2026年贵州省高中数学第10章数列综合测试

2026年贵州省高中数学第10章数列综合测试一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又b_n=2^n-1，故S_n=n^2-(2^n-1)。选项A为2^n-1，不符合前n项和公式；选项B为n•2^n，不符合奇数列求和规律；选项C为n•2^n-1，与推导结果不符；选项D为2^n+n，不符合前n项和公式。正确答案为C。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由前n项和公式T_n=3n^2-2n，可得c_n=T_n-T_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2），当n=1时，c_1=T_1=1，符合通项公式。故c_5=6×5-5=25。选项A为24，与计算结果不符；选项B为30，与计算结果不符；选项C为36，与计算结果不符；选项D为42，与计算结果不符。正确答案为D。4.在等比数列{d_n}中，已知d_2•d_4=81，d_3=27，则该数列的公比q等于（）A.3B.1/3C.3或1/3D.-3解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2，代入d_2•d_4=81，d_3=27可得27^2=81，即q^4=1，解得q=±1或q=±i（虚数解不符合高中数列范围），故q=1或q=-1。选项A为3，不符合计算结果；选项B为1/3，不符合计算结果；选项C为3或1/3，包含错误解；选项D为-3，不符合计算结果。正确答案为C。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则该数列的第3项e_3等于（）A.6B.8C.9D.12解析：由前n项和公式S_n=n(n+1)/2，可得e_n=S_n-S_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n+1/2（n≥2），当n=1时，e_1=S_1=1，符合通项公式。故e_3=3+1/2=3.5。选项A为6，与计算结果不符；选项B为8，与计算结果不符；选项C为9，与计算结果不符；选项D为12，与计算结果不符。正确答案为D。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+3)（n∈N），则该数列的极限λ等于（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设数列极限为λ，由递推关系f_n+1=√(f_n+3)，令n→∞可得λ=√(λ+3)，平方后解得λ^2-λ-3=0，解得λ=3或λ=-1（舍去），故数列极限为3。选项A为1，与计算结果不符；选项B为2，与计算结果不符；选项C为3，与计算结果相符；选项D为不存在，与计算结果不符。正确答案为C。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_7=18，a_5+a_6=12，则该数列的公差d等于（）A.2B.-2C.3D.-3解析：由等差数列性质a_4+a_7=2a_6=18，a_5+a_6=2a_5.5=12，可得a_6=9，a_5.5=6，故公差d=a_6-a_5.5=9-6=3。选项A为2，与计算结果不符；选项B为-2，与计算结果不符；选项C为3，与计算结果相符；选项D为-3，与计算结果不符。正确答案为C。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=2^n-n，则该数列的第4项h_4等于（）A.8B.10C.12D.14解析：由前n项和公式T_n=2^n-n，可得h_n=T_n-T_{n-1}=[2^n-n]-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1（n≥2），当n=1时，h_1=T_1=1，符合通项公式。故h_4=2^3-1=7。选项A为8，与计算结果不符；选项B为10，与计算结果不符；选项C为12，与计算结果不符；选项D为14，与计算结果不符。正确答案为D。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列的前n项和U_n等于（）A.2^n-nB.n•2^nC.n•2^n-1D.2^n+n解析：由递推关系i_n+1=2i_n+1，变形为i_n+1+1=2(i_n+1)，可得数列{i_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即i_n+1=2^n，故i_n=2^n-1。前n项和U_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又i_n=2^n-1，故U_n=n^2-(2^n-1)。选项A为2^n-n，不符合前n项和公式；选项B为n•2^n，不符合奇数列求和规律；选项C为n•2^n-1，与推导结果不符；选项D为2^n+n，不符合前n项和公式。正确答案为C。10.在等比数列{j_n}中，若j_3•j_5=64，j_4=16，则该数列的公比q等于（）A.2B.1/2C.2或1/2D.-2解析：由等比数列性质j_3•j_5=j_4^2，代入j_3•j_5=64，j_4=16可得16^2=64，即q^6=1，解得q=±1或q=±i（虚数解不符合高中数列范围），故q=1或q=-1。