（2026年秋）九年级数学上册知识点大全（2024修订版）

人教版九年级数学上册知识点大全（2024年修订审定版）颜色标注说明：●红色＝核心定义/概念●蓝色＝重要公式/定理●绿色＝重要性质/法则●紫色＝易错点/注意事项第25章一元二次方程25.1一元二次方程1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。2.一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。【注意】a≠0是必要条件，否则就不是二次方程。25.2解一元二次方程1.直接开平方法：形如x²=p（p≥0）或(mx+n)²=p（p≥0）的方程，直接开平方求解。x²=p→x=±√p2.配方法：通过配方将方程化为(x+m)²=n的形式再开方。配方步骤：移项→二次项系数化为1→两边加上一次项系数一半的平方→开方3.公式法：求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)（a≠0）4.判别式：Δ=b²-4ac①Δ>0→方程有两个不相等的实数根②Δ=0→方程有两个相等的实数根③Δ<0→方程没有实数根5.因式分解法：将方程一边化为0，另一边因式分解，利用ab=0→a=0或b=0求解。【注意】选择解法时优先考虑因式分解法和直接开平方法，其次配方法，最后公式法（万能法）。25.3根与系数的关系（韦达定理）1.韦达定理：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x₁、x₂，则：x₁+x₂=-b/ax₁·x₂=c/a【注意】韦达定理前提是Δ≥0（方程有实数根）。25.4实际问题与一元二次方程1.常见应用题型：①面积问题（如矩形面积、花坛设计）②增长率问题：(1+x)²=最终值/初始值③利润问题：利润=（售价-进价）×销量④数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字【注意】解出的答案要检验是否符合实际意义，如边长不能为负。第26章二次函数26.1二次函数1.二次函数：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。2.a、b、c的作用：a决定开口方向和大小；b与a共同决定对称轴位置；c决定与y轴交点。26.2二次函数的图象与性质1.二次函数图象：抛物线。2.顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))3.对称轴：直线x=-b/(2a)4.开口方向：①a>0时，开口向上，有最小值②a<0时，开口向下，有最大值5.增减性：①a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大②a<0时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小6.最值：当x=-b/(2a)时，a>0时，最小值y=(4ac-b²)/(4a)a<0时，最大值y=(4ac-b²)/(4a)7.三种形式：①一般式：y=ax²+bx+c②顶点式：y=a(x-h)²+k（顶点为(h,k)）③交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（x₁、x₂为与x轴交点横坐标）26.3二次函数与一元二次方程1.二次函数y=ax²+bx+c与x轴交点：令y=0，得方程ax²+bx+c=0。Δ>0：抛物线与x轴有两个交点Δ=0：抛物线与x轴有一个交点（相切）Δ<0：抛物线与x轴无交点2.二次函数不等式：y>0即ax²+bx+c>0，看图象在x轴上方部分对应的x范围。第27章反比例函数27.1反比例函数1.反比例函数：形如y=k/x（k≠0）的函数（也可写成y=kx⁻¹）。2.自变量取值范围：x≠0。3.图象：双曲线，位于一、三象限（k>0）或二、四象限（k<0）。27.2反比例函数的性质1.当k>0时：图象在一、三象限在每个象限内，y随x增大而减小2.当k<0时：图象在二、四象限在每个象限内，y随x增大而增大3.|k|的几何意义：图象上任意一点到两坐标轴作垂线，围成的矩形面积S=|k|。【注意】"在每个象限内"很重要，不能笼统说"y随x增大而减小/增大"。综合与实践：高铁列车运行中的数量关系1.用函数模型描述高铁运行中的数量关系（速度、时间、距离等）。2.分析函数在实际问题中的应用。第28章旋转28.1图形的旋转1.旋转：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换。点O叫旋转中心，转动的角叫旋转角。2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。3.旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角③旋转不改变图形的形状和大小（旋转前后图形全等）28.2中心对称1.中心对称：把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。2.中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形②关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分3.中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能与原图形重合，这个图形叫做中心对称图形。常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等第29章圆29.1圆的有关性质1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点叫圆心，定长叫半径。2.弦：连接圆上任意两点的线段。直径是圆中最长的弦。3.弧：圆上任意两点间的部分。大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。4.圆的对称性：圆是轴对称图形（任何过圆心的直线都是对称轴），也是中心对称图形（对称中心是圆心）。5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。6.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。7.圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。8.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半。∠ACB=(1/2)∠AOB（同弧所对）9.圆周角定理推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等②半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）③90°的圆周角所对的弦是直径【注意】垂径定理使用时常作辅助线：连接圆心与弦的端点构造直角三角形。29.2点和圆的位置关系1.设圆半径为r，点到圆心距离为d：①点在圆外：d>r②点在圆上：d=r③点在圆内：d<r2.三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。外接圆的圆心叫三角形的外心（三边垂直平分线的交点）。第30章直线和圆的位置关系30.1直线和圆的位置关系1.设圆半径为r，圆心到直线的距离为d：①相离：d>r（无交点）②相切：d=r（有一个交点，叫切点）③相交：d<r（有两个交点）30.2切线的判定与性质1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。3.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长度。4.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。30.3三角形的内切圆1.内切圆：与三角形三边都相切的圆。2.内心：内切圆的圆心