现代通信系统原理 课件 第2章 随机信号分析

第2章随机信号分析2.1随机过程与随机信号2.2平稳随机过程2.3高斯过程2.4随机过程通过线性系统2.5窄带随机过程2.6实带通信号的复分析

2.1随机过程与随机信号

2.1.1随机过程的概念通信系统中大多数的信号、干扰和噪声都是以时间为参量的随机函数，其取值无法通过确定的数学公式进行准确地计算或预测，需要利用随机过程对其进行描述。随机过程可以看作一族时间函数x(t)，其样本空间Θ

包含有限多或无限多的样本函数x(t)∈Θ，每个样本函数都是一个确定的时间函数，并按照一定的规律随机出现，这样的一族时间函数x(t)就称作随机过程，在通信领域中也常称作随机信号。

一个通信信号所对应的随机过程如图2.1.1所示。图2.1.1基于通信信号的随机过程示例

2.1.2随机过程的统计特性

随机过程在任一时刻t的取值也可以看作当前时刻的随机变量，仍用x(t)表示，其概率分布被定义为一维累积分布函数，记为

此函数代表某随机过程在时刻t的取值，即随机变量x(t)小于等于数值变量x的概率。一维累积分布函数的微分被定义为一维概率密度函数，记为

由于随机过程是一族随时间t变化的随机变量，实际上会包含无穷多个对应不同时刻t的随机变量，因此通常采用多维累积分布函数和多维概率密度函数进行描述，分别记为

2.1.3一维数字特征

在很多情况下，随机过程的多维累积分布函数和概率密度函数难以获取，可以退而求其次，利用随机过程的一维概率密度以及相应的数字特征描述其统计特性。随机过程的数字特征可由随机变量的数字特征推广得到，其均值、均方值和方差均是时间的函数，随着时间t的变化而变化，如下所示：

均值与方差反映了随机信号中直流分量的瞬时幅度与交流分量的瞬时功率，均方值反映了瞬时总时率，代表瞬时直流功率与瞬时交流功率之和，即有PX(t)=ｍ2X(t)+σ2X(t)。图2.1.2所示为随机过程的三个样本(虚线)以及均值与方差等统计特征。可以发现，均值表示该随机过程样本在各个时刻上的统计平均(中心虚线)，而大部分样本的取值应当在以均值为中心的置信区间内(上下两侧实线内，由方差定义)，样本仅有较小的概率超出此范围。图2.1.2随机过程的期望与方差

由于均方值所代表的瞬时总功率是随时间变化的，因此可以进一步对所有时刻的均方值做时间平均，从而得到随机信号的时间平均总功率为

时间平均总功率是一个常数，代表了随机信号在持续时间内的平均总功率。

2.1.4相关函数与功率谱密度

1.随机过程的自相关函数

考察一个随机过程x(t)的两个时刻t+τ

和t，其中

τ为两个时刻的时延差，其自相关函数定义为

这衡量了随机过程在任意两个时刻取值的统计关联程度，反映了随机信号变化的快慢。

与自相关函数类似，随机过程的自协方差函数定义为

自协方差函数消除了均值———直流分量的影响，主要衡量了两个时刻的瞬时交流分量之间的统计关联程度，反映了交流分量变化的快慢。

2.随机过程的功率谱密度

从随机信号x(t)的样本空间中任意抽取一个样本信号x(t)，该样本可以看作一个确知的功率型信号，其功率谱密度定义为

其中，xT(f)⇔xT(t)表示确知功率型信号x(t)在时间周期T内的截短信号xT(t)的傅里叶变换。

由于每个样本都是样本空间中的一个随机样本，各自具有不同的功率谱密度，因此，若要计算随机信号的功率谱密度，就需要对所有的样本进行统计平均，得到功率谱密度为

同样地，已知随机信号的每个确知样本x(t)的功率谱密度与自相关函数之间是傅里叶变换对的关系，即有Rx(τ)⇔Px(f)，其中Rx(

τ)是式(2.1.11)的确知形式(即去掉数学期望)。若对所有样本的傅里叶变换对进行统计平均和时间平均，那么随机信号x(t)的时间平均自相关函数与功率谱密度之间也可以表示为傅里叶变换对的关系，即有

这称作一般随机信号的维纳辛钦关系。

上式中令τ=0，傅里叶变换对的左侧就是随机信号的时间平均总功率，而傅里叶变换对的右侧则等于功率谱密度在频域上的积分结果，即有

可见，随机信号的时间平均总功率与频域的总功率相等，这正是平均功率意义上的帕斯瓦尔定理。这也清晰地体现了功率谱密度的物理意义：它代表了随机信号在统计意义上的频域功率分布情况，因此其在整个频域的积分就代表了平均总功率。