选项A为2，不符合计算结果；选项B为1/2，不符合计算结果；选项C为2或1/2，包含错误解；选项D为-2，不符合计算结果。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=5n^2+3n，则该数列的通项公式a_n等于________。解：由前n项和公式S_n=5n^2+3n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=[5n^2+3n]-[5(n-1)^2+3(n-1)]=10n+1（n≥2），当n=1时，a_1=S_1=8，符合通项公式。故a_n=10n+1。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n-2（n∈N），则该数列的通项公式b_n等于________。解：由递推关系b_n+1=3b_n-2，变形为b_n+1+1=3(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，即b_n+1=3^n，故b_n=3^n-1。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=2n^2-3n+1，则该数列的第5项c_5等于________。解：由前n项和公式T_n=2n^2-3n+1，可得c_n=T_n-T_{n-1}=[2n^2-3n+1]-[2(n-1)^2-3(n-1)+1]=4n-5（n≥2），当n=1时，c_1=T_1=0，符合通项公式。故c_5=4×5-5=15。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_6=64，d_4=4，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质d_2•d_6=d_4^2，代入d_2•d_6=64，d_4=4可得4^2=64，即q^8=1，解得q=±1或q=±i（虚数解不符合高中数列范围），故q=1或q=-1。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第3项e_3等于________。解：由前n项和公式S_n=n^2+n，可得e_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n（n≥2），当n=1时，e_1=S_1=2，符合通项公式。故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=√(f_n+2)（n∈N），则该数列的极限λ等于________。解：设数列极限为λ，由递推关系f_n+1=√(f_n+2)，令n→∞可得λ=√(λ+2)，平方后解得λ^2-λ-2=0，解得λ=2或λ=-1（舍去），故数列极限为2。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_8=22，a_5+a_7=16，则该数列的公差d等于________。解：由等差数列性质a_3+a_8=2a_5.5=22，a_5+a_7=2a_6=16，可得a_5.5=11，a_6=8，故公差d=a_6-a_5.5=8-11=-3。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=3^n-n，则该数列的第4项h_4等于________。解：由前n项和公式T_n=3^n-n，可得h_n=T_n-T_{n-1}=[3^n-n]-[3^{n-1}-(n-1)]=2×3^{n-1}-1（n≥2），当n=1时，h_1=T_1=2，符合通项公式。故h_4=2×3^3-1=55。9.若数列{i_n}满足i_1=4，i_n+1=2i_n-1（n∈N），则该数列的通项公式i_n等于________。解：由递推关系i_n+1=2i_n-1，变形为i_n+1+1=2(i_n+1)，可得数列{i_n+1}是首项为5，公比为2的等比数列，即i_n+1=5×2^{n-1}，故i_n=5×2^{n-1}-1。10.在等比数列{j_n}中，若j_2•j_7=128，j_3=8，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质j_2•j_7=j_4.5^2，代入j_2•j_7=128，j_4.5=8可得8^2=128，即q^9=1，解得q=±1或q=±i（虚数解不符合高中数列范围），故q=1或q=-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。解：由前n项和公式S_n=n^2+n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{a_n}是等差数列（公差为2）。该命题正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_3•b_5=64，则该数列的公比q一定为2。解：由等比数列性质b_3•b_5=b_4^2，代入b_3•b_5=64可得b_4=±8，故公比q=b_4/b_3=±2，不一定是2。该命题错误。3.若数列{c_n}的前n项和为T_n=2^n-n，则该数列是等比数列。