【高中物理中的临界与极值问题研究7300字（论文）】

高中物理中的临界与极值问题研究一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题指的是现象的最大(或最小)达成物理量在物理变化的过程中,当条件不断变化的数量在关键位置或当条件不断变化的数量取边界值(也称为端点值),这种物理现象的研究和发生的条件称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，一些直接在主题“只是”,“大”是常用的干燥,“至少”,“没有冲突”,“不是”……这样的词提供了明确的临界状态的暗示,这个话题,抓住特定的单词,发现含有物理规律,找出相应的临界条件。有一些关键问题没有显示通用术语“关键”,有一定的隐藏,解决问题的灵活性更大,主题应该试图恢复问题集的物理场景,仔细讨论的变化状态。限制方法,可用物理或物理过程的极端的问题,因此将创新临界状态和临界条件;或使用的方法假设,假设一些临界状态,分析对象的力和运动状态是否符合的问题,最后,根据实际情况也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。二、常见临界状态及极值条件解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件：1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角为2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）—μ=tgθ。4.两个物体之间发生相对滑动的临界：两物体之间静摩擦力达到最大值。5.两个发生相对运动的物体同向运动时其间距离最大或最小：两物体速度相等。6.两个发生相对运动的物体相对速度最大或最小：两物体加速度相等。7.位移一定的先启动后制动分段运动，在初、末速及两段加速度一定时欲使全程历时最短——中间无匀速段（位移一定的先启动后制动分段匀变速运动，在初速及两段加速度一定时欲使动力作用时间最短——到终点时末速恰好为零）8.两车恰不相撞——后车追上前车时两车恰好等速。9.两个加速运动的物体速度达到最大临界：加速度等于0。10.两个相互接触的物体刚好分离临界：两物体接触但弹力恰好为零且加速度相同。11.物体所能到达的最远点——直线运动的物体到达该点时速度减小为零（曲线运动的物体轨迹恰与某边界线相切）12.在排球场地3米线上方水平击球欲成功的最低位置——既触网又压界13.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达末端时二者等速。14.线（杆）端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周最高点—最高点绳拉力为零（）15.竖直面上运动的非约束物体达最高点——竖直分速度为零。16.细线恰好拉直——细线绷直且拉力为零。17.已知一分力方向及另一分力大小的分解问题中若第二分力恰为极小——两分力垂直。18.动态力分析的“两变一恒”三力模型中“双变力”极小——两个变力垂直。19.欲使物体在两个力的作用下，沿与成锐角的直线运动，已知为定值，则最小时即恰好抵消在垂直速度方向的分力。20.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直（相当于静水中渡河）。21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度与水速抵消。22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速与合速度垂直。23.“圆柱体”滚上台阶最省力——使动力臂达最大值2R。24.机车从静止匀加速启动过程持续的最长时间——25.损失动能最小（大）的碰撞——完全弹性（完全非弹性）碰撞。26.只有机械能与电势能相互转化时，重力势能与电势能之和最小时，动能最大。27.