线性基础代数24

4.7

正定二次型与正定矩阵第4章相似矩阵与二次型1.回顾惯性定理

设二次型的秩为r，且有两个可逆线性变换x=Cy和x=Pz分别将二次型化为标准形：则中正数个数与中正数个数相等.二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.依据惯性定理，我们可以讨论二次型的分类.定义4.18设有实二次型，

(1)如果对任何x≠0，都有，则称f

为正定二次型，并称对应的对称矩阵A是正定矩阵.(2)如果对任何x≠0，都有，则称f

为半正定二次型，并称对应的对称矩阵A是半正定矩阵.

(3)如果对任何x≠0，都有，则称f为负定二次型，并称对应的对称矩阵A是负定矩阵.

(4)如果对任何x≠0，都有，则称f为半负定二次型，并称对应的对称矩阵A是半负定矩阵.2.正(负)定二次型(矩阵)的概念2.正(负)定二次型(矩阵)的概念(续)前述四种类型以外的二次型称为不定二次型，对应的对称矩阵A是称为不定矩阵.例如：正定二次型负定二次型半正定二次型半负定二次型不定二次型？3.正(负)定二次型判定的基本方法定理4.15n元实二次型正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正数.

证明：设有可逆线性变换x=Cy使得

充分性.设，任取，则有故3.正(负)定二次型判定的基本方法(续)那么，于是这与f

正定矛盾.故

必要性.假设有某个，则取

定理4.15’

n元实二次型负定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为负数.类似可得：4.正(负)定二次型判定的特征值方法推论4.5n元实二次型正定的充分必要条件是：它的矩阵的特征值全为正数.对于任一个n元实二次型，总有正交变换x=Py，将f

化为标准形其中是f的矩阵的特征值.由此可得：推论4.5’

n元实二次型负定的充分必要条件是：它的矩阵的特征值全为负数.5.例1

例1判定二次型是否正定.解：用特征值方法.这个二次型的矩阵为它的特征多项式为可知的特征值为，故二次型正定.6.正(负)定矩阵判定的特征值方法推论4.6实对称矩阵正(负)定的充分必要条件是：它的特征值全为正(负)数.n阶实对称矩阵正(负)定n元实二次型正(负)定的特征值全为正(负)数由此可得：7.正(负)定矩阵判定的顺序主子式方法定理4.16(Hurwitz定理)

实对称矩阵正定的充分必要条件是：

的各阶顺序主子式都为正，即实对称矩阵负定的充分必要条件是：的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即8.正定矩阵的性质

(1)设A为正定矩阵，则也是正定矩阵.

(2)设A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定矩阵.思考：

若将上述性质中的“正定”换为“负定”，结论成立吗？9.例2

例2判定以下二次型是否正定：解：这个二次型的矩阵为它的主子式分别是可知是正定矩阵，故二次型是正定的.10.例3

例3判定的正定性.解：这个二次型的矩阵为它的主子式分别是可知是负定矩阵，故二次型是负定的.11.例4

例4判确定实数t的取值范围，使得以下二次型正定：解：这个二次型的矩阵为要求联立解得，即为所求.12.本节小结

(2)正(负)定二次型(矩阵)的判别方法：

①

定义法；

②

顺序主子式判别法；