其中，第一项仅与τ有关，对第二项进行推导可得

由于第二项包含时间t，该信号的自相关函数是与时间t有关的。

为了消除时间t的影响，可以进一步通过时间平均获得时间平均自相关函数为

可以发现，最终的时间平均自相关函数仅与τ

有关，其傅里叶变换对的关系为

因此，该随机信号的时间平均自相关函数与功率谱密度之间满足一般随机信号的维纳辛钦关系。

3.两个随机过程的联合特性

与一个随机过程的自相关函数和自协方差函数类似，同样可以定义两个随机过程的互相关函数和互协方差函数，用来衡量两个随机过程之间的统计关联程度。对于两个不同的随机过程x(t)和Y(t)，二者的互相关函数可以定义为

互协方差函数定义为

进一步对式(2.1.16)和式(2.1.1７)在时间轴t上做时间平均，还可以得到二者的时间平均互相关函数和时间平均互协方差函数为

基于上述定义，两个一般随机信号在统计平均和时间平均的双重意义下通常有三种关系：

与功率谱密度的推导类似，两个随机信号x(t)和Y(t)的互功率谱密度表示为

时间平均互相关函数与互功率谱密度之间也满足一般随机信号间的维纳辛钦关系如下

互功率谱密度可以用来得到互功率的概念。若对随机信号的互功率谱密度积分，就可以得到两信号的互平均功率，正对应τ=0时的时间平均互相关函数值，即有

需要注意：互功率并不是真正物理意义上的功率概念，其取值可正可负，主要用来衡量两个随机信号的相互关联程度。若两个随机信号的互功率PXY=0，这表示

τ=0时两个随机信号在统计平均和时间平均的双重意义下相互正交，可认为二者在同一时刻所取的随机变量没有统计关联性。

2.2平稳随机过程

2.2.1平稳随机过程如果一个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，称其为平稳随机过程。对于任意自然数n，任意时间间隔Δt和时间点t1＜t2＜…＜tn，若平稳随机过程的概率密度函数满足：

与此同时，两个严平稳随机过程x(t)和Y(t)的互相关函数可表示为

如果两个随机过程x(t)和Y(t)各自是宽平稳的，即一二维数字特征分别满足式(2.2.4)至式(2.2.6)，同时二者的互相关函数又满足式(2.2.７)，则称这两个随机过程联合平稳。

值得注意的是，若一个严平稳随机过程的均方值有界(即功率有限)，那么它必定是宽平稳过程；但反过来不成立，因为严平稳随机过程的定义更为苛刻。通信系统中的信号、信道和噪声在多数情况下都可看作宽平稳随机过程。图2.2.1所示为一个平稳随机过程的三个样本示例，可用来与图2.1.2中的一般随机过程形成对比。根据平稳性假设可知，该平稳随机过程的均值(中心虚线)恒为零，方差和均方值为常数(图中表现为与方差有关的置信区间不随时间发生变化)；该平稳随机过程的自相关函数也与时间无关，仅与时间间隔有关，表现为随机过程整体的变化快慢趋势也是平稳的，不随时间变化。图2.2.1平稳随机过程的期望与方差

不论是严平稳过程还是宽平稳过程，由于平稳随机过程的相关函数本就与时间t无关，因此平稳过程的维纳辛钦关系可以直接将公式(2.1.14)和(2.1.21)简化为

这表明，平稳随机过程的相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对的关系，并不需要额外定义针对一般随机过程的时间平均相关函数。

2.2.2各态历经性

若随机信号x(t)满足各态历经性，那么它的数字特征，即均值、均方值和自相关函数，分别等于任意一个确知样本x(t)的时间均值、时间均方值和时间自相关函数，表示为

(2)各态历经性分析。

2.3高斯过程

2.3.1高斯过程的定义高斯过程(或正态过程)X(t)是指随机过程中的任意n维变量(n个时刻取值对应的变量)的联合概率密度函数都服从高斯分布，即

其中，x＝[x1，x2，…，xn]T表示由n个取值组成的列向量。x=[X(t1)，x(t2)，…，x(tn)]T代表随机过程中n维随机变量所对应的列向量，相应的均值向量为a

