2027金版教程一轮复习数学基础版第3章第2节 函数的单调性与最值

第三章函数与基本初等函数第二节函数的单调性与最值课标解读考向预测借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解它们的作用和实际意义.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题．预计2027年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档偏上.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)>f(x2)(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上___________或___________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．单调递增图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调递减前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)

∀x∈D，都有________；

(2)∃x0∈D，使得_____________________∀x∈D，都有_________；

(2)∃x0∈D，使得_____________________结论M为最大值M为最小值2．函数的最值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M题组一走出误区——判一判(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(

)(2)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(

)(3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1，3)上单调递增．(

)×××2(5)(北师大版必修第一册复习题四C组T2改编)函数f(x)＝lg(9－x2)的定义域为_________，其单调递增区间为__________．解析：对于函数f(x)＝lg(9－x2)，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，故函数f(x)的定义域为(－3，3)．令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]，所以函数f(x)＝lg(9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]．(－3，3)(－3，0]考点探究提素养考点一函数的单调性、单调区间(多考向探究)考向1判断或证明函数的单调性利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般写成几个因式乘积的形式．[0，1)(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方法：①定义法；②导数法；③图象法；④性质法．(2)求复合函数y＝f(g(x))的单调区间，一要注意先确定函数的定义域，二要利用外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，判断的依据是“同增异减”．单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示，当函数有多个不连续的单调递增(减)区间时，不能用符号“∪”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3.设函数f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0<a<1)，则函数y＝g(f(x))的单调递减区间为(

)A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(1，＋∞) D．(1，4)解析：g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，由－x2＋2x＋8>0，得－2<x<4，即函数y＝g(f(x))的定义域为(－2，4)，显然函数f(x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，而g(x)＝logax(0<a<1)在(0，＋∞)上单调递减，因此函数y＝g(f(x))在(－2，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增，所以函数y＝g(f(x))的单调递减区间为(－2，1)．故选B.4．已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则函数f(x)的单调递增区间为________．[－1，1]考点二函数单调性的应用(多考向探究)考向1利用函数的单调性比较大小比较函数值的大小时，结合函数的单调性的等价结论，得出函数的单调性．若自变量的值不在同一单调区间内，应利用函数性质，将不在同一个单调区间内的自变量，转化到同一个单调区间内进行比较．根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．利用函数单调性求参数范围(或值)的策略7.若函数f(x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(

)A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析：因为函数f(x)＝4|x－a|＋3在区间(－∞，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，又函数f(x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a>1.故选B.解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则a＋1≤2或a≥4，即a≤1或a≥4.(－∞，1]∪[4，＋∞)考点三与函数的最值、值域有关的问题(多考向探究)考向1求函数的最值、值域0(答案不唯一)1当分段函数中的分段点含有参数时，分段函数的间断点是随着参数的变化而变化的，其动态模型不易建立，解决此类问题的最好方法是先不考虑分段点，将各段函数的完整图象绘制在同一个坐标系中，再取一些特殊的参数值作为分段点来辅助分析，建立数形结合分析问题的模型．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点利用函数的单调性求参数求函数的单调区间分离常数法求函数的值域判断函数的单调性利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性比较大小求函数的单调区间动态分段点问题求函数的单调区间、最值利用函数的单调性求参数题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点与函数最值相关的函数新定义问题函数的值域、单调性利用函数的单调性求参数利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性求参数利用函数的单调性比较大小函数的单调性及其应用；函数的新定义问题由函数的最值求参数判断函数的单调性、解不等式一、单项选择题1．已知a∈R，则“0<a<1”是“函数f(x)＝(1－a)x3在R上单调递增”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：对于函数f(x)＝(1－a)x3，当a＝1时，f(x)＝0，为常数函数，当a>1时，1－a<0，函数f(x)＝(1－a)x3在R上单调递减，当a<1时，1－a>0，函数f(x)＝(1－a)x3在R上单调递增，所以“0<a<1”是“函数f(x)＝(1－a)x3在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.解析：由题意知，f(x)在R上单调递增，所以f(a)<f(6－a2)，即a<6－a2，则－3<a<2.故选D.6．定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1，x2(x1≠x2)恒有x1f(x1)－x1f(x2)－x2f(x1)＋x2f(x2)>0，若a＝f(0)，b＝f(1)，c＝f(2)，则(

)A．c<b<a B．a<b<cC．c<a<b D．a<c<b7．函数f(x)＝32x－4－2×3x－2的单调递增区间为(

)A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．[0，＋∞) D．[－2，＋∞)解析：函数f(x)＝32x－4－2×3x－2＝(3x－2)2－2×3x－2，令3x－2＝t(t>0)，则原函数化为y＝t2－2t，显然函数y＝t2－2t在[1，＋∞)上单调递增，而3x－2＝t，故f(x)＝32x－4－2×3x－2在[2，＋∞)上单调递增．故选A.解析：要使函数有意义，则－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，可知B错误；当x＝－1或x＝3时，－x2＋2x＋3＝0，此时函数f(x)有最小值0，可知D错误；令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知A正确；根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max＝f(1)＝2，故C正确．故选AC.(－∞，－2]13．若函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为___________．16．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，若a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论错误的是(

)A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．a＋c<1±2解析：①如图1，若a≤1，则当x>1时，f(x)＝x－2a＋1，且单调递增，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，则最小值为f(a)＝－a2＋3，若f(x)存在最小值－1，则有－a2＋3≤1－2a＋1且－a2＋3＝－1，解得a＝－2.②如图2，若a>1，则当1<x<a时，f(x)＝－x＋1，当x≥a时，f(x)＝x－2a＋1，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，且单调递减，f(1)＝4－2a，f(a)＝1－a，若最小值为f(1)，则4－2a＝－1，且4－2a≤1－a，无解；若最小值为f