2027金版教程一轮复习数学基础版第11章第6节　二项分布、超几何分布、正态分布

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第六节二项分布、超几何分布、正态分布课标解读考向预测1.理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．4.了解正态分布的均值、方差及其含义.预计2027年高考可能将二项分布或超几何分布与数字特征综合起来呈现，也可能将正态分布与成对数据的统计分析综合起来呈现.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验____________________的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_______________．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n.只包含两个可能结果n重伯努利试验如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作______________．(3)二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝____________．npX～B(n，p)np(1－p)正态密度曲线上方x＝μx＝μ1μ较小较大X～N(μ，σ2)μσ21．二项分布当n＝1时就是两点分布．2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．当X～B(n，p)时，P(X＝k)的最大值：若(n＋1)p是正整数，则k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1时，P(X＝k)取得最大值；若(n＋1)p不是正整数，则k＝[(n＋1)p][不大于(n＋1)p的最大整数]时，P(X＝k)取得最大值．4．若X～N(μ，σ2)，则P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．√×题组一走出误区——判一判(1)n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立．(

)(2)正态分布是对连续型随机变量而言的．(

)(3)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(

)(4)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(

)(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(

)√√√题组二回归教材——练一练(1)(人教B选择性必修第二册4.2.4练习AT4改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝(

)A．4 B．3C．2 D．1(2)(人教B选择性必修第二册4.2.5练习BT2改编)随机变量X～N(8，σ2)，若P(7≤X≤9)＝0.4，则P(X>9)＝(

)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3解析：∵随机变量X～N(8，σ2)，P(7≤X≤9)＝0.4，∴P(X>8)＝0.5，P(8<X≤9)＝0.2，∴P(X>9)＝0.3.(4)(人教B选择性必修第二册4.2.3练习BT4改编)已知随机变量X服从二项分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3，则D(aX－3)＝________．9考点探究提素养考点一二项分布及其应用如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置Xn.(1)求P(X6＝0)；(2)求E(Xn)；(3)指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．考点二超几何分布及其应用在一种新能源产品的客户调查活动中发现，某小区10位客户有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10人的联系工作，他先随机选择其中5人安排在上午联系，剩余5人安排在下午联系．(1)设上午联系的这5人中有Y个潜在用户，求Y的分布列与期望；(2)小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率．1．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．2．求超几何分布的分布列的步骤步骤一验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值步骤二根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率步骤三列出分布列(2)(2026·陕西西安模拟)某工厂生产的灯泡使用寿命X～N(20，σ2)(单位：千小时)，且P(X>23)＝0.1，则P(17<X<20)＝________．解析：因为X～N(20，σ2)，且P(X>23)＝0.1，故P(X<17)＝0.1，所以P(17<X<20)＝0.5－0.1＝0.4.0.4利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意活用下面两个结论：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－a)＝P(X>μ＋a)．3.每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X(单位：克)近似服从正态分布N(0，σ2)，P(X≥2)＝0.02，则X介于－2～2的食盐袋数大约为(

)A．4 B．48C．50 D．96解析：因为X～N(0，σ2)，且P(X≥2)＝0.02，则P(0<x<2)＝0.48，P(－2<X<2)＝0.96，则X介于－2～2的食盐袋数大约为100×0.96＝96.考向2正态分布的实际应用(2026·河北邯郸模拟)某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．(1)为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≥0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≥0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≥0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级；(2)将直径小于μ－2σ或大于μ＋2σ的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望E(Y)．直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100正态分布出现在解答题中，通常与二项分布、超几何分布相结合．解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴为直线x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值，由μ，σ和分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．5.某省举办了一次高三年级化学模拟考试，共100000名学生参考．根据经验，该省本次模拟考试成绩X(满分100分)近似服从正态分布N(μ，σ2)．(1)已知本次模拟考试的平均成绩为65分，87分以上共有2275人．学生A的成绩为76分，试估计学生A的大致名次；(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的人数，求P(Y≥1)及Y的数学期望．参考数据：0.997340≈0.8975.参考公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)在本次考试中，抽取1名化学成绩在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.9973，∴抽取1名化学成绩在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0027，∴随机变量Y～B(40，0.0027)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)≈1－0.997340≈0.1025，Y的数学期望为E(Y)＝np≈40×0.0027＝0.108.课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★考点二项分布的概率正态曲线的应用正态分布的概率超几何分布的均值超几何分布的概率、均值正态分布的实际应用正态分布的概率；二项分布的概率二项分布的概率二项分布的概率、均值、方差正态分布的概率题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点超几何分布的概率、均值二项分布的均值正态分布的实际应用；二项分布的方差超几何分布的概率、均值超几何分布的分布列、均值二项分布的均值；正态分布的实际应用二项分布的概率、均值超几何分布的概率、均值正态分布的实际应用二项分布的分布列、均值、概率的最值解析：正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续“钟形”曲线．σ越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭．由题图易知μ1<μ2，σ1<σ2.故选A.3．若随机变量X～N(10，22)，则下列结论错误的是(

)A．P(X≥10)＝0.5 B．P(X≤8)＋P(X<12)＝1C．P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10) D．D(2X＋1)＝8解析：根据随机变量X～N(10，22)，可知正态密度曲线的对称轴为直线X＝10，X的方差为4，所以P(X≥10)＝0.5，故A正确；P(X≤8)＋P(X<12)＝P(X≥12)＋P(X<12)＝1，故B正确；P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10)，故C正确；D(2X＋1)＝4D(X)＝16，故D错误．故选D.6．某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N(50，9)，且X落在[47，56]内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为(附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973)(

)A．2275 B．2375C．2415 D．455510．设随机变量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，则下列等式成立的是(

)A．f(－x)＝1－f(x) B．f(2x)＝2f(x)C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数 D．P(|X|≤x)＝2f(x)－1解析：因为随机变量X服从正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．对于A，因为f(x)＝P(X≤x)，所以f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，故A正确；对于B，当x＝1时，f(1)＝P(X≤1)>0.5，2f(1)>1，而f(2)<1，故B错误；对于C，结合正态曲线，易得f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故C正确；对于D，P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，故D正确．故选ACD.三、填空题12．(2025·天津卷，13)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________．0.63.213．某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X～N(98，σ2)，X≥100的零件不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取400个，用Y表示400个零件中其规格指标X位于区间(96，100)的个数，则随机变量Y的方差是________．36解析：由正态分布的性质，得质量指标在区间(96，100)的概率为1－2×0.05＝0.9，即1件产品的质量指标位于区间(96，100)的概率为0.9，所以Y～B(400，0.9)，故D(Y)＝400×0.9×0.1＝36.14．(2026·河北石家庄模拟)为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两白球，可获得价值b百元代金券；摸到两红球，可获得价值ab百元代金券(a，b均为非负整数)．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多________百元代金券．18四、解答题15．某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．(1)若某箱电子元件中恰有1个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有2个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检验时次品的个数为X，求X的分布列及期望．16．某保险公司有一款保险产品，该产品今年的保费为200元/人，赔付金额为5万元/人．假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10000名客户中获得赔偿的人数为X.(1)求E(X)，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，当n较大且p较小时，我们为了简化计算，常用E(X