高一数学必修第8册第7章函数性质习题集

高一数学必修第8册第7章函数性质习题集一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是（）A.3B.5C.7D.9解析：本题考查函数极值与最值的求解。首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-11，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。因此最大值为3，选项A正确。注意极值不一定是最值，需比较端点值。2.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上且关于y轴对称，则f(x)在区间(0,1)上（）A.递增B.递减C.先增后减D.先减后增解析：由开口向上且关于y轴对称可知a>0且b=0，即f(x)=ax²+c。在(0,1)上f(x)为增函数，选项A正确。此类函数为偶函数，单调性由a决定。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：利用绝对值三角不等式|f+g|≥|f|+|g|，f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为点x=1与x=-2之间距离3，选项C正确。也可分段讨论：当x<-2时f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时f(x)=3；当x>1时f(x)=2x+1。4.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在(-2,2)上的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：令h(x)=f(x)-g(x)=x²-2x+3-(x³-3x)=-x³+x²+x+3。求导h'(x)=-3x²+2x+1，判别式Δ=4-12=-8<0，h'(x)恒小于0，h(x)单调递减。计算h(-2)=1，h(2)=-1，由连续性存在唯一交点，选项B正确。5.函数f(x)=x³-3x+1的图像关于点(1,0)对称的充要条件是（）A.f(1-x)=f(1+x)B.f(1-x)=-f(1+x)C.f(1+x)=f(1-x)D.f(1+x)=-f(1-x)解析：函数关于点(a,b)对称需满足f(x)+f(2a-x)=2b。此处a=1,b=0，即f(x)+f(2-x)=0，选项B正确。也可验证f(1-x)=-f(1+x)成立。6.若函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极小值，则f(0)的取值范围是（）A.(-∞,2)B.(2,∞)C.(-∞,1)D.(1,∞)解析：极值点x=1需满足f'(1)=2+1=0，即p=-2。此时f(x)=x²-2x+q，f(0)=q。由Δ=4-4q>0得q<1，选项C正确。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：求导f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，极小值f(1)=-1。计算f(-1)=-6，f(3)=6，由连续性存在三个零点，选项C正确。8.函数f(x)=x³-3x+1的图像上存在一条切线平行于直线y=3x+5，则切点的横坐标为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：切线斜率f'(x)=3x²-3=3，得x=±1。计算f(1)=-1，f(-1)=3，对应切点(1,-1)与(-1,3)，选项A正确。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(0,2)上的最大值与最小值之差为（）A.1B.2C.3D.4解析：极值点x=1,0,2，计算f(1)=-1，f(0)=0，f(2)=0，最大值0，最小值-1，差为1，选项A正确。10.若函数f(x)=x³+px+q在x=1处取得极值，则f(x)在x=-1处的值等于（）A.-p-qB.p+qC.-p+qD.p-q解析：极值点x=1需满足f'(1)=3+1+p=0，得p=-4。此时f(x)=x³-4x+q，f(-1)=-1+4+q=3+q，选项B正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的图像与直线y=x的交点个数为_________解：令x³-3x+1=x，即x³-4x+1=0。求导f'(x)=3x²-4，极值点x=±√(4/3)，计算f(-√(4/3))>0，f(√(4/3))<0，存在两个实根，答案为2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的零点个数为_________解：分段函数f(x)在x=-2,1处取零值，且连续，存在两个零点，答案为2。3.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为_________解：极值点x=1,0,2，计算f(-1)=0，f(0)=0，f(1)=-1，f(2)=0，最大值为0，答案为0。4.函数f(x)=x³-3x+1的图像关于点(1,0)对称的充要条件是_________解：需满足f(1-x)=-f(1+x)，答案为f(1-x)=-f(1+x)。5.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，则p-q的值为_________解：极值点x=1需满足f'(1)=3-1+p=0，得p=-2。此时f(x)=x³-2x+q，f(1)=-1+q，p-q=-2-q，答案为-2-q。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(0,2)上的最小值为_________解：极值点x=1,0,2，计算f(1)=-1，f(0)=0，f(2)=0，最小值为-1，答案为-1。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________解：在x=-2与x=1之间距离为3，最小值为3，答案为3。8.