北京工业大学《通信原理》课件第三章

通信系统原理通信系统原理.edu信息与通信工程学院课程内容通信系统原理•第一章绪论与信道基础信息与通信工程学院2•第二章确知信号分析•第三章随机信号分析•第四章模拟调制系统•第五章数字基带传输系统•第六章数字带通传输系统•第七章模拟信号的数字传输•第八章数字信号的最佳接收•第九章差错控制编码•第十章同步原理3.1引言•

为什么研究随机过程？•

在通信系统的研究中，输入信号、干扰、噪声等都不是确定信号，而是随机信号。但这些随机信号又具有一定的统计规律性。•

随机过程是随机信号的数学模型，研究它的理论就是研究随机信号的数学工具信息与通信工程学院

3概念3.1引言•

随机过程的含义有两点：首先它是一个

时间函数；其次

每个时刻上的函数值是随机的，按照一定的概率分布

。如果时间是离散的，则称为随机序列。例如计算机产生的信号则是随机序列，而通信中的热噪声是随机过程。信息与通信工程学院

4概念3.1引言•

无论信号还是噪声，两者都是随机的。它们不能表示成一个确定的时间函数。•

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数进行描述。•

设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下测其输出噪声,可得图示波形,

每条曲线都是一个随机起伏的时间函数,称为随机函数。每一个随机函数称为一次实现或样本函数，全部样本函数构成的总体称为随机过程。在t1时刻，输出噪声值是一个随机量。在t2时刻，输出噪声是另一个随机量。时间不同，随机量也不相同，即随机量是一个变量，称为随机变量，它是时间的函数。信息与通信工程学院

5定义3.1引言•

随机过程定义设有一随机实验的样本空间为。对任一

时间参数t

T

−(

,

)，都有一定义在

上的随机变量Xt()

与之对应，则称

()

Xt

,

t

T

为一随机过程。一般也可把随机过程简记为Xt()。信息与通信工程学院

6含义3.1引言•

随机过程的两个含义•

在某一个确定的时刻，随机过程表现为一个随机变量，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。•

随机过程X(t)的一个具体取值形成一个样本函数，用x(t)表示，即随机过程是所有样本函数的集合信息与通信工程学院

73.1引言•

研究什么？•

随机过程的各种统计特性•

随机过程通过线性系统信息与通信工程学院

83.2随机过程的统计特性•

随机过程的一维分布函数和概率密度、

n维分布函数和概率密度。n越大对其统计特性的描述越充分Fxt(

,1

1

1)=PXt

()

1

x1

)=PXt

()

1

xXt,

()1

2

x2,,Xt()n

xn

p1(xt,1

1)Fxt(

,=

1

1

1

x1),tnFn(xx,1

2,,xtt,,,n

1

2pn(xx,1

2,,xtt,,,n

1

2,tn)F=

n(xx,1

2,,xtt,,,n

1

2,tn)9

xx1

2

xn信息与通信工程学院数字特征3.2随机过程的统计特性•

随机过程的数字特征()1数学期望（统计平均值）,所有样本函数曲线的中心值mX()t=EXt

()

=

−xp1(xtdx,

)()2方差，相对于均值的偏离程度

2X()t=DXt

()

=EXt()

−EXt

()

2=EX

2()t

−m2()tX()3

自相关函数，不同时刻的随机变量之间的关联程度RX(tt,12)=EXt

()

1Xt()2

=

−xxp1

2

2(xxtt,

,,1

2

12)dxdx1

2信息与通信工程学院10数字特征3.2随机过程的统计特性•

随机过程的数字特征()4

自协方差函数11CX(tt,12)=E

Xt()1−mX()t1

Xt()2−mX()t2

=RX(tt,12)−mX()t1mX()t2()5相关系数（归一化协方差函数）

X(tt,12)=CX(tt,12)

X()t

1

X()t2若

X(tt,12)=0，则称Xt()1和Xt()1不相关信息与通信工程学院3.2随机过程的统计特性•

两随机过程X(t),Y(t)的n+m维联合分布函数和概率密度=nm,(xx,2,n12tn;yy,2,,ym,',',t

tt'm)t'm)P

()1

1()2

x2,2,,,()n

xn;ym

Xt('1)

yXt,

(1'2)

yXt('m)

nm,F=

nm,(xx,2,n122tn;yy,2,,ym,',',t

t

xx

x

yy2

ym12信息与通信工程学院3.2随机过程的统计特性•

两随机过程X(t),Y(t)相互独立的充分必要条件（满足任何一个即可）Fnm.=FFn

m信息与通信工程学院13pnm.=ppn

m3.2随机过程的统计特性•

两随机过程的数字特征（互相关函数和互协方差函数）RXY(tt,2)=EXtYt

()()

