5.2.1 勾股定理-课件（内嵌视频）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

新湘教版八年级上册数学第5章直角三角形5.2.1勾股定理学习目标1.

了解勾股定理的文化背景，体会勾股定理的探索过程；2.

了解利用拼图法验证勾股定理的方法；3.能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.任务导入如图,在方格纸上(设小方格的边长为1)画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ABCa=3b=4c=?c=5探索展示ABCa=3b=4c=5我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”.这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方.对于这一结论，古人称为勾股算法.实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系.勾股弦勾2+股2=弦2探索展示探索展示由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论.画一个边长为a+b的正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为

c，如图所示.由此，你能探索出a2+b2

=c2这一结论吗？aaaabbbbABCDEFGHc探索展示aaaabbbbABCDEFGHc由于四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4个小直角三角形的面积。∴S=(a+b)2-ab×4=a2+b2=a2+2ab+b2-2ab在△ABE与△BCF中AE=BF∠AEB=∠BFCBE=CF∴△ABE≌△BCF(SAS)从而∠1=∠313S又∵∠1+∠2=90°2∴∠3+∠2=90°从而∠CBA=180°-(∠3+∠2)=90°同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°又∵BC=CD=DA=AB=c因此四边形ABCD是正方形∴S=c2综上可知，S=a2+b2=c2探索展示由此可得:如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.这一结论称为勾股定理。abc下面给同学们介绍几种证明方法cab证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽,用他所拼的图形证明命题吧.∵S大正方形＝c2S小正方形＝(b-a)2∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形证：赵爽弦图探索展示证法2毕达哥拉斯证法，请先用手中四个全等的直角三角形按图示方法拼图，然后分析其面积关系进行证明.abc证：∵S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2又∵S大正方形=4S直角三角形+S小正方形探索展示证法3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.aabbcc证：探索展示探索展示请通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理.aaaabbbb(1)aaaabbbb(2)应用提升例1

在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.(1)若a=1，b=2，求c.(2)若a=15，c=17，求b.解:(1)根据勾股定理得，∵

c>0∴c=(2)根据勾股定理得，∵

b>0∴b=8知二求一应用提升例2如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=

AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长ABCD解:在△ABC中∵

AB=AC

=

13

，BC

=10，AD⊥BC在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2+BD2=AB2应用提升课堂练习1.当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数.如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数.下列各组数中，不是勾股数的是（）（A）5，12，13

（B）6，8，10（C）7，24，25

（D）8，15，16D应用提升课堂练习2.求下图中各直角三角形未知的边长.aac54410a=3a=5c=15应用提升课堂练习3.已知Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长6cm，求AC的长.∴AC2=(AC-2)2+62解：在Rt△ABC中AC2=AB2+BC2从而AC=104.下列说法中,正确的是()

A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2应用提升课堂练习C5.

如图所示，灰色部分（长方形）的面积为(

)A.

24

B.

30

C.

48

D.

18683应用提升课堂练习B课堂小结导图复盘勾股定理

内容

在Rt△ABC中，