函数f(x)=x³-3x²+2x的图像上存在一条切线平行于直线y=3x+5，则切点的纵坐标为_________解：切线斜率f'(x)=3x²-6x+2=3，得x=1，切点(1,-1)，纵坐标为-1，答案为-1。9.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，则f(0)的取值范围是_________解：极值点x=1需满足f'(1)=3-1+p=0，得p=-2。此时f(x)=x³+2x+q，f(0)=q，由Δ=4-4q>0得q<1，答案为(-∞,1)。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为_________解：极值点x=1，f(1)=-1，f(-1)=-6，f(3)=6，由连续性存在三个零点，答案为3。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）解：f'(x)=3x²≥0，恒成立，正确。2.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值，则a≠0。（）解：极值点需满足f'(1)=2a+b=0，若a=0则b≠0，f(x)=bx+c为一次函数，无极值，错误。3.函数f(x)=|x|在R上处处可导。（）解：x=0处不可导，错误。4.函数f(x)=x³-3x+1的图像关于原点对称。（）解：f(-x)=-x³+3x-1≠-f(x)，非奇函数，错误。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(0,2)上存在唯一极值点。（）解：f'(x)=3x²-6x+2=0，Δ>0，存在两个极值点，错误。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。（）解：在x=-2与x=1之间距离为3，正确。7.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，则f(x)为奇函数。（）解：极值点x=1需满足p=-2，此时f(x)=x³+2x+q，非奇函数，错误。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为6。（）解：f(3)=6，正确。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于点(-1,0)对称。（）解：f(-x)=|x+1|+|x-2|≠-f(x)，错误。10.函数f(x)=x³-3x+1的图像上存在一条切线平行于直线y=3x+5。（）解：切线斜率f'(x)=3x²-3=3，得x=±1，正确。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明函数f(x)=x³-3x在R上单调递增。解：f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，当x∈(-∞,-1)∪(1,∞)时f'(x)>0，函数单调递增。2.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：f'(x)=3x²-6x+2=0，x=1±√(1/3)，计算f(-1)=0，f(0)=0，f(1-√(1/3))>0，f(1+√(1/3))<0，f(3)=0，最大值0，最小值f(1+√(1/3))=-2√(1/3)。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像有哪些对称性？解：f(x)是偶函数f(x)=f(-x)，且关于点(-1,0)对称，f(x)+f(2-x)=0。4.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，求p与q的关系。解：极值点x=1需满足f'(1)=3-1+p=0，得p=-2。此时f(x)=x³+2x+q，f(1)=-1+q，由极值点处函数值不为0，q≠1。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（x为产量），求产量x=2时的边际成本。解：边际成本为C'(x)=3x²-6x+2，x=2时C'(2)=2，即边际成本为2。2.函数f(x)=x³-3x+1的图像上存在一条切线平行于直线y=3x+5，求切点的坐标。解：切线斜率f'(x)=3x²-3=3，得x=1，切点(1,-1)，切线方程y=-1=3(x-1)，即y=3x-4。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3，求x的取值范围。解：在x=-2与x=1之间f(x)取最小值3，即-2<x<1。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为3，求证存在唯一x₀使得f(x₀)=x₀。解：令g(x)=f(x)-x=x³-3x²+x，求导g'(x)=3x²-6x+1=0，x=1±√(3/3)，计算g(1-√(1/3))>0，g(1+√(1/3))<0，由连续性存在唯一零点x₀，满足f(x₀)=x₀。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.C4.B5.B6.C7.C8.A9.A10.B二、填空题1.22.23.04.f(1-x)=-f(1+x)5.-2-q6.-17.38.-19.(-∞,1)10.3三、判断题1.√2.×3.×4.×5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.证明：f'(x)=3x²-3，当x∈(-∞,-1)∪(1,∞)时f'(x)>0，函数单调递增。2.解：f'(x)=3x²-6x+2=0，x=1±√(1/3)，计算f(-1)=0，f(0)=0，f(1-√(1/3))>0，f(1+√(1/3))<0，f(3)=0，最大值0，最小值f(1+√(1/3))=-2√(1/3)。3.解：f(x)是偶函数f(x)=f(-x)，且关于点(-1,0)对称，f(x)+f(2-x)=0。4.解：极值点x=1需满足f'(1)=3-1+p=0，得p=-2。此时f(x)=x³+2x+q，f(1)=-1+q，由极值点处函数值不为0，q≠1。五