人教版数学上册八年级上册数学角平分线的性质和判定复习题

人教版数学上册八年级上册数学角平分线的性质和判定复习题角平分线的性质与判定是平面几何中的重要基础知识，它们不仅揭示了角平分线所特有的几何规律，也为后续学习三角形全等、相似等内容奠定了坚实的逻辑基础。在解决与角度、距离相关的几何问题时，角平分线的性质与判定常常扮演着关键角色。本次复习，我们将系统梳理这部分知识，并通过典型例题的分析与解答，深化理解，提升应用能力。一、知识梳理回顾1.角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。这是我们研究角平分线一切性质的出发点。2.角平分线的性质定理定理内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等。理解要点：*“点”必须在角的平分线上。*“距离”指的是该点到角两边的垂线段的长度。*这个性质揭示了角平分线上点的一个重要特征：它到角的两边是等距的。几何语言表述：如图1，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。3.角平分线的判定定理定理内容：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。理解要点：*“点”到角的两边的距离必须相等。*“距离”同样是指点到角两边的垂线段长度。*这个判定定理是性质定理的逆定理，它为我们提供了判断一条射线是否为角平分线的依据。几何语言表述：如图1，若点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，即射线OP平分∠AOB。性质与判定的联系与区别：*联系：两者都与角的平分线及点到角两边的距离有关。性质定理是由“线（角平分线）”推“点的性质（距离相等）”；判定定理是由“点的性质（距离相等）”推“线（角平分线）”。它们互为逆定理。*区别：性质定理的前提是已知角平分线，结论是点到两边距离相等；判定定理的前提是已知点到两边距离相等，结论是该点在角平分线上。二、性质定理的应用性质定理的直接应用是证明两条垂线段相等。在题目中，当已知条件出现角平分线时，我们应主动联想性质定理，通过向角的两边作垂线，构造出相等的线段，为解题创造条件。例题1：已知：如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。求证：BE=CF。分析：由AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质定理，易知DE=DF。又已知BD=CD，且∠DEB=∠DFC=90°，因此可以考虑证明Rt△DEB与Rt△DFC全等，从而得到BE=CF。证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。在Rt△DEB和Rt△DFC中，BD=CD（已知），DE=DF（已证），∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。∴BE=CF（全等三角形的对应边相等）。小结：本题直接利用角平分线的性质得到一对直角边相等，再结合已知的斜边相等，利用“HL”判定直角三角形全等，从而证得结论。这是性质定理与全等三角形知识的结合应用。三、判定定理的应用判定定理主要用于证明某条射线是一个角的平分线。当题目中出现“到角的两边距离相等的点”时，就可以考虑应用此定理来判定角平分线。例题2：已知：如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。分析：要证AM平分∠DAB，根据角平分线的判定定理，只需证明点M到∠DAB的两边AD、AB的距离相等即可。已知∠B=∠C=90°，即MB⊥AB，MC⊥CD。M是BC中点，故MB=MC。又DM平分∠ADC，过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质定理可得ME=MC，从而ME=MB。MB是M到AB的距离，ME是M到AD的距离，因此AM平分∠DAB。证明：过点M作ME⊥AD于点E。∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。∵M是BC的中点，∴MB=MC。∴ME=MB。∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴点M在∠DAB的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）。即AM平分∠DAB。小结：本题通过作辅助线（过角平分线上的点向另一边作垂线），利用角平分线性质定理得到线段相等关系，再结合中点条件，将相等线段进行转化，最终利用判定定理证得结论。辅助线的添加是解决问题的关键。四、综合应用与拓展在复杂的几何问题中，角平分线的性质与判定往往不是孤立存在的，它们常与三角形的其他性质（如等腰三角形“三线合一”）、全等三角形的判定与性质等知识综合应用。例题3：已知：如图4，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB于D，交AC于E。求证：DE=BD+CE。分析：因为BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且DE∥BC，所以可以利用平行线的性质和角平分线的定义得到等腰三角形，从而将线段BD、CE转移到DE上。证明：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO。∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等）。∴∠DBO=∠DOB。∴DB=DO（等角对等边）。同理可证：EC=EO。∵DE=DO+OE，∴DE=BD+CE。小结：本题巧妙地利用了角平分线和平行线组合产生等腰三角形的基本图形，将分散的线段BD和CE集中到DE上，从而使问题得证。这种“角平分线遇平行，等腰三角形必呈现”的模型值得关注。五、复习建议与温馨提示1.深刻理解，准确记忆：务必吃透性质定理和判定定理的条件和结论，理解它们之间的联系与区别，避免混淆。2.规范书写，注重逻辑：在运用定理进行推理证明时，要严格按照几何语言的规范进行表述，做到步步有据，逻辑清晰。例如，运用性质定理时，要先说明“某点在角平分线上”以及“该点到两边的垂线段”，再得出“距离相等”的结论。3.灵活运用，善于转化：遇到角平分线的问题，要能联想到向两边作垂线；遇到到两边距离相等的点，要能联想到角平分线的判定。学会通过添加辅助线（如作垂线）构造符合定理应用的条件。4.多做练习，总结规律：通过适量的练习，熟悉不同