CXY(tt,2)=

xyp2(xtyt,,,2)dxdy−−=E

Xt()−mX()t

Yt()

−mY()t=RXY(tt,2)−mX()tm1

Y()t信息与通信工程学院143.2随机过程的统计特性•

不相关与独立•若两随机过程Xt和Yt对任何tt,12有CXY(tt,12)=0，则称这两随机过程不相关•

两随机过程相互独立，则必定不相关；若不相关，则不一定独立•

对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的信息与通信工程学院

15数字特征3.3平稳随机过程•

严平稳（狭义平稳）随机过程：任意有限维分布函数与时间起点无关若随机过程Xt对于任意正整数和所有实数有n

pn(xx,1

2,xtt,,,n

1

2tn)=pn(xx,1

2,xt,n

1+

,t2+

,tn+

)则称Xt为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程•

平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变信息与通信工程学院

16数字特征3.3平稳随机过程•

严平稳随机过程的数字特征()1EXt

()

=mX

与时间无关t17()2DXt

()

=

2X()3RX(tt,12)=RX()

2

只与t2−t1=

相关()4CX(tt,12)=RX()

−mX信息与通信工程学院宽平稳3.3平稳随机过程•

宽平稳（广义平稳）随机过程•

满足以下条件的随机过程即为宽平稳EXt

()

=mX()

RX(tt,12)=RX•

注意：由这两个条件即可得到与严平稳随机过程相同的四个数字特征性质，即也有DXt

=R2()

−m2信息与通信工程学院18XCX(tt,2)=XX严平稳3.3平稳随机过程•

严平稳与宽平稳的关系•

宽平稳随机过程不一定满足以下条件p

xx,

,

xtt,,,

t(

)n

1

2

n

1

2

ntn+

)=pn(xx,1

2,xt,n

1+

,t2+

,•

严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程；但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程•

对正态（高斯）随机过程而言，宽平稳和严平稳等价•

若不加特别说明，平稳过程都是指宽平稳随机过程信息与通信工程学院

193.3平稳随机过程•

联合宽平稳随机过程若Xt,Yt()均为宽平稳随机过程，且有RXY(tt,12)=EXtYt

+

)

=RXY()

其中t2−t1=

，则Xt,Yt()为联合宽平稳随机过程信息与通信工程学院203.3平稳随机过程•

平稳随机过程相关函数的性质RX()

=EXtXt()

(+)

()1RX()0=EX

2()t

，是统计平均功率，与无关t()2RX(−)=RX()

()3RX()

RX()0()4RX()=E2

Xt()

=a2,直流功率一般，

→时，可以认为Xt()和Xt(+

)相互独立，()5RX()0−RX()=

，

为方差，表示过程的交流功率信息与通信工程学院213.3平稳随机过程•

遍历性（均值遍历过程）Xt()的样函数xt的时间平均值122xt()lim12TT

−Txtdt，若PEXt

=xt

=则Xt为均值遍历过程信息与通信工程学院3.3平稳随机过程•

遍历性（自相关遍历过程）Xt()的样函数xt的自相关平均值23xtxt()(+

)=1lim2T

→TT

−Txtxt()(+

)dt，若PRX()

=xtxt()(+)

=1则Xt()为自相关遍历过程信息与通信工程学院3.3平稳随机过程•

遍历性含义➢

平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值，可用时间平均代替统计平均➢

随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。信息与通信工程学院

243.3平稳随机过程•

遍历性（宽遍历与严遍历）•

若X(t)是均值遍历和自相关遍历的，则称其为宽遍历过程•

若X(t)的所有统计平均特性和其样本函数所有相应的时间平均特性以概率为1相等，则称其为严遍历过程或狭义遍历过程•

如不加特别说明，遍历过程均指宽遍历过程信息与通信工程学院

253.3平稳随机过程•

遍历性（遍历与平稳）•

遍历过程必是平稳过程；但平稳过程不一定是遍历过程•若平稳高斯过程Xt()有EXt

()