解：由前n项和公式T_n=2^n-n，可得c_n=T_n-T_{n-1}=[2^n-n]-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1（n≥2），当n=1时，c_1=T_1=1，符合通项公式。故c_n=2^{n-1}-1，该数列是等比数列（公比为2）。该命题正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则该数列的公差d等于2。解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3=12，可得a_3=6，但无法确定公差d的值。该命题错误。5.若数列{e_n}满足e_n+1=3e_n+2（n∈N），则该数列是等比数列。解：由递推关系e_n+1=3e_n+2，变形为e_n+1+1/2=3(e_n+1/2)，可得数列{e_n+1/2}是首项为3/2，公比为3的等比数列，即e_n+1/2=(3/2)×3^{n-1}，故e_n=(3/2)×3^{n-1}-1/2，该数列不是等比数列。该命题错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_6=64，则该数列的公比q一定为±2。解：由等比数列性质f_2•f_6=f_4^2，代入f_2•f_6=64可得f_4=±8，故公比q=f_4/f_3=±2/f_3，不一定是±2。该命题错误。7.若数列{g_n}的前n项和为U_n=3n^2-2n，则该数列是等差数列。解：由前n项和公式U_n=3n^2-2n，可得g_n=U_n-U_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2），当n=1时，g_1=U_1=1，符合通项公式。故g_n=6n-5，该数列是等差数列（公差为6）。该命题正确。8.在等差数列{h_n}中，若a_4+a_7=18，a_5+a_6=12，则该数列的公差d等于-2。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5.5=18，a_5+a_6=2a_5.5=12，矛盾，故该命题错误。9.若数列{i_n}满足i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。解：由递推关系i_n+1=2i_n+1，变形为i_n+1+1=2(i_n+1)，可得数列{i_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，即i_n+1=3×2^{n-1}，故i_n=3×2^{n-1}-1，该数列不是等比数列。该命题错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_3•j_5=64，j_4=4，则该数列的公比q等于±2。解：由等比数列性质j_3•j_5=j_4^2，代入j_3•j_5=64，j_4=4可得4^2=64，即q^6=1，解得q=±1或q=±i（虚数解不符合高中数列范围），故q=1或q=-1。该命题错误。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：由前n项和公式S_n=n^2+n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，当n=1时，a_1=S_1=2，符合通项公式。故a_n=2n。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），求该数列的前n项和T_n。解：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和T_n=1+2+3+…+(2n-1)=n^2，又b_n=2^n-1，故T_n=n^2-(2^n-1)。3.在等差数列{c_n}中，若a_3+a_8=22，a_5+a_7=16，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_8=2a_5.5=22，a_5+a_7=2a_6=16，可得a_5.5=11，a_6=8，故公差d=a_6-a_5.5=8-11=-3。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=√(d_n+3)（n∈N），求该数列的极限λ。解：设数列极限为λ，由递推关系d_n+1=√(d_n+3)，令n→∞可得λ=√(λ+3)，平方后解得λ^2-λ-3=0，解得λ=3或λ=-1（舍去），故数列极限为3。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为100吨，第三年产量为150吨，求该工厂的年产量增长规律，并计算第五年的产量。解：设年产量增长率为d，由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=100，a_3=150可得150=100+2d，解得d=25。故年产量为a_n=100+(n-1)×25=25n+75。第五年产量为a_5=25×5+75=200吨。2.某城市人口增长速度每年递增10%，已知2020年人口为100万，求该城市2025年的人口数量。解：由等比数列性质b_n=b_1×q^{n-1}，代入b_1=100，q=1.1，n=5可得b_5=100×1.1^4≈146.41万。3.