=(a1，a2，…，an)T，矩阵Ｃ

代表n维变量的协方差矩阵，表达式为

矩阵元素Ｃik是变量x(ti)与x(tk)的协方差E[(X(ti)-ai)(X(tk)-ak)]。

由于任意n维随机变量服从联合高斯分布，高斯过程具有高斯分布所具备的重要性质：

(1)高斯分布的n维分布完全由其均值、方差和协方差等数字特征所决定，一旦参数已知，那么高斯分布的概率密度函数就是已知的；

(2)若高斯过程是广义平稳的，即均值、方差和协方差与时间无关，且协方差只与时间间隔有关，由第一条性质可知，此时高斯概率密度函数的n维分布也与时间起点无关，所以高斯过程的广义平稳与狭义平稳等价；

(3)如果高斯过程在不同时刻所取的变量不相关，那么它们也是统计独立的。

2.3.2高斯分布函数

高斯过程x(t)在某时刻t1所取的变量x(t1)的一维概率密度函数可以表示为

1.误差函数与互补误差函数

误差函数的定义为

而互补误差函数的定义为

2.Q函数

Q函数通常用来表示高斯分布的尾部积分，定义为

概率积分函数、(互补)误差函数与Q函数三者之间具有可替换关系，具体表示为

2.3.3高斯白噪声

通信系统中的噪声通常采用零均值的平稳随机过程的描述方法。如果随机噪声的功率谱密度为常数，即噪声在整个频率范围内的强度是均匀的，就称其为白噪声。白噪声的功率谱密度可以表示为P(f)=n0/2，其中n0为白噪声的单边功率谱密度。白噪声中的“白”是由物理学中白光的概念拓展而来的，类比了通俗认知中白光的各色光谱的均匀分布特性(需要指出的是，实际上白光的各色光谱强度分布并非均匀)。与白噪声对应，非白色的噪声都被统称为有色噪声，同样也是类比了各有色光的非均匀光谱特性。

根据平稳随机信号的维纳辛钦关系(2.2.8)可知，白噪声的自相关函数可以求得为

上式表明，在白噪声平稳过程中，任意两个不同时刻的取值所对应的随机变量是不相关的；仅有

τ=0时，即同一个随机变量的自相关存在，如图2.3.1所示。如果一个白噪声同时又是高斯随机过程，就称作高斯白噪声。高斯白噪声同时具备了高斯过程与平稳过程的性质，一个高斯白噪声中任意两个不同时刻的随机变量不仅是不相关的，而且还是统计独立的。图2.3.1高斯白噪声的功率谱密度与自相关函

2.4随机过程通过线性系统

2.4.1平稳随机过程通过线性系统

1.输出过程的均值

当输入过程x(t)为平稳随机过程，输出信号Y(t)的均值为

其中，mX表示平稳随机过程x(t)的常数均值，同时线性系统在频率f=0时的直流响应为

2.输出过程的自相关函数

对输出过程Y(t)求自相关函数，可得

类似地，输入过程x(t)与输出过程Y(t)的互相关函数可表示为

可以发现，输入过程x(t)和输出过程Y(t)的互相关函数也与时间无关，二者联合平稳。

3.输出过程的功率谱密度

进一步对输出信号Y(t)与输入信号x(t)的互相关函数进行分析，可以得到

对式(2.4.９)和(2.4.10)进行傅里叶变换，可以得到输入与输出过程之间的互功率谱密度为

4.输出过程的概率密度分布

由随机信号通过线性系统的表达式

可以发现，输出过程的分布特性与输入过程的分布特性的加权叠加密切相关。此时，如果输入过程是高斯型的，由于多个高斯分布的线性叠加服从高斯分布，输出过程仍然是高斯过程。通信系统中的噪声通常都可以利用高斯型平稳随机过程进行建模，因此通过线性信道或滤波器的噪声仍然服从高斯分布，这就为很多分析带来了便利。

2.4.2白噪声通过线性系统

白噪声的功率谱密度为常数，自相关函数是一个冲激函数，其任意两个时刻的变量之间都不相关甚至独立。当白噪声通过线性系统后，由于线性系统时频响应的影响，白噪声的功率谱密度将会发生变化，根据维纳辛钦关系，相关函数也会发生变化。本小节将主要考虑两种经过理想线性系统的白噪声及其时频特性，如图2.4.1所示。图2.4.1低通(左)与带通(右)白噪声的功率谱密度与自相关函数

2.5窄带随机过程

2.5.1窄带随机过程概述对于任意一个随机过程，如果该随机过程的带宽B与中心频率fc相比要小得多，即B≪fc，那么该随机过程就称作窄带随机过程。若观察窄带随机过程的实际波形，可以发现，窄带随机过程是以某中心频率进行振荡的正弦波，但是正弦波的幅度和相位却随着时间发生随机的变化，体现了随机特性。

