第二章 第9节　函数与方程

第9节函数与方程[课程标准要求]1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.夯实·必备知识知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义:使

的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)

⇔函数y=f(x)的图象与x轴

.

f(x)=0有零点有公共点释疑·函数的零点不是一个点,而是一个实数,该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有

,那么,函数y=f(x)在区间

内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得

,这个c也就是方程f(x)=0的解.f(a)f(b)<0(a,b)f(c)=0释疑·函数f(x)在[a,b]上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点.3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且

的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间

,使所得区间的两个端点逐步逼近

,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)<0一分为二零点释疑·用二分法求方程的近似解应具备两个条件:一是方程对应的函数在零点附近连续不断;二是该零点左、右的函数值异号.4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系项目Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210重要结论1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(

)(2)若连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.(

)(3)若函数y=f(x)为R上的单调函数,则f(x)有且仅有一个零点.(

)(4)用二分法求函数零点的近似值适合变号零点.(

)×

×

×

√2.(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是(

)BA B C D【解析】

二分法求零点要求函数连续不断且零点左右函数值异号.故选B.3.(人教A版必修第一册P146练习T2改编)在用二分法求方程3x+2x-10=0在[1,2]上的近似解时,构造函数f(x)=3x+2x-10,依次计算得f(1)=-5<0,f(2)=3>0,f(1.5)<0,f(1.75)>0,f(1.625)<0,则该近似解所在的区间是(

)A.(1,1.5) B.(1.5,1.625)C.(1.625,1.75) D.(1.75,2)C【解析】

根据f(1)=-5<0,f(1.5)<0,f(1.625)<0,f(1.75)>0,f(2)=3>0,则由二分法可得近似解所在的区间为(1.625,1.75).故选C.4.(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)若函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则实数a的取值范围是(

)A.[3,18) B.(3,18)C.[3,18] D.(3,18]D提升·关键能力判断函数零点所在的区间考点1B(2)(多选)在下列区间内,函数f(x)=9lgx-x2+9有零点的是(

)A.(0,1) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)AC【解析】

(2)因为f(x)的定义域为(0,+∞),分别画出函数y=9lgx与y=x2-9的图象,如图所示,结合图象可知两函数图象的交点有2个,显然f(x)在(0,1)内有零点,又因为f(3)=9lg3-9+9=9lg3>0,f(4)=9lg4-16+9=3lg64-7<3lg100-7=-1<0,所以f(3)f(4)<0,所以f(x)在(3,4)内有零点.故选AC.解题策略·确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否满足f(a)·f(b)<0.若满足,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.B确定函数零点的个数考点2C解题策略·求解函数零点个数的基本方法(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)就有多少个零点.(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.[针对训练]

若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是(

)A.6 B.10C.14 D.18B【解析】

依题意,f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,由于f(x)是偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,由此画出y=f(x)与y=log6|x|的图象,如图所示,当x=6时,y=log6|6|=1,由图可知,两个函数图象有10个交点,所以函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是10.故选B.

函数零点的应用考点3角度1根据零点情况求参数范围C[变式探究1](变为分离参数型)若函数f(x)=2x(x+a)-1在区间(2,3)上有零点,则实数a的取值范围是

.

(0,1]【解析】

画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需a≤1;当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上,0<a≤1.(0,2)【解析】

当x≤a时,f(x)=x3在(-∞,a)上单调递增,最大值为f(a)=a3.当x>a时,f(x)=|2x-4|.画出y=x3和y=|2x-4|的图象如下,存在实数b使得函数y=f(x)-b恰有3个零点,即函数f(x)的图象与直线y=b有3个交点.由图可知当a≤0时,存在实数b使得函数f(x)的图象与直线y=b最多有2个交点,不符合题意;当a≥2时,存在实数b使得函数f(x)的图象与直线y=b最多有2个交点,不符合题意;当0<a<2时,由图可知,存在实数b使得函数f(x)的图象与直线y=b恰有3个交点,符合题意.故实数a的取值范围是(0,2).解题策略·根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题,再加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.角度2研究函数零点性质B(16,36)【解析】(2)作出函数的图象,如图,解题策略·(1)求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数图象本身关于点的对称、直线的对称等)求和.(2)求函数的多个零点的代数式的范围时需要构造函数.BCD微点提能4

二次函数的零点分布微点解读一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)题型演绎题型一两根位于不同区间C解题策略·(1)两根位于不同区间,只看端点函数值.(2)根据具体问题判断是否需要讨论二次项系数.B题型二两根位于同一个区间D