2026年线性代数（行列式与矩阵）大学本科期中考试试题解析

2026年线性代数（行列式与矩阵）大学本科期中考试试题解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列四个行列式中，值为0的是（）。A.$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$B.$\begin{vmatrix}0&1&2\\3&0&4\\5&6&0\end{vmatrix}$C.$\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{vmatrix}$D.$\begin{vmatrix}1&3&5\\2&4&6\\3&5&7\end{vmatrix}$2.设$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，则$\mathbf{A}$可逆的充分必要条件是（）。A.$ad-bc\neq0$B.$ad-bc=0$C.$a\neq0$且$d\neq0$D.$a\neq0$或$d\neq0$3.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，$\mathbf{B}$为$n\timesm$矩阵，下列说法正确的是（）。A.若$\mathbf{A}$可逆，则$\mathbf{AB}$可逆。B.若$\mathbf{AB}$可逆，则$\mathbf{A}$可逆。C.若$\mathbf{AB}$可逆，则$\mathbf{B}$可逆。D.若$\mathbf{A}$不可逆，则$\mathbf{AB}$不可逆。4.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，$\mathbf{B}$为$n$阶可逆方阵，则$(\mathbf{AB})^{\top}$等于（）。A.$\mathbf{BA}^{\top}$B.$\mathbf{AB}^{\top}$C.$\mathbf{B}^{\top}\mathbf{A}^{\top}$D.$\mathbf{A}^{\top}\mathbf{B}^{\top}$5.设$\mathbf{A}$为$m\timesn$矩阵，$\mathbf{B}$为$n\timesm$矩阵，则下列说法正确的是（）。A.$\mathbf{AB}$为$m\timesn$矩阵。B.$\mathbf{AB}$为$n\timesm$矩阵。C.$\mathbf{AB}$为$m\timesm$矩阵。D.$\mathbf{AB}$为$n\timesn$矩阵。6.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，且$\mathbf{A}^2=\mathbf{A}$，则称$\mathbf{A}$为幂等矩阵，下列说法正确的是（）。A.幂等矩阵一定是可逆矩阵。B.可逆矩阵一定是幂等矩阵。C.幂等矩阵的特征值只能是0或1。D.单位矩阵是幂等矩阵。7.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，$\mathbf{B}$为$n$阶可逆方阵，则$\mathbf{A}^2-\mathbf{A}\mathbf{B}$左乘$\mathbf{B}^{-1}$后等于（）。A.$\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^2\mathbf{B}$B.$\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B}$C.$\mathbf{A}^2-\mathbf{A}$D.$\mathbf{A}-\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}$8.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，且存在一个$n$阶方阵$\mathbf{B}$，使得$\mathbf{AB}=\mathbf{E}$，则$\mathbf{A}$一定是（）。A.可逆矩阵B.不可逆矩阵C.幂等矩阵D.零矩阵9.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，且$\mathbf{A}$经过有限次初等行变换化为$\mathbf{B}$，则下列说法正确的是（）。A.$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$等价。B.$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$相似。C.$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$相似且等价。D.$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$无法进行比较。10.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，$\mathbf{B}$为$n$阶可逆方阵，则$\mathbf{A}^{\top}\mathbf{A}=\mathbf{E}$的充分必要条件是（）。A.$\mathbf{A}$可逆B.$\mathbf{A}$为正交矩阵C.$\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}$为正交矩阵D.$\mathbf{B}^{\top}\mathbf{A}$为正交矩阵二、填空题1.设$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$|\mathbf{A}|=$_______。2.设$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，且$\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，则$a+d=$_______。3.