2027金版教程一轮复习数学基础版第7章第1节　数列的概念与简单表示法

第七章数列第一节数列的概念与简单表示法课标解读考向预测通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.预计2027年高考会以特殊数列为主，考查数列的通项公式与前n项和公式以及递推公式，在选择题、填空题或解答题中都可能会出现，难度中档.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．数列的定义按照_____________排列的一列数称为数列，数列中的____________叫做这个数列的项．2．数列的表示方法确定的顺序列表法列出表格表示n与an的对应关系图象法把点____________画在平面直角坐标系中解析式法

通项公式数列{an}的第n项an与它的_________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式每一个数(n，an)序号n分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数________项与项间的大小关系递增数列an＋1______an其中n∈N*递减数列an＋1______an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的分类有限无限＞＜a1＋a2＋…＋an题组一走出误区——判一判(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(

)(2)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)(3)在数列{an}中，对于任意正整数n，an＋1＝an＋1，若a1＝1，则a2＝2.(

)(4)任何一个数列都有唯一的通项公式．(

)√×√×

(2)(人教A选择性必修第二册4.1练习2T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么数列{an}的通项公式为an＝________．2n解析：因为a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，当n＝1时，2n＝2＝a1，所以an＝2n.(4)(人教A选择性必修第二册习题4.1T5改编)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是________．92解析：因为5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，所以相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，则第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19＝70，第8个五边形数是70＋22＝92.考点探究提素养考点一利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)考向1已知Sn求an已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝___________________．已知Sn求an的步骤步骤一利用a1＝S1，求出a1步骤二用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式步骤三检验当n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并考向2已知an与Sn的关系求an已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，则a100＝(

)A．297 B．298

C．299 D．2100an与Sn关系问题的解题策略根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．策略一利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解策略二利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解考点二利用递推关系求通项公式(多考向探究)考向1累加法形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．考向2累乘法4.数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则a6＝________．360考点三数列的性质及其应用(多考向探究)考向1数列的周期性已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是(

)A．a100＝－1，S100＝5 B．a100＝－3，S100＝5C．a100＝－3，S100＝2 D．a100＝－1，S100＝2解析：由an＋1＝an－an－1(n≥2)，得an＋6＝an＋5－an＋4＝an＋4－an＋3－an＋4＝－an＋3＝－(an＋2－an＋1)＝－(an＋1－an－an＋1)＝an，所以6为数列{an}的周期，又a3＝a2－a1＝3－1＝2，a4＝a3－a2＝2－3＝－1，a5＝a4－a3＝－1－2＝－3，a6＝a5－a4＝－3－(－1)＝－2，所以a100＝a96＋4＝a4＝－1，S100＝16(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＋a4＝16×0＋1＋3＋2－1＝5.故选A.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，或者根据给出的关系式进行变形，推导出an＝an＋T，从而得到数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和．5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，an＋an＋4＝0，则(

)A．S23>S21>S22 B．S21>S22>S23C．S21>S23>S22 D．S23>S22>S21解析：因为an＋an＋4＝0，所以an＋4＝－an，所以an＋8＝－an＋4＝an，所以{an}是以8为周期的周期数列，又a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，所以a6＝－a2＝－1，a7＝－a3＝－2，所以S22－S21＝a22＝a6＝－1<0，S23－S22＝a23＝a7＝－2<0，所以S22<S21，S23<S22，故S21>S22>S23.考向2数列的单调性已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解决数列的单调性问题的常用方法考向3数列的最值求数列的最大项与最小项的常用方法3－1课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考点求数列中的项利用an与Sn的关系求数列中的项数列的周期性利用累加法求通项公式求数列中的项利用an与Sn的关系求数列中的项利用累乘法求通项公式数列的单调性数列的单调性数列的周期性题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点数列的单调性求通项公式利用累加法求通项公式；数列的单调性数列的周期性利用an与Sn的关系求通项公式数列的单调性数列的单调性求数列中的项数列的单调性一、单项选择题1．若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的(

)A．第12项 B．第13项C．第14项 D．第15项解析：1＝37×0，37＝37×1，314＝37×2，321＝37×3，因此符合题意的一个通项公式为an＝37(n－1)，由37(n－1)＝398，解得n＝15，所以398是这个数列的第15项．故选D.2．(2026·河南开封质检)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则a5＝(

)A．81 B．162C．243 D．486解析：数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，所以a5＝S5－S4＝35－34＝162.故选B.4．(2026·陕西咸阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则a7＝(

)A．43 B．46C．37 D．367．(2026·河南南阳模拟)在数列{an}中，若a2＝2，an＝(n＋2)(an＋1－an)，则a2026＝(

)A．1013 B．1014C．2025 D．2026二、多项选择题9．下列数列是递增数列的是(

)A．{1＋3n} B．{3n－2n＋2}C．{2n－n} D．{(－3)n}解析：令an＝1＋3n，则an＋1－an＝1＋3(n＋1)－(1＋3n)＝3>0，{an}是递增数列，A符合题意；令an＝3n－2n＋2，则a1＝－5，a2＝－7，B不符合题意；令an＝2n－n，则an＋1－an＝2n＋1－2n－1＝2n－1>0，{an}是递增数列，C符合题意；令an＝(－3)n，则a1＝－3，a3＝－27，D不符合题意．故选AC.10．(2026·河南洛阳模拟)数列{an}满足a1＝1，且对任意p，q∈N*(p>q)均有apaq＝ap＋q＋ap－q.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2025的值可能是(

)A．－3 B．－2C．1 D．214．(2026·海南海口模拟)卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢卡斯数列{Ln}为1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即L1＝1，L2＝3，且Ln＋2＝Ln＋1＋Ln(n∈N*)．设数列{Ln}各项依次除以4所得余数形成的数列为{an}