Ch3 复杂网络的基本统计特征

第三章复杂网络的基本统计特性1网络的“度”刻画了一个节点的一阶邻居数量23.1网络的度和度分布3度分布P(k)：网络中各个度值的节点所占的比例。4累积度分布Pk：网络中随机选取一个节点，其度大于或等于k的概率。5不同网络上的累计度分布曲线局部集聚系数是用来度量网络中单个节点的邻居节点相互之间连接的程度。对于网络中的一个节点，它的局部集聚系数指的是其邻居节点之间实际存在的边数与可能存在的最大边数之间的比例。局部集聚系数是一个重要的度量指标，它可以帮助理解网络中微观层面上的连通性。例如，在社交网络中，一个高局部集聚系数可能意味着个人的朋友彼此之间也是朋友。63.2网络的集聚系数局部集聚系数计算方式：局部集聚系数ci的值范围为0-1，值越接近1，表示邻居之间的连接越紧密，形成一个紧凑的团簇；值越接近0，表示邻居之间几乎没有直接的连接。7全局集聚系数是对整个网络集聚倾向的度量，它描述了网络中形成完整三角形（即闭合三元组）的倾向。与局部集聚系数不同，它不是针对单个节点而是针对网络整体。在得到网络中所有节点的集聚系数之后，一个网络的全局集聚系数C可定义为网络中所有节点的集聚系数值的平均：8集聚系数计算示例9路径是网络中从一个节点到另一个节点的连接序列，其中每一对连续的节点都通过网络中的边相连。以无向网络为例，路径是指沿着网络中的连边行走所经过的节点，它是一个节点序列，可表示为：网络中两个节点vi和vj之间的距离dij通常指的是网络中两个节点之间的最短路径长度，它是衡量网络中信息传递速度和效率的基本指标。测定最短路径的算法主要有Dijkstra算法和Floyd算法。103.3网络的距离与介数网络的平均路径长度是一个描述网络中所有节点对之间路径长度平均值的度量，是衡量网络全局连通性的一个重要指标。对于一个给定的网络，网络的平均路径长度L定义为任意两个节点之间的平均距离，即：在小世界网络中，即使是在大规模网络中，任意两个节点之间的平均距离也相对较小；在规则网络（每个节点以相同的方式连接到其他节点）中，平均路径长度可能会更长；在随机网络中，平均路径长度通常介于规则网络和小世界网络之间。11网络的直径D是网络中所有节点对之间最短路径的最大值。在实际网络中，网络直径指的是任意两个存在有限距离的节点之间的最大距离，即：小世界网络中网络的直径可能较小，而在规则网络中，直径可能会比较大。1213介数用于衡量某个节点在网络中的重要性或中心性。介数定义为任意一对节点间的最短路径经过某节点或连边的次数，可以分为点介数和边介数。14点介数：边介数：网络的稀疏程度即网络的密度，定义为网络中实际存在的边数M与最大可能的边数之比。网络的稀疏程度可定义为（在有向图网络中，去掉下式分母中的）：平均度与网络密度之间的关系：153.4网络的稀疏性与连通性一个图中任意两点间至少有一条路径相连，则称该图为连通图。任何一个非连通图都可分为若干个连通子图，每个子图称为原图的一个分图。含有节点数最多的连通子图称为最大连通集团。一个连通图G的连通程度也称作连通度。16度度相关性：度与度之间的相关性173.5度度相关性与富人俱乐部度度相关性的计算方法可视化描述：ejk表示在网络中随机选择一条连边，它的两端点的度值分别为j和k的概率，通过可视化描述ejk的概率分布来定性判断网络的度度相关性。18同配性异配性度度相关性的计算方法度相关函数所有度值为k的节点的最近邻平均度值的平均值定义为：如果knn(k)是随着k值上升的增函数，即μ>0，称该网络为同配网络；若μ<0，称该网络为异配网络；若μ=0，则称该网络为中性网络。19度度相关性的计算方法相关系数皮尔逊（Pearson）相关系数20富人俱乐部现象实际网络中存在少量的节点却拥有大量的连边，这些节点被称为“富节点”；它们倾向于彼此之间相互连接，出现了“富人俱乐部”现象。富人俱乐部系数表示网络中前r个度值最大的节点之间实际存在的连边数L与这r个节点之间总的最大可能边数的比值，即：如果φ(r/N)=0，则不存在富人俱乐部现象；如果φ(r/N)=1，则前r个度最大的节点组成的富人俱乐部为一个完全连通子图。21模体——在网络中密度明显较高的子图（基本结构单元）223.6模体判断实际网络的子图j是否为模体（1）该子图在与实际网络对应的随机化网络中出现的次数大于它在实际网络中出现次数的概率很小，通常要求这个概率小于某个阈值P。（2）该子图在实际网络中出现的次数Nreali不小于某个下限U。（3）该子图在