=0，

−R()

d

，则Xt()是遍历过程•

对遍历过程，得到一个样函数，就可得到其数字特征信息与通信工程学院

263.3平稳随机过程•

平稳随机过程的功率谱密度Xt()的功率谱密度为2

=T→E

XT()

2

27PX()

=E

T→XT()

TT其中，XT()t

=

Xt()t

T/2信息与通信工程学院0其它3.3平稳随机过程•

维纳-辛钦定理•

平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度互为傅立叶变换，即RX()

PX()

•

证明目标是PX()

=limT

→E

XT()

2

=

−RX()

e−j

d

28T信息与通信工程学院3.3平稳随机过程•

维纳-辛钦定理（证明）E

XT()

2

=1E

T

/2

−T

/2XT()te−jt

dtT

/2

−T

/2XT()t

'ejt

'dt'

TT=1T

/2

−T

/2T

/2

−T

/2RX(t−t')e−j

(tt−')dtdt'T⎯⎯⎯→=−tt

'1T

/2

−T

/2T

/2−t

−T

/2−''RX()

e−j

ddt

'Tt29信息与通信工程学院3.3平稳随机过程•

维纳-辛钦定理（证明）•

下一步证明思路是变换积分次序信息与通信工程学院

303.3平稳随机过程()1

0,1T

/2

−T

/2T

0/2−t'RX()

e−j

ddt

'=1T

0RX()

e−j

T

/2−

−T

/2dtd'

d

TT=T

0RX()

e−j

−1

d

T()2

0,1T

/2

−T

/20

−T/2−t'RX()

e−j

ddt

'=10

−TRX()

e−j

T

/2

−T

/2+dtd'

TT=T

0RX()

e−j

+1

d

TPX()

=limT

→E

XT()

2

=limT

→

()()1

+

2

=limT

→T

−TRX()

e−j

1−

TT=limT

→T

−TRX()

e−j

d

=

−RX()

e−j

d

信息与通信工程学院313.3平稳随机过程•

平稳随机过程功率谱密度的性质()1PX()

032()2RX()0=EX

2()t

=1

−PX()

d

，是平均功率2

()3PX()0=

−RX()

d

信息与通信工程学院3.3平稳随机过程•

平稳随机过程功率谱密度的性质()4若Xt()为实平稳随机过程，则RX()

和P()

均为实偶函数定义双边功率谱密度GX()

=

2PX()

0cos

d33

00PX()

=

−RX()

e−j

d

=2

0RX()

RX()

=1

−PX()

ed=1

0PX()

cos

d2

信息与通信工程学院3.3平稳随机过程例3.3.1Xt()=sin(

t+

)中为随机变量，概率密度为

p()

=10

2

，求RX(tt,2)和P()

2

0其他mX()t=E

sin(

t+

)

(sin

)=0

=sin

tE(cos

)+cos

tERX(tt,2)=E

sin(

t+

)sin(

t+

)

=1

cos

平稳随机过程=1E

cos(t2−t1)−cos

(t2+t1)+2

22RX()

PX()

=

(

−

2

0)+

(

+

0)

信息与通信工程学院343.4

高斯（正态）随机过程px()=1exp

−

(x−a)2

，为数学期望（分布中心），a2

2

2

2为方差（集中程度，

2越小，宽度越窄）35信息与通信工程学院3.4

高斯（正态）随机过程•

一维正态（高斯）分布的性质()1a

−pxdx()=

apxdx()=1/2()2若a=0，

=1，则px()=1exp

−

x2

，2

2称为标准化正态分布函数信息与通信工程学院

363.4

高斯（正态）随机过程•

概率积分、误差函数和互补误差函数Fx()=x

−1exp2

−(z−a)2

dzuza=−

=dzdu=

1xa−

−

exp

−u2

du=

x−a

2

22

2

概率积分

()x=1x

−exp

−

u2

du2

2

exp(−u2)du37误差函数erfx=2x

−exp(−u2)du

互补误差函数erfcx=−1erfx()=2

x信息与通信工程学院3.4

高斯（正态）随机过程•

概率积分、误差函数和互补误差函数之间的关系erfx()=2(2x)−1=−11erfc

x

38erfcx()=2−2(2x)