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场边界相切。28.纯电阻负载时电源输出功率最大——内外电阻阻值相等。29.滑动变阻器对称式接法中阻值达最大——滑至中点。30.倾斜安放的光滑导轨上的通电导体棒静止时，所加匀强磁场方向若垂直于斜面的情况下磁感强度最小。31.刚好发生光电效应——入射光频率等于极限频率。32.带电粒子恰好被速度选择器选中（霍尔效应、等离子发电）——电场力与洛力平衡。33.“地面卫星”（氢原子处于基态）时，势能最小、总能量最小、运动周期、角速度均最小；速度、向心力、加速度均最大。34.等量同性质点电荷连线的中垂线上场强最大的位置求解。三、临界与极值问题一般解法临界问题通常基于物理定律，如定理和定律。分析了问题的一般规律、一般解的形式及其变化。然后找出临界状态和临界条件，通过临界条件求出临界值，然后根据变化直接写出临界条件。解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法。物理方法是利用临界条件求极值。数学方法包括：（1）用矢量图求极值(2）用正弦（余弦）函数求极值（3）用抛物线顶点法求极值（4）用基本不等式求极值。（5）单调函数端点值法求极值（6）导数法求解。一般来说，物理方法简单、直观、直观，对建立物理模型和动态分析能力要求较高；但是，数学方法严谨，对数学建模能力要求很高。如果这两种方法能结合起来，将有助于提高解决问题的能力四、典型问题剖析例题例题3．一个质量为3kg的物体放在长木板上，当木板一端抬起使它与水平方向成30°的固定斜面时，物体正好可以沿斜面匀速下滑。当木板水平固定时，用多大的水平拉力能将该物体拉动解析：在斜面上物体所受摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡即F=mgsin30°而滑动摩擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的时候压力大小等于重力大小。则水平面上的摩擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至少要达到这个值才能拉动物体，例题4-1．某物体所受重力为200N，放在水平地面上，它与地面间的动摩擦因数是，它与地面间的最大静摩擦力是80N，至少要用_________N的水平推力，才能将此物体推动，若推动之后保持物体做匀速直线运动，水平推力应为_________N；物体在地面上滑动过程中，若将水平推力减小为50N，直到物体再次静止前，它所受到的摩擦力为_________N；物体静止后，此50N的水平推力并未撤去，物体所受的摩擦力大小为_________N.baBbaBL1L2例题5-1．甲物体以做匀速直线运动，乙物体在其后面5m处沿同一直线同一方向做初速为零加速度的匀加速直线运动，问乙物体是否可以追上甲物体并求出其间距离的最大值。解法一：（1）乙物体一定可以追上甲物体。（2）用临界法分析求极值：乙物体加速至前，速度小于其前方的甲物体运动速度，此阶段其间距离不断增大，当乙物体加速至后，速度大于其前方的甲物体运动速度，所以在尚未追上甲物体前，其间距离不断减小，故等速时其间距离最大。令解得此时相距最远解法二：（2）用抛物线顶点坐标法求极值：依据甲乙两物体各自运动规律可得出其间的距离函数显然当s时解析：这里弹性势能最大时即簧压缩量最大，亦即A与左侧墙壁碰后以为初速（碰墙壁无机械能损失）向右减速运动，B仍以为初速向左减速，但B球质量小先减至零又反向向右加速运动，二者均向右运动等速时其间距离最小，此时簧的弹性势能最大。因为碰墙壁后向右运动过程A+B系统总动量守恒，如果选向右为正方向则又因为碰墙壁后向右运动过程A+B（含簧）系统总机械能守恒则联立求解并代入数值得（）（1）消防队员下滑的最短时间（2）消防队员下滑过程中最大速度解法一（基本不等式极值法）：设消防队员先做自由落体运动，其次匀速运动（计算知人与滑杆之间最大静摩擦力为900N大于重力600N），最后匀减速运动，到达地面时恰好减速至=6m/s，则下滑时间……………①且18=…………………..