≥n+2”,就能得到an-1≥n+1;第7页解：第8页第9页说明:1.数列{an}中第n项an,前n项和Sn,前n-1项和Sn-1之间关系an=Sn-Sn-1在求通项公式中经惯用到.2.含有递推公式an=man-1+krn形式数列通项公解法是要化成一个等比数列来求解(见第二轮复习数列-)第10页解：第11页(Ⅱ)分析1:“作差法”是比较大小基本方法，从已知条件看到，bn由an平方根给出，故可用bn与

bn+1平方差正负来比较bn与bn+1大小.证实1:第12页分析2:均值不等式是证实不等式基本工具.由第13页证实1:第14页(Ⅰ)证实:第15页(Ⅱ)证实:（用数学归纳法证实）（i）当n=1时,0<a1<1,a1lna1<0,

a2=f(a1)=a1-a1lna1>a1,

由函数f(x)在区间(0,1)上是增函数,且f(x)在x=1处连续,则函数f(x)在区间(0,1]上是增函数,a2=f(a1)=a1-a1lna1<a1(1-lna1),即a1<a2<1.（ⅱ）假设当

x=k,(k∈N*)时,ak<ak+1成立,即0<a1≤ak<ak+1<1那么当n=k+1时，由f(x)在区间(0,1]是增函数,0<a1≤ak<ak+1<1得ak+1<ak+2<1,也就是说当n=k+1时,an<an+1<1也成立.依据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意正整数n,an<an+1<1恒成立.第16页(Ⅲ)证实:第17页评析:1.在(Ⅱ)证实中,要注意当0<a1<a2<1时,-lna1>-lna2>0.2.在(Ⅱ)证实中,要注意第二步由ak到ak+1递推推理特点.3.在(Ⅲ)证实中,要注意“循环叠代方法”利用,也就是:4.在(Ⅲ)证实中,要注意“放缩变换”灵活利用.如由第18页三、小结1.证实与自然数n相关命题时常选取“数学归纳法”；２.“作差法”是证实不等式首选方法；３.“放缩法”是证实不等式一个主要方法；４.含有递推关系数列不等式，“循环叠代法”能使问题逐步到达明朗；５.研究透已知条件和待证目标，进行有目标变形，是证题关键中关键；６.函数单调性和相关性质是进行放缩变形一大工具；７.不等式性质在证题中要灵活利用。有时绝对值性质在证题时也会起到主要作用（如例４第（Ⅲ）问）。第19页四