如图2.5.1中，左图中的实线代表了窄带随机过程的真实

波形，虚线代表了窄带随机过程的随机包络；右图是功率谱密度示意图，由于窄带随机过程的频带宽度相对于中心频率fc来说很窄，即B≪fc，因此包络和相位的变化要比中心频率所对应的载波变化慢得多，相应的时域波形也必然是以fc为中心频率的振荡。图2.5.1窄带随机过程的典型波形与功率谱密度

窄带随机过程可以表示如下

2.5.2平稳高斯窄带随机过程的统计特性

1.同相分量和正交分量的统计特性

首先分析同相分量与正交分量的数学期望，根据窄带随机过程的零均值和平稳性假设可得

利用积化和差，上式可进一步整理得

由于x(t)是平稳的，上式中第二项和第四项应恒为零，即自相关函数与时间无关，这要求

因此，平稳窄带随机过程的自相关函数最终可以表示为

结合互相关函数是奇函数的基本性质，即RIQ(-τ)=-RIQ(τ)=RQI(-τ)，可以推得

τ=0时RIQ(0)=E[XI(t)XQ(t)]=0，且有RX(0)=RI(0)=RQ(0)。因此，窄带随机过程的同相分量与正交分量在同一时刻相互正交，二者具有与窄带随机过程相等的平均功率。

2.包络和相位的统计特性

进一步假定窄带随机过程x(t)是高斯型的，其均值为0，方差为

σ2。根据式(2.5.2)，由于x(t)是I(t)和Q(t)的线性组合，因此，I(t)与Q(t)同样是零均值的高斯随机过程。又因为RIQ(0)=0，即同相分量与正交分量在同一时刻是不相关的，根据高斯分布的性质，I(t)与Q(t)还是统计独立的。因此，在任一时刻，I(t)与Q(t)的联合概率密度函数为

注意Ａ≥0，且相位Φ∈[0,2π)。根据二维联合概率密度函数的表达式，可进一步获取幅度与相位的一维概率密度函数。通过边际化操作，分别对另一个变量进行积分，可得

这就是著名的瑞利分布，本质上是两个独立的零均值高斯变量所对应包络的概率分布。

同理，也可以得到相位的一维概率密度函数为

可见，相位服从均匀分布，本质上是两个独立的零均值高斯变量所对应相位的概率分布。

结合同相分量与正交分量的统计特性，最终可以得到关于窄带随机过程的重要结论：一个零均值的平稳高斯窄带随机过程，在任一时刻，其同相分量和正交分量都服从零均值的高斯分布，二者相互独立，且与窄带随机过程具有相同的功率；而且，该窄带随机过程的包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布，同时，包络与相位也是统计独立的，即有

2.5.3正弦波加窄带随机过程

上一小节主要讨论了平稳高斯窄带随机过程的统计分布情况，通常可以看作窄带(带通)高斯噪声的统计特性。在实际的通信过程中，通过带通滤波器的不仅有窄带噪声，还会有信号成分。带通输出通常是信号与窄带随机过程的混合波形，其基础模型是将信号考虑为具有随机相位的单频正弦波，以此来指导分析。正弦波加高斯窄带随机过程表示为

其中，Ｎ(t)=ＮI(t)cos(2πfct)-ＮQ(t)sin(2πfct)是式(2.5.2)的平稳高斯窄带随机过程，而正弦信号的幅度a和频率fc为常数，相位Θ

服从均匀分布。合成信号可以进一步展开为

其同相分量和正交分量表示为

包络和相位表示为

能够发现，正弦波加高斯窄带随机过程的合成信号仍旧满足窄带随机信号的分解形式。其与窄带随机过程的差别在于，合成信号的同相分量与正交分量不仅包含窄带随机过程的分量ＮI(t)与ＮQ(t)，还包含了正弦波信号的分量a·cosΘ

