第六章点的运动学

运动学的主要内容运动学引论运动学的主要内容运动学所涉及的研究内容：

建立物体的运动方程

分析物体运动的速度、加速度、

角速度、角加速度等

研究物体运动的分解与合成规律运动学引论研究运动的几何性质：

轨迹、速度、加速度

运动学模型及其运动形式

点

刚体运动学的研究对象（运动学模型）：

点的运动形式

直线运动

曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动

运动学模型及其运动形式

平移(平行移动、平动)

定轴转动

运动学模型及其运动形式

刚体的运动形式

平面运动运动是绝对的，但有相对性→参考系第二篇运动学第6章点的运动学§6-1矢量法和直角坐标法§6-2自然法§6-1矢量法和直角坐标法第6章点的运动学

描述点的运动规律的方法用途点的空间位置随时间的变化规律怎样表示？？§6-1矢量法和直角坐标法点的空间位置随时间的变化规律？怎样表示用数学语言

矢径参考系xzyOMr点M相对于O的位置矢量矢径

运动方程

运动方程－矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。xzyrr´r

r=r(t)MM´M

§6-1矢量法和直角坐标法运动轨迹

速度xzyr(t)r(t＋

t)MMvt瞬时:矢径r(t)

r(t)=r(t+

t)-r(t)点在t

瞬时的速度:

t时间间隔内矢径的改变量:t+

t瞬时:矢径r(t+

t)

r(t)§6-1矢量法和直角坐标法点的速度等于矢径对时间的一阶导数

速度速度－描述点在t瞬时运动快慢和运动方向。

xzyr(t)r(t＋

t)MP´

rv速度的方向沿着运动轨迹的切线，指向与点的运动方向一致。

速度大小等于矢量的模。

速度的单位一般为m/s§6-1矢量法和直角坐标法

v

加速度xzyr´P´v´

vMrvt瞬时:速度v(t)

v(t)=v(t+

t)-v(t)点在t

瞬时的加速度：

t时间间隔内速度的改变量:v´t+

t

瞬时:

速度v(t+

t)§6-1矢量法和直角坐标法加速度－描述点在t瞬时速度大小和方向的变化率。

加速度加速度的方向－速度变化的方向（

v的方向）

加速度大小等于矢量a的模。加速度的单位一般为m/s2§6-1矢量法和直角坐标法描述点的运动的直角坐标法第6章点的运动学xzyOyxzjikrvMx=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)§6-1矢量法和直角坐标法动点M在t时刻运动到某一位置M在t时刻的坐标:（x,y,z）以直角坐标表示的点的运动方程点在空间的位置由3个方程确定：参数方程直角坐标法xzyOyxzjikravP(Oxyz)为定参考系§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法两边对时间t求导速度

速度

点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。cos=vx

/vcos=vy

/vcos=vz

/v§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法

加速度

点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。cos=ax/acos=ay/acos=az

/a§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法例1椭圆规机构，曲柄OA可绕定轴O转动求：P点的运动方程、轨迹、速度、加速度。§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法OA=AB=AC=L，BP=d求：P点的运动方程、轨迹、速度、加速度1、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点P置于坐标系中的一般位置；3、根据已知条件列出点的运动方程。§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法例1点的运动方程是点的坐标位置随时间变化的规律的方程1、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点P置于坐标系中的一般位置；3、根据已知列出点的运动方程。写出P在任意瞬时t的坐标位置：P点的轨迹方程：从中消去

t

解：§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法例1根据几何关系写运动方程

由P点的运动方程动点的速度-动点的瞬时坐标位置对时间的一阶导数cos=vx

/vcos=vy

/vcos=vz

/v§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法例1求速度描述物体位置随时间的变化速度P点的加速度：cos=ax/acos=ay/acos=az

/a§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法例1动点的加速度=动点的瞬时坐标位置对时间的二阶导数=动点的瞬时速度对时间的一阶导数；求P点的加速度讨论建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置§6-1矢量法和直角坐标法直角坐标法例1为了便于解题：对于直线坐标，位于坐标轴的正向；对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。§6-2描述点运动的自然法第6章点的运动学

弧坐标要素与运动方程

密切面与自然轴系

速度

加速度描述点运动的自然法

弧坐标要素与运动方程如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。弧坐标具有以下要素：1、有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；2、有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；3、有相应的坐标系(自然轴系)§6-2描述点运动的自然法

密切面与自然轴系

密切面当P´点无限接近于

P点时，过这两点的切线所组成的平面，称为P点的密切面。s-s+P切线P´切线§6-2描述点运动的自然法

密切面与自然轴系

由密切面得到的几点结论

空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的

空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。

曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/

表示。§6-2描述点运动的自然法

密切面与自然轴系s-s+PT(切线)N(主法线)

自然轴系B(副法线)自然轴系P－TNBP－空间曲线上的动点；T－

过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；

N－

密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；nB－

过动点P垂直于切线和主法线的直线，其正向由b=

n确定。§6-2描述点运动的自然法

密切面与自然轴系

自然轴系自然轴系的特点自然轴系跟随动点在轨迹曲线上运动。§6-2描述点运动的自然法

速度

弧坐标中的速度表示其中所以的方向与P点的切线方向一致点的速度其等于弧坐标对时间的一阶导数。§6-2描述点运动的自然法

速度

讨论

若,则，即点沿着s+的方向运动；反之点沿着s－的方向运动；

中

v

和

分别表示速度的大小与方向。§6-2描述点运动的自然法

加速度由§6-2描述点运动的自然法速度大小的变化速度方向的变化

加速度§6-2描述点运动的自然法——切向加速度，沿轨迹的切线方向——法向加速度，沿半径指向曲率中心反映了点的速度大小对时间的变化率反映了点的速度方向改变的快慢全加速度

加速度直线运动an=0

讨论几种特殊情形§6-2描述点运动的自然法an=C圆周运动anvat=0匀速率圆周运动变速圆周运动oABDE

已知：滑槽半径R=OA=0.1m，

(t)=/8sin2t，求：1.B点的运动方程

2.t1=1/4s，t2=1s时的aB

解：轨迹已知，定O´点为弧坐标原点O´B点相对于O’的弧坐标(O’B的弧长)：s=AB*2

=R*2

=/40sin2t(m)例2§6-2描述点运动的自然法2oABDE

求：1.B点的运动方程

2.t1=1/4s，t2=1s时的aB

解：O´s=R*2=/40sin2t(m)v=ds/dt=

2/20cos2t(m/s)at=

dv/dt=-

3/10sin2t(m/s2)t1=1/4s时:an=v2/R=4/40cos22t(m/s2)v(t1)=0,at(t1)=

=-

3/10(m/s2)an(t1)=0,

aB例2

(t1)=/8sin2t1=/4oABDE

求：t2=1s时的aB

解：根据O´t2=1s时：v(t2)=

=

2/20(m/s)an=4/40(m/s2)at=0,

aB例2v=ds/dt=

2/20cos2t(m/s)at=

dv/dt=-

3/10sin2t(m/s2)an=v2/R=4/40cos22t(m/s2)

(t2)=/8sin2t2=0例3已知：一点在xoy平面内以不变的加速度a运动，a=2m/s2,方向与x轴平行，初瞬时点的速度为v0=2m/s,方向与y轴夹角

=30求：t=1s时，该点轨迹的曲率半径思路：

v可由a

积分求得

与v和an相关an可由a与

at求得，at？xyOav0axay

v0xv0y解：例题3解：积分求vx

，

vy

，

vv对t求导，得ataxay

v0xv0yxyOv0vatan

结论与讨论

结论与讨论

描述点运动的