高中数学必修三练习题

高中数学必修三练习题题3：循环结构的运算结果执行下面的程序框图（为文字描述，假设为当型循环结构）：初始值：i=1，S=0条件：当i<=5时，执行循环体循环体：S=S+i；i=i+1循环结束后，输出S。请问输出的S值是多少？解析与提示：这是一个当型循环结构，需要明确循环的初始条件、循环体的执行过程以及循环终止的条件。初始：i=1，S=0。第一次循环：i=1<=5，S=0+1=1，i=2。第二次循环：i=2<=5，S=1+2=3，i=3。第三次循环：i=3<=5，S=3+3=6，i=4。第四次循环：i=4<=5，S=6+4=10，i=5。第五次循环：i=5<=5，S=10+5=15，i=6。此时i=6>5，循环终止。输出S=15。这实际上是计算1+2+3+4+5的和。第二部分：统计统计学是研究如何收集、整理、分析数据并从中得出结论的科学。本部分练习将涉及抽样方法、数据的数字特征、用样本估计总体等核心内容。一、核心知识点回顾1.随机抽样：简单随机抽样（抽签法、随机数法）、系统抽样、分层抽样。各自的特点、适用范围及操作步骤。2.用样本的频率分布估计总体分布：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图。3.用样本的数字特征估计总体的数字特征：*集中趋势：平均数、中位数、众数。*离散程度：极差、方差、标准差。4.变量间的相关关系：散点图、正相关与负相关、线性相关。二、练习题题1：抽样方法的选择某校高一年级有学生500名，高二年级有学生400名，高三年级有学生300名。为了了解该校学生的视力情况，拟从中抽取一个容量为120的样本进行调查。请问应采用何种抽样方法较为合适？并简述理由及操作步骤（以其中一种主要抽样方法为例）。解析与提示：由于不同年级的学生在视力情况上可能存在差异（分层现象），为保证样本的代表性，应采用分层抽样的方法。理由：分层抽样能充分利用已知信息，使样本具有较好的代表性，同时在各层中进行抽样时，可以根据具体情况选择不同的抽样方法，提高抽样效率。操作步骤（简要）：1.计算各年级学生人数占总人数的比例：高一500/1200=5/12，高二400/1200=4/12=1/3，高三300/1200=3/12=1/4。2.按比例分配各年级的样本容量：高一120*(5/12)=50，高二120*(1/3)=40，高三120*(1/4)=30。3.在高一年级用简单随机抽样或系统抽样抽取50人，高二年级抽取40人，高三年级抽取30人，合在一起构成样本。题2：数据的数字特征计算某学习小组的8名同学在一次数学测验中的成绩（单位：分）如下：85，78，90，82，88，95，79，86。（1）求这组数据的平均数、中位数；（2）求这组数据的方差和标准差（结果保留一位小数）。解析与提示：（1）平均数：将所有数据相加，再除以数据个数。总和=85+78+90+82+88+95+79+86。我们可以逐步计算：85+78=163；163+90=253；253+82=335；335+88=423；423+95=518；518+79=597；597+86=683。平均数=683/8=85.375分。中位数：将数据按从小到大的顺序排列：78，79，82，85，86，88，90，95。共有8个数据，为偶数个，中位数是中间两个数的平均数，即第4个数和第5个数的平均：(85+86)/2=85.5分。（2）方差：方差是各数据与平均数之差的平方的平均数。先计算每个数据与平均数（85.375）的差：85-85.375=-0.375；78-85.375=-7.375；90-85.375=4.625；82-85.375=-3.375；88-85.375=2.625；95-85.375=9.625；79-85.375=-6.375；86-85.375=0.625。再求这些差的平方：(-0.375)^2≈0.1406；(-7.375)^2≈54.3906；(4.625)^2≈21.3906；(-3.375)^2≈11.3906；(2.625)^2≈6.8906；(9.625)^2≈92.6406；(-6.375)^2≈40.6406；(0.625)^2≈0.3906。求这些平方值的平均数（即方差S²）：总和≈0.1406+54.3906=54.5312+21.3906=75.9218+11.3906=87.3124+6.8906=94.203+92.6406=186.8436+40.6406=227.4842+0.3906≈227.8748。S²≈227.8748/8≈28.484。标准差S：方差的算术平方根，S≈√28.484≈5.3（保留一位小数）。