()x=1+1erf

x2

2222信息与通信工程学院3.4

高斯（正态）随机过程•

定义：其n维概率密度服从下式，称为高斯随机过程pn(xx,12,xtt,,n

12,tn)=ak

(2

)n/21

nB1/2

−1exp2

Bn

n

j=1

k

=1Bjk

xj−aj

xk−

1

2

j

k其中，ak=EXt

()

k

，

2k=EXt

()

k−ak

2，1b12b1nB=b211b2n，为归一化协方差矩阵的行列式bn1bn2139bjk=E

Xt()j−aj

Xt()k−ak

，为归一化协方差

j

k信息与通信工程学院3.4

高斯（正态）随机过程•

性质（1）对正态（高斯）随机过程而言，宽平稳和严平稳等价（2）对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的（3）任意有限个高斯随机过程的任意线性和仍是高斯随机过程信息与通信工程学院

403.4

高斯（正态）随机过程互不相关

bjk

=

1j=k2

)n1

nexp

−

n

j=1(xj−aj)2

0j

k100B=1

B=010

001tn)=(

pn(xx,12,xtt,,,n

1

2/2

1

22

2j=n

j=1(1

jexp

−(xj−aj)2

=p1(x1)p2(x2)pn(xn)

独立2

)1/22

2j信息与通信工程学院413.4

高斯（正态）随机过程•满足：Pn()

=N0(−

)2的平稳随机过程nt被称为白噪声•

注意：白噪声的功率无限大•

若白噪声是高斯（正态）随机过程，则其被称为高斯白噪声信息与通信工程学院

423.4

高斯（正态）随机过程•

正态随机过程X(t)通过线性系统后，输出Y(t)也是正态随机过程•

若随机过程Xt

的带宽

线性系统带宽

，则输出Yt

趋于高斯随机过程；(

)线性系统，则输出Yt

是高斯随机过程信息与通信工程学院

433.5

平稳随机过程通过线性系统•

系统框图Yt()=Xt()*ht()=

−Xaht()(−ada)=

−huXt()

(−udu)信息与通信工程学院

443.5

平稳随机过程通过线性系统•

输出Y(t)为平稳随机过程mY()t=EYt

()

=

−huE()

Xt(−u)

du=E

Xt(−u)

−hudu()=mHX()0RY(tt,12)=EYt

()

1Yt()2

=E

−huXt()

(1−udu)

−hvXt()

(2−vdv)

=

E

Xt(1−uXt)

(2−v)

huhvdudv()()−−=

RX(+u−vhuhvdudv)()()=RY()

−−信息与通信工程学院453.5

平稳随机过程通过线性系统•

X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度RXY(tt,12)=EXtYt

()()1

2

()

46=EXt

()

1

−huXt()

(2−udu)

=

−RX(−uhudu)()=RX()

*h()

=RXYPXY()

=F

RXY()

=PX()

H()

信息与通信工程学院3.5

平稳随机过程通过线性系统•

Y(t)的功率谱密度PY()

=

−RY()

e−j

d

=

−

RX+u−

vhuhvdudve

−j

d

−−a=+−

uv

−hue()ju

du

−hve()−jv

d

RX()ae−ja

da=−+auv=H()

H*()

PX()

=H()

2PX()

信息与通信工程学院473.5

平稳随机过程通过线性系统•

X(t)通过希尔伯特滤波器希尔伯特变换系统中ht()=1，H()

=−jsgn()

tRXX()

=RX()

*h()

=RX()

RX()

为偶函数，

RX()

,RXX()

是奇函数即RXX()0=0，Xt()和Xt()在同一时刻不相关在希尔伯特变换中，H()

=−jsgn()

PX()

=H()

2PX()

=PX()

,

RX()

=RX()

