成对数据的统计相关性

第4章

4.1成对数据的统计相关性高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI课程标准1.理解散点图,会结合散点图直观认识两个变量之间的线性相关性.2.理解样本相关系数的统计含义、计算公式及性质,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点1变量间的关系、散点图1.两变量之间的关系:(1)函数关系:两个变量之间具有确定性的对应关系.(2)相关关系:两变量所取的值之间存在着既有某种规律性而又不十分确定的关系.2.相关关系的分类,按变量间的增减性分为正相关和负相关.(1)正相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势;(2)负相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势.3.散点图:(1)定义:为了研究两变量之间的关系,将以一个变量的取值为横坐标x,以另一个变量的取值为纵坐标y,建立直角坐标系,则每对数据(x,y)都可在直角坐标系中用一个点表示,这些点称为散点,由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图.其作用是粗略判断变量是否线性相关

(2)利用散点图对样本数据作判断的方法:①如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线,则称它们有线性相关关系;②如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量,各观测点落在一条直线上,则它们就是函数关系.自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系.(

)(2)散点图直观地描述了变量之间的关系形态.(

)(3)若两变量之间是正相关,则从散点图上可以看出两变量之间有相同的变化趋势.(

)×√√2.如果x与y线性相关,那么y与x也线性相关吗?为什么?提示

∵x与y线性相关,∴点(xi,yi)(i=1,2,…,n)大致分布在一条直线附近,则点(yi,xi)(i=1,2,…,n)也大致分布在一条直线附近,故y与x也线性相关.知识点2相关系数为变量x和变量y的相关系数.相关系数具有以下性质:(1)rxy的取值范围是[-1,1].当0<rxy≤1时,称变量x和变量y正相关;当-1≤xxy<0时,称变量x和变量y负相关.(2)|rxy|越接近于1,变量x,y的线性相关程度越高,这时数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)分散在一条直线附近.(3)|rxy|越接近于0,变量x,y的线性相关程度越低.(4)rxy具有对称性,即rxy=ryx.(5)rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量.rxy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系,并不说明变量之间没有关系,它们之间可能存在非线性关系.名师点睛当rxy>0.8时,变量x和变量y是高度正相关的;当rxy<-0.8时,变量x和变量y是高度负相关的.自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若成对数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)构成的点都在一条直线上,则rxy=1.(

)(2)rxy越小,说明两个变量之间的线性相关程度越弱.(

)××2.5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:科目ABCDE数学8075706560物理7066656462则数学成绩与物理成绩之间(

)A.是函数关系B.没有相关关系C.具有相关关系,且是正相关D.具有相关关系,且是负相关C解析

作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有相关关系,且是正相关.知识点3相关系数与向量夹角1.我们把两组成对数据分别看作n维空间的两个向量(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn),将向量的每个元素都减去均值,形成两向量分别由观测数据的横坐标与纵坐标构成

该公式本质上就是相关系数公式

2.两向量的夹角与数据之间的相关性:(1)当<a,b>∈[0,)时,余弦值越大表示两个向量的夹角越小,两组数据的正相关程度

,余弦值越小表示两个向量的夹角越大,两组数据的正相关程度

.

(2)当<a,b>∈(,π]时,余弦值越大表示两个向量的夹角越小,两组数据的负相关程度

,余弦值越小表示两个向量的夹角越大,两组数据的负相关程度

.

(3)当<a,b>=时,余弦值为0,说明两组数据

.

越高

越低越低越高

不存在线性相关关系自主诊断当样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)都在一条直线上时,如何用向量夹角刻画其相关程度?重难探究·能力素养速提升探究点一两变量之间的关系【例1】

(多选题)下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是(

)A.圆的半径与面积B.平均日学习时间和平均学习成绩C.人的身高与体重D.人的身高与视力BC解析

由圆的面积公式知S=πr2,故A不符合题意;平均日学习时间与平均学习成绩是相关关系且不是函数关系,故B符合题意;人的身高会影响体重,故有相关关系,但身高与体重间无函数关系,故C符合题意;人的身高与视力无任何关系,故D不符合题意.故选BC.规律方法

1.相关关系可以理解为两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度.2.相关关系与函数关系的异同点:(1)相同点:均是指两个变量的关系.(2)不同点:函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定关系.相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受确定的随机因素的影响.变式训练1(多选题)从统计学的角度看,下列关于变量间的关系说法正确的是(

)A.人体的脂肪含量与年龄之间没有相关关系B.汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程负相关C.单位土地面积上粮食的产量为常数时,土地面积与粮食总产量不是相关关系D.气饮销售好不好正相关BC解析

从统计学的角度看:在一定年龄段内,人体的脂肪含量与年龄之间有相关关系,故A错误;汽车的重量和汽车每消耗1

L汽油所行驶的平均路程是负相关关系,故B正确;单位土地面积上粮食的产量为常数时,土地面积与粮食总产量是函数关系,故C正确;气饮销售好不好是负相关关系,故D错误.故选BC.探究点二散点图的应用解

作出散点图(图略),由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故x与y之间线性相关,且y随x的增加呈现增加的趋势,是正相关.【例2】

