线性基础代数22

4.6

用配方法及初等变换法化二次型为标准形第4章相似矩阵与二次型1.引言用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？回答是肯定的．下面介绍一种行之有效的方法——Lagrange配方法.配方法是将二次多项式配成完全平方和的方法，类似于初等数学中的配完全平方.配方法的基本思想是，配出平方项，消除交叉项.2.配方法化二次型为标准形的步骤(1)若二次型含有某个的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;(2)若二次型中不含有平方项，但是有某个，则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)的方法配方.3.例1

例1化二次型为标准形，并写出所用的变换矩阵.

解：先进行配方3.例1(续)令则线性变换将二次型化为标准形3.例1(续)所用的变换矩阵为4.例2

例2化二次型为标准形，并写出所用的变换矩阵.

解：二次型中无平方项，只有交叉乘积项，所以令代入，可得再进行配方，有4.例2(续)令得到4.例2(续)所用变换矩阵为5.用初等变换法化二次型为标准形

用初等变换法化二次型为标准形，其实质是正交变换法.

这种方法留作自学内容.6.二次型的规范形化一个二次型为标准形，若所用的可逆线性变换不同，则得到的标准形一般也不同.因此，二次型的标准形不唯一.一个二次型的所有标准形中，有一个特殊的标准形，称为规范形：

定义4.16若一个秩为的二次型的标准形的所有平方项系数只在三个数中取值，即则称这种形式的标准形为二次型的规范形.6.二次型的规范形(续)

推论

一个秩为的n元实二次型，总有可逆变换x=Cz，使f(Cz)为规范形.

证明：由上一节的讨论可知，总有正交变换x=Py，使得6.二次型的规范形(续)由于二次型f的秩为r，则特征值中只有r个不为0，不妨设令6.二次型的规范形(续)显然K可逆.变换y=Kz将f(Py)化为而6.二次型的规范形(续)记C=PK，则x=Cz将f

化为7.惯性定理

一个二次型化为标准形时，若所用的可逆线性变换不同，则得到的标准形也可能不同．

例如：二次型经可逆线性变换化为也可以经可逆线性变换7.惯性定理(续)化为

这说明：一个二次型的标准形是不唯一的！

然而，一个二次型的标准形所含项数是确定的，它就是二次型的秩．一个二次型的标准形中所含项的正负系数的个数也是确定的.7.惯性定理(续)定理4.14(惯性定理)设二次型的秩为r，且有两个可逆线性变换x=Cy和x=Pz分别使得则中正数个数与中正数个数相等.注：中负数个数与中负数个数相等.

证明略去.8.正(负)惯性指数定义4.17

二次型的标准形中，正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.注：若二次型f

的秩为r，正惯性指数为p，则f一定有规范形：9.本节小结将一个二次型化为标准形

正交变换法的好处是有固定的步骤且保持几何形状不变，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用Lagrange配方法反而比较简单．如果要求找出一个正交矩阵(正交变换)，应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么两种方法均可．Lagr