②又依牛顿第二定律知消防队员减速下滑的加速度最大值为而依运动学公式知所以即…..③将②③式代入①式并整理有显然因为，且为定值，所以当即时即消防队员下滑的最短时间为s，即加速、匀速0s、减速.（2）消防队员下滑的最大速度即自由落体段下滑的末速度解法二（图像法）如果消防队员首先自由落体至某速度，然后立即以最大加速度匀减速至时位移恰好为18m，这种临界状态的v-t图像如下图中实线OAB所示，其与横轴所围成的图形“面积”恰好为18m，显然其他任意一个含有匀速运动段的图形若面积与其相等(例如OPQM)，则底边长度必大于24s.所以先加速后减速中间无匀速运动段，历时最短。减速时间所以加速距离，减速距离因为，故不合理。应先以加速到最大速度（并非40），又以加速度减速到恰完成218m的直道距离行驶，即为最短时间。所以加速距离，减速距离令，解得所以加速时间，减速时间故最短时间例题8．甲车以在平直的公路上匀速行驶，乙车在甲车后方距离甲车S处以更大的速度同向行驶，如果甲车的行驶速度保持不变，为了确保两车不相撞，乙车做匀减速直线运动的加速度大小至少为多大解法一：临界状态为乙车从匀减速至时恰好追上甲车。设乙车做匀减速直线运动的加速度最小值为，恰追上时历时则令解得又因为令解得度就变为0，速度达到最大，开始做匀速直线运动。因此，在从变速运动状态变到匀速状态之间有一个速度达到最大的状态，此状态的临界条件就是ab受的的重力大小等于安培力大小。抓住这个临界条件，由，可得小球竖直方向平衡，则细线拉力水平分量使得小球在水平方向加速，则联立解得小车向左加速或向右减速的加速度大小至少为对整体有：；隔离A，对于的临界状态有，。解得：所以F的范围是0≤F≤解析：小球在B点受重力mg、轨面向下的弹力，依牛顿第二定律有而依题意知所以小球离开B点后平抛运动历时所以落点C到轨道最低点A距离为例题11-1．.汽车在平直的水平路面上以20的速度匀速行驶，关闭发动机油门后匀减速滑行的加速度大小为2，最远还可以滑行多少距离解析：最远还可以滑行例题15．将物体以一定初速度竖直向上抛出，已知该物体除受重力外还受到一个向右的水平恒力作用，若选抛点为原点，向右和向上分别为x、y轴正方向，已知其运动轨迹的最高点M横纵坐标分别为3和2，若已知重力加速度g=10求=1\*GB3①落回到x轴的N点时的横坐标=2\*GB3②落回到N点时的速度大小。解析：=1\*GB3①设上升、下落段历时分别为，分析y方向的竖直上抛分运动知CaA联立解得CaA例题17．已知力F的一个分力的方向及另一个分力的大小，求的大小，并就解的情况加以讨论。解析：此类分解问题因已知分力的大小不同将有以下四种不同的结果：=1\*GB3①当时，以为半径的圆与方向线没有交点（相离），不能构成一个平行四边形，故无解。=2\*GB3②当时，以为半径的圆与方向线有一个交点（相切），故此情形有唯一解。=3\*GB3③当时，以为半径的圆与方向线有两个交点（相割），故此情形有两个解。=4\*GB3④当时，以为半径的圆与方向线有一个交点，此情形有唯一解。例题18-1．如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑的斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一个光滑的薄木板挡住球，使之处于静止状态，今使木板与斜面的夹角从很小开始缓慢增大，问在此过程中，球对木板和球对斜面的压力大小如何变化解法一（函数计算法）：球体受力如下图所示。在木板与斜面的夹角从很小开始缓慢增大过程中可认为球体总是处于平衡状态，依据平衡条件，在水平方向有…=1\*GB3①在竖直方向有……=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②式联立解得显然随在范围的增大单调减小，故单调减小。而随角度的增大先减后增，即时最小。解法二（矢量图解法）：对平衡状态的球体进行受力分析如图所示，三个力的合力为零.其中重力G的大小和方向都不变；斜面对球体的弹力N（解法一中的）方向不变，大小可变，暂称为“单变力”；挡板对球体的弹力F（解法一中的）方向随挡板逆时针转动而转动暂称为“双变力”，画出其矢量三角形如图所示.