天津高考数列试题及答案呈现

天津高考数列试题精选及答案呈现考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}满足a₁=1,aₙ₊₁=2an+1(n∈N*),则a₅的值为()A.31B.63C.127D.2552.在等差数列{bn}中，若b₃=5,b₇=9，则b₁+b₉的值为()A.10B.12C.14D.163.已知数列{cn}的前n项和为Sn，且满足Sn=n²+n+1，则c₃的值为()A.7B.9C.11D.134.设等比数列{dn}的首项d₁=3，公比q=2，则d₅与d₁的比值等于()A.2⁴B.2⁵C.2⁶D.2⁷5.若数列{an}的前n项和Sn=n²-2n，则a₅的值为()A.7B.9C.11D.136.已知数列{an}满足aₙ=n(n+1)，则a₃+a₄+a₅的值为()A.45B.55C.60D.657.在等比数列{bn}中，若b₂=6,b₄=54，则该数列的公比q为()A.±3B.3C.-3D.±28.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足aₙ=Sn-Sn₋₁+1(n≥2)，若a₁=2，则a₄的值为()A.7B.8C.9D.109.若数列{an}的前n项和为Sn=2n²-3n，则aₙ-aₙ₋₁(n≥2)的值为()A.4n-5B.4n-3C.4n-1D.2n-110.已知等差数列{cn}的前n项和为Sn，若S₁,S₂,S₄成等比数列，则该数列的公差d的值为()A.0B.1C.2D.不能确定二、多选题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。每小题全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。11.下列关于数列的说法中，正确的是()A.若数列{an}是等差数列，则an=Sn-Sn₋₁(n≥2)B.若数列{an}是等比数列，且公比q≠1，则an=Sn-Sn₋₁(n≥2)C.若数列{an}的前n项和Sn=n²，则{an}是等差数列D.若数列{an}的前n项和Sn=2^n-1，则{an}是等比数列12.已知数列{bn}的前n项和为Sn，且满足aₙ=n(Sn-Sn₋₁)(n≥2)，若a₁=1，则下列结论中正确的有()A.数列{bn}是等差数列B.数列{bn}是等比数列C.b₃=8D.b₄=1613.在等差数列{an}中，若aₙ=n²-2n+3，则该数列()A.是递增数列B.是递减数列C.有最大项D.是常数列14.已知数列{cn}满足c₁=1,c₂=2,cₙ₊₂=cₙ₊₁+cₙ(n∈N*),则下列关于该数列的说法中正确的有()A.c₅=7B.c₆=11C.cₙ是斐波那契数列中的项D.数列{cₙ}是等比数列15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若S₅=T₅=2⁵-1，且a₁=b₁=1，则下列结论中正确的有()A.数列{an}的公差d=1B.数列{bn}的公比q=2C.S₁₀=T₁₀D.S₁₀>T₁₀三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a₃=7,S₅=25。(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bₙ=an+1/n，求b₄的值。17.（本小题满分12分）已知数列{cn}的前n项和为Sn，且满足Sn=2cn-3n²+10n(n∈N*)。(1)求数列{cn}的通项公式；(2)判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由。18.（本小题满分14分）设等比数列{an}的首项a₁=1，公比q>0，其前n项和为Sn。已知S₃=7，S₆-S₃=63。(1)求公比q的值；(2)设bₙ=n*log₂(aₙ)，求数列{bₙ}的前n项和Tn。19.（本小题满分14分）已知数列{an}满足a₁=1,aₙ₊₁=(n+1)(an+1)(n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}是首项为1，公比为q的等比数列，若对于任意n∈N*，都有an≤bn，求实数q的取值范围。20.（本小题满分14分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn。若a₁=b₁=1，S₅=T₅=31。(1)求等差数列{an}的公差d和等比数列{bn}的公比q；(2)记Cₙ=Sn-Tn，求Cₙ的最大值。试卷答案一、选择题1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.A8.B9.A10.A二、多选题11.B,C12.A,C13.A,C14.A,B,C15.A,B,C三、解答题16.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d。由a₃=7，得a₁+2d=7。(1)由S₅=25，得5a₁+10d=25，即a₁+2d=5。(2)联立(1)(2)解得a₁=1,d=3。因此，an=a₁+(n-1)d=1+(n-1)*3=3n-2。(2)b₄=a₄+1/4=(3*4-2)+1/4=10+1/4=40/4+1/4=41/4。答案：(1)an=3n-2；(2)b₄=41/4。17.解析：(1)由Sn=2cn-3n²+10n，得当n≥2时，cn=Sn-Sn₋₁=[2cn-3n²+10n]-[2cn₋₁-3(n-1)²+10(n-1)]=2cn-2cn₋₁-3n²+3(n²-2n+1)+10n-10(n-1)=2cn-2cn₋₁-3n²+3n²-6n+3+10n-10n+10=2cn-2cn₋₁-6n+13。整理得2cn-6n+13=2cn₋₁，即2cn-2cn₋₁=6n-13。因此，cn-cn₋₁=3n-6.5。这不是一个常数，所以{cn}不是等差数列。又cn=Sn-Sn₋₁+1=(2cn-3n²+10n)-(2cn₋₁-3(n-1)²+10(n-1))+1=2cn-2cn₋₁-3n²+3n²-6n+3+10n-10n+10+1=2cn-2cn₋₁-6n+14。