某企业计划投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资20万元，求该企业五年内的总投资额。解：设投资数列为{c_n}，由等差数列性质c_n=100+(n-1)×20=20n+80。五年总投资为S_5=5×(100+180)/2=1450万元。4.某种细菌每小时分裂一次，已知初始时刻有1个细菌，求第10小时时细菌的数量。解：设细菌数量为{d_n}，由等比数列性质d_n=1×2^{n-1}=2^{n-1}。第10小时细菌数量为d_10=2^9=512个。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.C3.D4.C5.D6.C7.C8.D9.C10.C解析：第1题由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式相符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。二、填空题1.a_n=10n+1解：由前n项和公式S_n=5n^2+3n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=[5n^2+3n]-[5(n-1)^2+3(n-1)]=10n+1（n≥2），当n=1时，a_1=S_1=8，符合通项公式。故a_n=10n+1。2.b_n=3^n-1解：由递推关系b_n+1=3b_n-2，变形为b_n+1+1=3(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，即b_n+1=4×3^{n-1}，故b_n=3^n-1。3.c_5=15解：由前n项和公式T_n=2n^2-3n+1，可得c_n=T_n-T_{n-1}=[2n^2-3n+1]-[2(n-1)^2-3(n-1)+1]=4n-5（n≥2），当n=1时，c_1=T_1=0，符合通项公式。故c_5=4×5-5=15。4.q=1或q=-1解：由等比数列性质d_2•d_6=d_4^2，代入d_2•d_6=64，d_4=4可得4^2=64，即q^8=1，解得q=±1或q=±i（虚数解不符合高中数列范围），故q=1或q=-1。5.e_3=6解：由前n项和公式S_n=n^2+n，可得e_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n（n≥2），当n=1时，e_1=S_1=2，符合通项公式。故e_3=2×3=6。6.λ=2解：设数列极限为λ，由递推关系f_n+1=√(f_n+2)，令n→∞可得λ=√(λ+2)，平方后解得λ^2-λ-2=0，解得λ=2或λ=-1（舍去），故数列极限为2。7.d=-3解：由等差数列性质a_3+a_8=2a_5.5=22，a_5+a_7=2a_6=16，可得a_5.5=11，a_6=8，故公差d=a_6-a_5.5=8-11=-3。8.h_4=55解：由前n项和公式T_n=3^n-n，可得h_n=T_n-T_{n-1}=[3^n-n]-[3^{n-1}-(n-1)]=2×3^{n-1}-1（n≥2），当n=1时，h_1=T_1=2，符合通项公式。故h_4=2×3^3-1=55。9.i_n=5×2^{n-1}-1解：由递推关系i_n+1=2i_n-1，变形为i_n+1+1=2(i_n+1)，可得数列{i_n+1}是首项为6，公比为2的等比数列，即i_n+1=6×2^{n-1}，故i_n=5×2^{n-1}-1。10.q=1或q=-1解：由等比数列性质j_2•j_7=j_4.5^2，代入j_2•j_7=128，j_4.5=8可得8^2=128，即q^9=1，解得q=±1或q=±i（虚数解不符合高中数列范围），故q=1或q=-1。三、判断题1.正确解：由前n项和公式S_n=n^2+n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列{a_n}是等差数列（公差为2）。2.错误解：由等比数列性质b_3•b_5=b_4^2，代入b_3•b_5=64可得b_4=±8，故公比q=b_4/b_3=±2/f_3，不一定是2。3.正确解：由前n项和公式T_n=2^n-n，可得c_n=T_n-T_{n-1}=[2^n-n]-[2^{n-1}-(n-1)]=2^{n-1}-1（n≥2），当n=1时，c_1=T_1=1，符合通项公式。故c_n=2^{n-1}-1，该数列是等比数列（公比为2）。4.错误解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3=12，可得a_3=6，但无法确定公差d的值。5.错误解：由递推关系e_n+1=3e_n+2，变形为e_n+1+2/3=3(e_n+2/3)，可得数列{e_n+2/3}是首项为5/3，公比为3的等比数列，即e_n+2/3=(5/3)×3^{n-1}，故e_n=(5/3)×3^{n-1}-2/3，该数列不是等比数列。6.错误解：由等比数列性质f_2•f_6=f_4^2，代入f_2•f_6=64可得f_4=±8，故公比q=f_4/f_3=±8/f_3，不一定是±2。7.正确解：由前n项和公式U_n=3n^2-2n，可得g_n=U_n-U_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2），当n=1时，g_1=U_1=1，符合通项公式。故g_n=6n-5，该数列是等差数