例题20．证明小船渡河速度垂直于水流速度时渡河时间最短。证明设河宽为d，船速为v，船速与水速夹角为则渡河时间显然当（如下图所示）例题21．证明如果小船速度大于水流速度时，小船渡河的最短航程即为河流宽度。解析；小船“斜逆航行”渡河，且船速逆向上行的分位移与水流引起小船漂流的分位移抵消，即船逆向上行的分速度与水的漂流速度抵消，所以小船的合速度与河岸垂直，到达对岸时的位移即是河宽。（如下图所示）例题22．证明如果小船速度小于水流速度时，船速垂直于合速度时小船渡河的航程最短。解法一（正弦函数法）；如图所示，取水流方向为X轴正向，小船初始位置为坐标原点，设水速、船速分别为、船速与X轴负方向所夹锐角为河流宽度为d，渡河后到达彼岸P点，则航程而变形为再变形为令则上式变为所以显然当（即船速垂直于合速度）时（如下图所示）解法二（矢量图解法）：如图所示，船速（图中矢量圆半径）大小一定，方向可以调整变化，而水速（大小方向均一定）与船速的合速度与AB夹角越大，则渡河航程越大（即到达彼岸的位置举B点越远），只有当合速度与该矢量圆相切时航程最短。小船渡河两类问题的三种矢量图比较解析：以甲车为参照物，乙车初速为，临界状态时末速为０，匀减速运动的加速度大小为，位移为ｓ，则有解得解析：（1）列车加速的加速度减小至=0时速度最大，设为则所以（2）机车瞬时功率所以例题25．试证明完全非弹性碰撞中的机械能损失最大。证明：设质量为的小球2静止于水平面上，质量为的小球1以速度与其对心碰撞，并设碰后小球1、2的速度分别为、，依据动量守恒定律有所以……=1\*GB3①该碰撞过程系统机械能损失将代入并整理得显然机械能损失量是关于的二次函数，其二次项系数小于零。所以当时最大，代入=1\*GB3①式知此时故碰后两球等速，即合为一体。例题26．以弹簧振子为例，分析简谐运动过程的位移、恢复力、加速度、速度、动量、动能、势能、机械能的变化情况。解析：简谐运动过程八个物理量变化可用如下的菱形图所示。其中A、O、C分别表示弹簧振子（泛指简谐运动）的最大位移处和平衡位置，如果振子从A向O运动，则AD的升势反映了振子的变化趋势，AB的降势反映了振子的变化趋势，AO的水平态势反映了振子机械能守恒，同理从O向C的运动过程分别用DC、BC、OC表示其变化趋势。显然振子在平衡位置O处时速度、动量、动能最大；在A(C)处时位移、回复力、加速度、振动势能最大，振动过程机械能保持不变。解析：由，可知当m、e、B一定时，速率v大则轨迹半径R亦大。设当电子以速率v0射入磁场时，其运动轨迹恰好与边界EF相切，则有……①圆心确定：过S点做V0垂线必过圆心；做V0与EF夹角平分线必过圆心。可得圆心O，从而画出电子的轨迹（如图7所示）。由图7，运用几何知识不难发现

②由①、②解得

解法一、电源的输出功率为当R=r时，P出有最大值，即解法二、电源输出功率为因为为定值所以当时P出有最大值，即解法三、电源输出功率为显然当时P出有最大值，即解法四、电源输出功率为因为为定值，所以当时P出有最大值，即解法五、电源输出功率为所以当时P出有最大值，即解法六、电源输出功率为因为为定值所以当时P出有最大值，即解法七、电源输出功率为因为为定值，所以当时P出有最大值，即解法八、电源输出功率为因为为定值所以当时P出有最大值，即解法九、电源输出功率为因为且为定值所以当时输出功率最大。例题31-2．如图，电源的电动势E=10V，r=1欧，=5欧，的最大值为20欧，求=1\*GB3①取何值时消耗的功率最大=2\*GB3②取何值时消耗的功率最大解析：=1\*GB3①利用上题结论，将看成电源内阻的一部分，则r’=r+，的滑片从最右端向左端滑动的过程中，上的输出功率在不断的增大当=r+时上功率达到最大，随后输出功率开始减小，即=r+是临界条件。利用临界条件就有=1欧+5欧=6欧，此时上消耗的功率最大。=2\*GB3②消耗的功率显然是的单调减函数，所以当取端点值，即=0时瓦例题32．阻值为的滑变采用对称式接法，求其阻值的最大值。解析：R=因为且（）+=为定值所以当时，R最大，此时电阻。解析：（1）设当安培力与