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，$\mathbf{B}$为$n$阶可逆方阵，若$\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$，则称$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$可交换，若$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$可交换，且$\mathbf{AB}=\mathbf{E}$，则$\mathbf{A}^{-1}=$_______。4.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，$\mathbf{B}$为$n$阶可逆方阵，则$\mathbf{R}(\mathbf{AB})=$_______。5.设$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}$，则$\mathbf{A}^{-1}=$_______。三、计算题1.计算下列行列式的值：$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$2.设$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\mathbf{B}=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$，求$\mathbf{AB}$和$\mathbf{BA}$。3.设$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$\mathbf{A}$的逆矩阵（如果存在）。4.设$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&2\\1&3&4\end{pmatrix}$，求$\mathbf{A}$的秩。四、证明题1.设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，且$\mathbf{A}^2=\mathbf{A}$，证明$\mathbf{A}$的特征值只能是0或1。2.设$\mathbf{A}$为$n$阶可逆方阵，证明$\mathbf{A}$的伴随矩阵$\mathbf{A}^*$也可逆，并求$\mathbf{A}^*$的逆矩阵。五、应用题设线性方程组$\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+x_2+2x_3=2\\x_1+3x_2+4x_3=3\end{cases}$，试用矩阵方法求解该线性方程组（如果存在解，请全部求出）。试卷答案一、选择题1.A解析：A选项行列式第三行等于前两行之和，由行列式性质可知其值为0。2.A解析：矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不为0。3.A解析：若A可逆，则存在A的逆矩阵A⁻¹，使得A⁻¹AB=B，即AB可逆。4.C解析：根据转置矩阵的性质(AB)ᵀ=BᵀAᵀ。5.A解析：矩阵乘积的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。6.C解析：根据幂等矩阵的定义A²=A，设λ为A的特征值，则λ²=λ，解得λ=0或λ=1。7.B解析：根据矩阵乘法的结合律，A²-AB=A(A-B)，左乘B⁻¹得B⁻¹A(A-B)=B⁻¹A-B⁻¹AB=B⁻¹A-E。8.A解析：根据可逆矩阵的定义，存在B使得AB=E，说明A左乘B得到单位矩阵，故A可逆。9.A解析：初等行变换不改变矩阵的秩，且可逆矩阵可由初等行变换化为单位矩阵，故A与B等价。10.B解析：矩阵为正交矩阵的定义是AᵀA=E，即Aᵀ=A⁻¹。二、填空题1.-2解析：按第一行展开计算行列式，1×4-2×3=-2。2.5解析：根据逆矩阵的定义，主对角线元素之和等于副对角线元素之和的相反数，即a+d=-(b+c)=-(-2)=2。3.B解析：由AB=BA且AB=E，可得A(BA)=AB(A)=EA=A，故A⁻¹=B。4.R(B)解析：矩阵乘积的秩不超过乘数矩阵的秩，即R(AB)≤R(B)。当A可逆时，R(AB)=R(B)。5.$\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$解析：利用初等行变换将A化为单位矩阵，同时用同样的变换作用于E，得到A⁻¹。三、计算题1.-3解析：按第一行展开计算行列式，1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(-3)-2×(-6)+3×(-7)=-3+12-21=-3。2.$\begin{pmatrix}4&6\\10&12\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$解析：按矩阵乘法规则计算，AB=$\begin{pmatrix}1×2+2×1&1×0+2×3\\3×2+4×1&3×0+4×3\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}4&6\\10&12\end{pmatrix}$，BA=$\begin{pmatrix}1×2+2×1&1×0+2×3\\3×2+4×1&3×0+4×3\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}5&6\\10&12\end{pmatrix}$。3.$\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}$解析：计算行列式|A|=-2，非零，故A可逆。A⁻¹=(1/|A|)adj(A)=(-1/2)$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}$。4.2解析：对A进行初等行变换化为行阶梯形矩阵$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-4\\0&0&-2\end{pmatrix}$，非零行数为2，故秩为2。四、证明题1.证明：设λ为A的特征值，α为对应的特征向量，即Aα=λα。两边左乘A得A²α=A(λα)=λ(Aα)=λ²α。又因为A²=A，所以A²α=A