与a·sinΘ。

由于正弦波信号的相位Θ是均匀分布的，会对分析产生影响。首先假定Θ是给定的，在此条件下，a·cosΘ和a·sinΘ

就是常数。因此，根据高斯分布的性质，同相分量I(t)和正交分量Q(t)仍旧服从高斯分布，方差为

σ2，但二者均值非零。因此，在给定Θ的条件下，二者的联合条件概率密度函数为

经过变量代换，可以再次得到包络与相位的联合条件概率密度函数为

对上式进行边际化，推得包络的一维条件分布如下

由此可见，莱斯分布的具体表现形式与正弦波信号和窄带随机过程的成分占比大小有关，小信号时近似于瑞利分布，大信号时近似于高斯分布，而在一般情况下则介于二者之间。另外，合成波的相位分布更加复杂，本小节仅做定性描述：在小信号时相位服从均匀分布，与高斯窄带随机过程一致；而在大信号时相位主要集中在信号当前的相位附近，表明有用信号占据着主导成分。

2.6实带通信号的复分析2.6.1实带通确知信号的复分析1.希尔伯特变换与解析信号复数使用实部和虚部两个实数的复合形式进行表征，并利用虚数符号j将实部和虚部构成相互正交的直角坐标系，即复平面，其中实部和虚部分别对应坐标系中横轴和纵轴的坐标。复信号是在复数基础上的拓展，可以看作是两路实信号的复合，即有s(t)=xR(t)+j·xI(t)，其中xR(t)和xI(t)分别表示复信号s(t)的实部和虚部信号。实信号的频谱在正负频率处为共轭对称关系，利用正频率上的谱可以完全表示出负频率上的谱，因此正负频谱具有冗余性。如果仅传输实信号在正频率上的频谱，可以保证信息完全不丢失，这就涉及解析信号的概念。

那么，实信号及其希尔伯特变换所组成的解析信号z(t)具有什么物理意义呢？

一方面，分析实信号x(t)与其正频率谱的关系，可得

可以看出，实信号x(t)完全可以通过其正频率谱表征出来，正频率谱的两倍通过傅里叶变换取实部，就可以得到原信号。此时，如果令Z(f)=2X(f)u(f)表示正频率谱的2倍所对应的信号频谱，其中u(f)表示在f=0处跃变的频域阶跃函数，那么该频谱所对应的时域形式z(t)就是解析信号，即有

由于仅有单边谱信息，因此解析信号必然不是实信号，而是复信号，这与其构造形式一致。

另一方面，解析信号与实信号是一一对应的，可通过解析信号表征出原信号为

从频域来看，解析信号z(t)的频谱为Z(f)，其共轭信号z∗(t)的频谱为Z∗(-f)，因此实带通信号x(t)=[z(t)+z∗(t)]/2的频谱x(f)可以表示为

2.频谱搬移与复基带信号

对应于中心频率在±fc的实带通信号x(t)，其解析信号z(t)仅在+fc处有正频率谱。此时，该正频率谱可以通过复下变频被搬移到基带处，变成复基带信号，表示为

二者的频谱信息完全相同，仅仅是频率搬移的差别，即由正频率+fc被复下变频到基带。

相应地，如果有一个复基带信号c(t)与复载波ej2πfct相乘，这等效于对复基带信号进行复上变频，将其由基带搬移到载频+fc处，那么相乘的结果又可以表示为解析信号，即

由于解析信号是复基带信号与复单频信号的乘积，而复单频信号是复振荡(两路实震荡的复合)，因此复基带信号也可以看作是解析信号的包络变化，常称作复包络。图2.6.1实带通信号、解析信号与复基带信号的频谱示意图

利用式(2.6.11)中的频谱关系，可以进一步分析复基带信号的功率谱密度，由于

因此，实带通信号、解析信号和复基带信号的功率谱密度可以表示为

其反向等效表述为

通过上述分析，最终可以得到如下关于实带通信号、解析信号和复基带信号的结论：

(1)实带通信号在正频率部分的频谱或功率谱密度与其解析信号和复基带信号的一致，但是强度不同，同时复基带信号的频谱或功率谱密度发生了频谱搬移；

(2)实带通信号和解析信号的带宽是复基带信号的两倍，这是由于复基带信号的频谱范围是以零频为中心的，有一半频率信息处于负频率范围，因此占用的有效频率范围降低了一半；

(3)实带通信号的核心本质是复基带信号，科研与工程中通常等效地研究复基带信号。

3.正交调制与解调

从上式也可以发现，若要得到实际的实带通信号，我们可以将复基带信号和复单频信号相乘并将结果取实部得到，这就是正交调制的原理，在实际收发信机中发挥着重要作用。其中复单频信号也被称作复载波，它可以携带一个带宽受限的复基带信号，并将其频谱搬移到目标频带上进行传输，这个过程称作调制。图2.6.2所示为正交调制的原理框图，对应了通信系统在发送端的核心工作：发射机利用复基带信号c(t)携带信息，并将c(