信息与通信工程学院483.6

窄带平稳随机过程•

定义：

()若平稳随机过程Xt的功率谱如下图，且49

c

，则称Xt为窄带平稳随机过程信息与通信工程学院3.6

窄带平稳随机过程•

窄带平稳随机过程的样本函数的波形图信息与通信工程学院

503.6

窄带平稳随机过程•

两种表达式Xt()=at()cos

t

+

t

at()称为包络，

t称为相位Xt()=Xc()tcos

t−Xs()tsin

tXc()t称为同相分量，Xs()t称为正交分量显然，at，

t，Xc()t，Xs()t都是随机过程信息与通信工程学院513.6

窄带平稳随机过程•

两种表达式的关系Xc()t=at()cos

t()信息与通信工程学院52Xs()t=at()sin

t()at()=X2()t+X2()tcs

()t=arctanXs()tXc()t3.6

窄带平稳随机过程•

其解析信号和复包络信号Zt()=Xt()+jXt()=XL()tej

tXL()t=Zte()−j

t容：XL()t=Xc()t+jXs()t=ate()j

()t53信息与通信工程学院3.6

窄带平稳随机过程•

其解析信号Z(t)的自相关函数和功率谱密度RZ(tt,2)=EZ

*()1()2

54=E

()1−()1

()2+()2

=RX()

+RX()

+jRXX()

−jRXX()

=2

RX()

+jRXX()

RZ

PZ()

=2PX

+2jPX()

H()

=2PX()

1

+sgn()

=4PX

u

信息与通信工程学院3.6

窄带平稳随机过程•

其复包络XL(t)的自相关函数和功率谱密度RXL()

=E

X*()tXL(t+

)

55L=E

Z*()tej

tZt(+

)e−j

(t+)

=RZ()

e−j

=2

RX()

+jRXX()

e−j

RXL()

PXL(

)=PZ(+

c)=4PX(+

c)u(+

c)信息与通信工程学院3.6

窄带平稳随机过程•

其解析信号和复包络信号的功率谱密度图复包络信号解析信号信息与通信工程学院

563.6

窄带平稳随机过程•

Xc(t),Xs(t)的性质和统计特性()1若EXt

()

=0，则EXt()

=

EXt

()

−1dt=0，

tEX

c()t

=EX

s()t

=0()2若Xt()是高斯过程，则Xt()也是高斯过程(高斯过程通过线性系统仍是高斯过程)，所以Xc()t和Xs()t也是高斯过程(高斯过程的线性和仍是高斯过程)信息与通信工程学院

573.6

窄带平稳随机过程()3()4RXc()0=RXc()0=RX()0=2，即X()RXXcs()0=−RXXsc()0=RX()0=0，即Xc()t和Xs()t在同一时刻互不相关，如果是高斯过程，则相互独立()5PXc()

=PXs()

(RXc()

=RXs()

)58信息与通信工程学院3.6

窄带平稳随机过程•

由以上的几种性质，可得出以下结论均值为方差为0

的窄带高斯平稳随机过程Xt()，其同相分量Xc()t和正交分量Xs()t也是均值为0方差为

的高斯平稳过程基带，且在同一时刻(

)Xc()t和Xs()t相互独立信息与通信工程学院593.7

余弦波加窄带平稳高斯随机过程Xt()=Acos

tc+nt()，其中nt()=nc()tcos

tc−ns()tsin

tc

Xt()=

A+nc()t

cos

tc−ns()tsin

tc=n'c()tcos

tc−ns()tsin

tc其中n'c()t=A+nc()t。容：()1n'c()t,ns()t均为高斯过程，且在同一时刻相互独立；()2n'c()t均值为，A

ns()t均值为；0()3方差相同均为

2信息与通信工程学院603.7

余弦波加窄带平稳高斯随机过程n'c()t,ns()t在同一时刻的联合概率密度为：61pn',cns(n',cns)=pn'c(n'c)ps(ns)=1exp

−(n'c−A)2

1exp

−n2s

2

2

2

2

=1exp

−

(n'c−A)2+n2s

2

2

信息与通信工程学院3.7

余弦波加窄带平稳高斯随机过程Xt()=rt()cos

t

c+

()t

，其中：2

)62n'c()t=rt()cos

tc

J=rns()t=rt()sin

tcrt(),

()t的联合概率密度为：pr,

(r,

)=pn',cns

n'c(r,

),ns(r,

)

=rexp

−r2+A2−2Arcos

(r

0,0

2

22

2信息与通信工程学院3.7

余弦波加窄带平稳高斯随机过程包络rt()的概率密度为：pr()r=

−pr,

(r,

)d

=rexp

−

r2+A2

2

01exp

Ar

cos

d

22

2

2=rexp

−

r2+A2

I0

Ar

(莱斯分布或广义瑞利分布)

22

2其中I0()x=12

0exp(xcos

)d

(零阶贝塞尔函数)2

引入归一化变量和信噪比：v=r，a

=A

pv()v=pr()