某公司2018~2023年的年利润x与年广告支出y的统计资料如表所示:年份201820192020202120222023利润x/百万元12.214.6161820.422.3支出y/百万元0.620.740.810.8911.11判断x与y是否线性相关.若是线性相关,试判断是正相关还是负相关?规律方法

判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的.注意不要受个别点的位置的影响.变式训练2对变量x,y由观测数据得散点图(1),对变量y,z由观测数据得散点图(2).由这两个散点图可以判断(

)A.变量x与y正相关,y与z正相关B.变量x与y正相关,y与z负相关C.变量x与y负相关,y与z正相关D.变量x与y负相关,y与z负相关C解析

通过观察散点图可以知道,y有随x的增大而减小的趋势,x与y负相关,z有随y的增大而增大的趋势,y与z正相关.探究点三相关系数角度1.相关系数的理解【例3】

对两个变量x,y进行线性相关检验,得线性相关系数rxy=0.7859,对两个变量u,v进行线性相关检验,得线性相关系数ruv=-0.9568,则下列判断正确的是(

)A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强C解析

由线性相关系数rxy=0.785

9>0知x与y正相关,由线性相关系数ruv=-0.956

8<0知u,v负相关,又|rxy|<|ruv|,∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强.故选C.规律方法

根据两变量间的相关系数判断两变量相关性的方法根据线性相关系数的正负判断两变量正负相关性,根据线性相关系数的绝对值大小判断两变量相关性的强弱.一般地,相关系数绝对值越大,线性相关性越强.变式训练3变量x,y的线性相关系数为rxy,变量m,n的线性相关系数为rmn,下列说法错误的是(

)A.若|rxy|=0.96,则说明变量x,y之间线性相关性强B.若rxy>rmn,则说明变量x,y之间的线性相关性比变量m,n之间的线性相关性强C.若0<rxy<1,则说明变量x,y之间的相关性为正相关D.若rxy=0,则说明变量x,y之间不存在线性相关关系B解析

∵|rxy|=0.96接近于1,∴变量x,y之间的线性相关性强,故A选项正确;若rxy=0.8,rmn=-0.9,满足rxy>rmn,但是不能说明变量x,y之间的线性相关性比变量m,n之间的线性相关性强,故B选项错误;当0<rxy<1时,变量x,y之间的相关性为正相关,故C选项正确;当rxy=0时,变量x,y之间不存在线性相关关系,故D选项正确.故选B.角度2.相关系数的计算【例4】

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序x12345678零件尺寸y9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序x910111213141516零件尺寸y10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95(1)求y与x的样本相关系数rxy,并回答是否可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|rxy|<0.2,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天生产的所有零件进行检查.从这一天抽检的结果看,是否需对当天生产的所有零件进行检查?由于|rxy|<0.2,因此可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.规律方法

样本相关系数的计算方法求样本相关系数首先要明确样本相关系数的计算公式.由于样本相关系数的计算公式有两个,因此要选择恰当的公式求解.此类问题由于涉及的计算量较大,因此题目中会给出部分数据,可以结合题目中给出的数据特征选择公式求解.变式训练某省市响应“节能减排,低碳生活”的号召,近5年来开展一系列的措施控制碳排放.环保部门收集到这5年内新增碳排放数量,表中x代表年份,y代表新增碳排放量.x12345y6.15.24.943.8求相关系数,并分析x与y之间是否具有较强的线性相关性(结果保留两位小数).因为0.8<|rxy|<1,所以x与y之间具有较强的线性相关性.本节要点归纳1.知识清单:(1)散点图;(2)相关系数;(3)多组成对数据的相关性;(4)相关系数与向量夹角.2.方法归纳:利用散点图判断两变量之间的关系;利用n个成对观测数据的相关系数公式求相关系数,并根据相关系数的值判断两变量之间相关关系的强弱;利用n个成对观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)构成的向量(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)的夹角的大小判断两变量之间的相关关系.3.特别提示:利用散点图不能准确反映两变量之间的相关关系,计算相关系数时要注意准确计算,由相关系数的正负确定两变量之间的正负相关性,由相关系数的绝对值的大小确定变量相关性的强弱.学以致用·随堂检测促达标12345C1.[2024高一江西吉安期末]对于相关系数,下列说法错误的是(

)A.可以用来判断成对样本数据相关的正负性B.可以是正的,也可以是负的C.相关系数越大,成对样本数据的线性相关程度也越高D.取值范围是[-1,1]解析

对于相关系数的定义:当相关性越强,相关系数就越接近于±1;当相关系数的绝对值越小,相关性越弱;当系数为正数时,为正相关,当系数为负数时,为负相关.故选C.123452.甲、乙、丙、丁四位同学各自对x,y两变量的线性相关性做试验,并分别求得相关系数rxy,如下表:相关系数甲乙丙丁rxy-0.82-0.78-0.69-0.85(

)同学的试验结果体现x,y两变量有更强的线性相关性.A.甲

B.乙

C.丙

D.丁D解析

∵0.85>0.82>0.78>0.69,且相关系数的绝对值越接近1,则两个变量的线性相关性越强,∴能体现出x,y两变量有更强的线性相关性的是丁同学的试验结果.故选D.123453.(多选题)已知具有相关关系的n个成对观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)负相关,则n维空间的两向量(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)的夹角的余弦值可以是(

)BD解析

由于n个成对观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n