题3：频率分布直方图的应用为了解某小区居民的日用电量情况，随机抽查了该小区100户居民的日用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下（此处假设有直方图，各组数据如下：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，对应的频率分别为0.05，0.25，0.40，0.20，0.10）。（1）求直方图中[20,30)组的矩形的高度；（2）估计该小区居民日用电量的众数所在区间；（3）估计该小区居民日平均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）。解析与提示：（1）频率分布直方图中，矩形的高度=频率/组距。[20,30)组的频率为0.40，组距为10。所以高度=0.40/(30-20)=0.40/10=0.04。（2）众数是出现次数最多的数，在频率分布直方图中，众数所在区间就是频率最高的区间。由给出的频率可知，[20,30)组的频率0.40最高，因此众数所在区间为[20,30)。（3）平均用电量的估计值为各区间中点值与对应频率乘积的和。各区间中点值分别为：5（[0,10)），15（[10,20)），25（[20,30)），35（[30,40)），45（[40,50]）。平均用电量≈5*0.05+15*0.25+25*0.40+35*0.20+45*0.10=0.25+3.75+10.0+7.0+4.5=25.5（度）。第三部分：概率概率是研究随机现象规律的科学，它为我们处理不确定性问题提供了重要的思维工具和方法。本部分练习将涉及随机事件的概率、古典概型、几何概型等基础内容。一、核心知识点回顾1.随机事件的概率：必然事件、不可能事件、随机事件。概率的定义及性质（0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(∅)=0）。2.古典概型：特点（有限性、等可能性）。概率计算公式：P(A)=事件A包含的基本事件数/试验的基本事件总数。3.几何概型：特点（无限性、等可能性）。概率计算公式：P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。4.互斥事件与对立事件：互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率关系。二、练习题题1：随机事件的关系与概率计算从一批产品中，随机抽取一件，记事件A为“抽到一等品”，事件B为“抽到二等品”，事件C为“抽到三等品”。已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1。（1）事件“抽到的不是一等品”的概率是多少？（2）事件“抽到的是二等品或三等品”的概率是多少？（3）事件A与事件B是对立事件吗？为什么？解析与提示：（1）“抽到的不是一等品”是事件A的对立事件，记为¬A（或A̅）。P(¬A)=1-P(A)=1-0.65=0.35。（2）“抽到的是二等品或三等品”即事件B或事件C发生，由于B与C互斥（一件产品不可能既是二等品又是三等品）。根据互斥事件的概率加法公式：P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3。也可理解为“不是一等品”且“不是废品”（若存在废品），但本题中未提及废品，且0.65+0.2+0.1=0.95<1，说明可能存在其他情况，但问题（2）明确是二等品或三等品，故直接相加。（3）事件A与事件B不是对立事件。因为对立事件要求两个事件不能同时发生（互斥）且必有一个发生（P(A)+P(B)=1）。虽然A与B互斥（一等品和二等品不能同时发生），但P(A)+P(B)=0.65+0.2=0.85≠1，所以它们不是对立事件。题2：古典概型的计算一个口袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同。（1）从中随机摸出一个球，求摸到红球的概率；（2）从中随机摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率。解析与提示：（1）口袋中共有3+2=5个球，每个球被摸到的可能性相等，属于古典概型。基本事件总数n=5。事件A“摸到红球”包含的基本事件数m=3。P(A)=m/n=3/5。（2）方法一（列举法）：给红球编号为红1、红2、红3，白球编号为白1、白2。从中摸出两个球，所有可能的基本事件为：(红1,红2)，(红1,红3)，(红1,白1)，(红1,白2)，(红2,红3)，(红2,白1)，(红2,白2)，(红3,白1)，(红3,白2)，(白1,白2)。共10个基本事件。事件B“摸出的两个球都是红球”包含的基本事