由2cn-2cn₋₁=6n-13，得6n-13-6n+14=2cn-2cn₋₁，即1=2cn-2cn₋₁。因此，cn-cn₋₁=1/2。这说明{cn}是一个公差为1/2的等差数列。由于c₁=S₁=2c₁-3*1²+10*1，解得c₁=13/2。因此，cn=c₁+(n-1)d=13/2+(n-1)*(1/2)=13/2+n/2-1/2=(13+n-1)/2=(n+12)/2。(2)由(1)知，cn-cn₋₁=3n-6.5。若{cn}是等比数列，则(cn/cn₋₁)应为常数。设cn=arⁿ⁻¹，则cn₋₁=arⁿ⁻²。cn/cn₋₁=arⁿ⁻¹/arⁿ⁻²=r。但cn/cn₋₁=(3n-6.5)*(rⁿ⁻¹/rⁿ⁻²)=(3n-6.5)r。这不可能为常数，因为3n-6.5随n变化。因此，{cn}不是等比数列。答案：(1)cn=(n+12)/2；(2){cn}不是等比数列。18.解析：(1)设等比数列{an}的公比为q。由S₃=7，得a₁(1+q+q²)=7。(1)由S₆-S₃=63，得a₁(q⁵+q⁴+q³)-a₁(q²+q+1)=63，即a₁(q³(q²+q+1)-(q²+q+1))=63，即a₁(q²+q+1)(q³-1)=63。(2)由(1)得a₁(1+q+q²)=7。将其代入(2)，得7(q³-1)=63，即q³-1=9，解得q³=10，即q=∛10。由于题目未说明q>1还是q<-1，理论上q=∛10或q=-∛10。但若q=-∛10，则a₄=a₁q³=a₁(-∛10)³=-10a₁<0，而a₁=1，a₂=q,a₃=q²，a₄=q³，a₅=q⁴，若q=-∛10，则a₅=(-∛10)⁴=100∛10>0，数列正负交替，但S₃=7>0，S₆-S₃=63>0，无法满足。因此q不能为负。故q=∛10。(2)bₙ=n*log₂(aₙ)=n*log₂(a₁*qⁿ⁻¹)=n*[log₂(a₁)+log₂(qⁿ⁻¹)]=n*log₂(a₁)+n*(n-1)*log₂(q)。由a₁=1，得log₂(a₁)=log₂(1)=0。所以bₙ=n*(n-1)*log₂(q)=n(n-1)*log₂(∛10)。记log₂(∛10)=k，则bₙ=kn(n-1)。Tn=1*0*k+2*1*k+3*2*k+...+n*(n-1)*k=k(2+6+12+...+n(n-1))=kn(1*2+2*3+...+(n-1)*n)=kn*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=kn*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=kn*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=kn*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]。求和公式为Tn=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]。求和公式为Tn=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]。求和公式为Tn=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]=k*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]。答案：(1)q=∛10；(2)Tn=log₂(∛10)*[1*2+2*3+...+(n-1)*n]。19.解析：(1)由aₙ₊₁=(n+1)(an+1)，得aₙ₊₁+1=(n+1)(an+1)。两边同时除以(n+1)an，得(an₊₁+1)/(an+1)=n+1/an。当an+1≠0时，两边同时取倒数，得(an+1)/(an₊₁+1)=1/(n+1)an。注意到a₁=1，所以a₁+1=2≠0。因此，上述变换对所有n都成立。构造新数列bₙ=an+1，则bₙ₊₁=(n+1)bₙ。这是一个等比数列，公比为n+1。bₙ=b₁*(n+1)^(n-1)=2*(n+1)^(n-1)。因此，an=bₙ-1=2*(n+1)^(n-1)-1。(2)设数列{bn}是首项为1，公比为q的等比数列，则bn=qⁿ⁻¹。对于任意n∈N*，都有an≤bn，即2*(n+1)^(n-1)-1≤qⁿ⁻¹。当n=1时，a₁=1，b₁=1，不等式成立。当n≥2时，不等式变为2*(n+1)^(n-1)-1≤qⁿ⁻¹。考虑函数f(n)=qⁿ⁻¹-2*(n+1)^(n-1)+1。我们需要f(n)≥0对所有n≥2成立。考虑极限，当n趋向无穷大时，(n+1)^(n-1)/qⁿ⁻¹=[(n+1)/q]^(n-1)*(1/q)。若q≥2，则(n+1)/q≥1，[(n+1)/q]^(n-1)≥1，(1/q)<1，但整体趋于0。若0<q<1，则(n+1)/q>1，[(n+1)/q]^(n-1)趋于无穷大，(1/q)>1，整体趋于无穷大。为了使f(n)≥0对所有n≥2成立，需要q的值使得当n足够大时，qⁿ⁻¹能够超过2*(n+1)^(n-1)-1。观察n=2时，a₂=2*(2+1)^(2-1)-1=2*3-1=5。b₂=q。需要5≤q。当q>1时，qⁿ⁻¹增长速度快于2*(n+1)^(n-1)，不等式对n≥2恒成立。当0<q≤1时，不等式对n=2成立，但对n≥3可能不成立。例如，取q=1，n=3，a₃=2*(3+1)^(3-1)-1=2*4^2-1=32-1=31。b₃=q^2=1。此时a₃>b₃。因此，q不能取1或小于1的值。必须q>5。综上，实数q的取值范围是(5,+∞)。答案：(1)an=2*(n+1)^(n-1)-1；(2)q∈(5,+∞)。20.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d。由a₁=1,S₅=31，得S₅=5a₁+10d=5*1+10d=5+10d=31。解得10d=26，即d=2.6。设等比数列{bn}的公比为q。由b₁=1,T₅=31，得T₅=b₁(1+q+q²+q³+q⁴)=1+q+q²+q³+q⁴=31。这是一个关于q的五次方程。观察可知q=1不满足(1+1+1+1+1=5≠31)。尝试q=2，1+2+4+8+16=31。因此q=2。等差数列