计算与人工智能概论-问题求解、科学计算与AI应用方法 课件 第10章 科学计算

计算与人工智能概论问题求解、科学计算与AI应用方法第10章科学计算信息科学与工程学院二分算法求方程的根

牛顿迭代法求方程的根

蒙特卡洛投点法求定积分

梯度下降算法求极小值

目录二分算法求方程的根任务描述：方程求根问题在科学和工程领域，经常需要对一些非线性方程进行求解，有些方程没有可用的公式。工程领域中一种有效的解方程的方法是：利用计算机来求解非线性方程的近似解。要求使用二分法来求解上述非线性方程f(x)=x3-5x2+10x-80=0的近似根t，要求精确到0.000001，即｜f(t)｜<=0.000001。这个问题怎么求解呢?求一元一次方程、一元二次方程的根：ax+b=0,ax2+bx+c=0，用公式求解。一元n（n>=3）次方程呢？x3-5x2+10x-80=0非多项式方程呢？xex-1=0二分算法求方程的根相关知识：线性搜索算法如何用计算机求解方程的根？本质上是在一个线性区间[x1,x2]中搜索x，使得f(x)趋近于0。什么是线性搜索？线性搜索（LinearSearch）算法是一种简单直观的搜索算法，用于在一个未排序或已排序的线性表中查找目标元素。它从线性表的第一个元素开始逐个比较，直到找到匹配的元素或搜索完整个线性表。什么是线性表？所谓线性表，指的是n个具有相同特性的数据元素的有限序列，元素在序列中是有顺序的，除了首尾元素，每个元素都有一个前驱（即前一个元素）和一个后继（即后一个元素），首部的元素只有后继，尾部的元素只有前驱，C语言中的数组就是线性表。二分算法求方程的根相关知识：线性搜索算法Input:线性表A，目标元素xOutput:目标元素在线性表A中的位置索引Step1.令i为0，指向线性表最前面的元素；Step2.将A[i]与目标元素x进行比较，如果相等，返回i，表示找到了目标元素，否则将i加1；Step3.若i小于n，跳转到Step2；Step4.返回-1，表示没有找到目标元素。二分算法求方程的根相关知识：线性搜索算法的C语言实现#include<stdio.h>intLinearSearch(intA[],intn,intx){

inti;

for(i=0;i<n;i++)if(A[i]==x)returni;

return-1;}intmain(){

intx;

intA[]={21,8,11,6,2,5,15};

scanf("%d",&x);

printf("%d\n",LinearSearch(A,sizeof(A)/sizeof(int),x));

return0;}二分算法求方程的根相关知识：二分搜索算法（BinarySearch）考虑我们怎么查字典？会不会从第一页开始查？1翻到中间位置，如果该位置的首字母比要查的首字母大，我们知道要查的一定在该位置前面，此时，该位置后面的部分可以抛弃；如果比要查的首字母小，则撕掉前面的部分。2在剩下的部分中，再翻到中间位置，再比较，按同样的方法抛弃不需要的部分。3持续这个过程，直到翻到的位置恰好有要查的单词或者只剩下一页纸。二分搜索算法的核心思想：每次都将解的搜索空间大小缩小为原先的一半。二分搜索算法的前提：线性表是排好序的。二分算法求方程的根相关知识：二分搜索算法（BinarySearch）

二分搜索算法Input:升序排列的线性表A，目标元素xOutput:目标元素在线性表A中的位置索引Step1.定义搜索区间[i,j]，令i的初值为0，指向线性表第1个元素，j的初值为n-1，指向最后一个元素；Step2.计算区间的中间位置k=(i+j)/2，其中k为整除结果；Step3.将A[k]与目标元素x进行比较，如果相等，返回i，表示找到了目标元素；若x<A[k]，则x必定位于位置k的左边，令j=k-1；若x>A[k]，则x必定位于位置k的右边，令i=k+1；Step4.若i<=j，跳转到Step2；Step5.返回-1，表示没有找到目标元素。二分算法求方程的根相关知识：二分搜索算法的执行步骤二分算法求方程的根相关知识：二分搜索算法的C语言实现#include<stdio.h>intBinarySearch(intA[],intn,intx){//适用于升序数组的二分搜索函数 inti=0,

j=n-1;

//区间边界的初始值 while(i<=j){ intk=(i+j)/2;

//计算区间中间位置 if(x==A[k])returnk;

//找到元素 elseif(x<A[k])j=k-1;

//在区间左边 elsei=k+1;

//在区间右边 } return-1;}二分算法求方程的根相关知识：二分搜索算法的C语言实现（续）intmain(){ intx; intA[]={2,5,6,8,11,15,21}; scanf("%d",&x); printf("%d\n",BinarySearch(A,sizeof(A)/sizeof(int),x)); return0;}二分算法求方程的根设计思路：求方程根的两种方法解析解：通过严格的公式计算求出的解，例如，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其解析解为：数值解：使用数值分析的方法通过近似计算得出来的解。有些方程没有解析解，如一元五次方程以及更高次方程，只能求数值解。用计算机求方程根的基本方法是求方程的数值解。常用数值分析方法：

包括二分算法、牛顿迭代法、牛顿下山法等。共同特点：

依赖迭代来逐步逼近最终结果（适合用计算机的循环来实现）。

实现迭代的方法不同，收敛的速度也不同。二分算法求方程的根设计思路：数值分析方法数值分析方法的最根本步骤是通过迭代逐渐逼近最终结果。中值定理：若函数f(x)在区间[a,b]连续，且存在k使得f(a)<k<f(b)，则一定存在c使得f(c)=k。推论：若函数f(x)在区间[a,b]连续，且f(a)f(b)<0，一定存在c，使得f(c)=0。二分算法求方程的根设计思路：二分算法求方程根的数学原理（1）选取合适的a和b，使得f(x)在区间[a,b]单调，且f(a)f(b)<0，令a1=a,b1=b，对于方程x3-5x2+10x-80=0，由于f(0)<0，f(10)>0，因此，初始区间可以选择[0,10]；（2）设t1为a1和b1之间的中间点，即t1=(a1+b1)/2，计算f(t1)的值；若|f(t1)|≤ε，则t1为方程的根，其中ε为一个趋近于0的数，代表计算要求达到的精度；否则，若f(t1)的符号与f(a1)相同，令a2=t1，b2=b1；若f(t1)的符号与f(b1)相同，令a2=a1，b2=t1；（3）再设t2为a2和b2之间的中间点，即t2=(a2+b2)/2，计算f(t2)的值；若|f(t2)|<ε，则t2为方程的根；否则，若f(t2)的符号与f(a2)相同，令a3=t2，b3=b2；若f(t2)的符号与f(b2)相同，令a3=a2，b3=t2；（4）一直重复下去，直到tn=(an+bn)/2，且若|f(tn)|≤ε。二分算法求方程的根设计思路：二分算法求方程根的基本步骤Input:一元函数f(x)的表达式，计算精度εOutput:函数f(x)的根Step1.定义合适的区间[a,b]，使得f(a)f(b)<0；Step2.计算区间的中间位置t=(a+b)/2，其中t为整除结果；Step3.计算f(t)的结果，若|f(t)|≤ε，返回t，算法结束；否则，若f(t)f(a)>0，令a=t；若f(t)f(b)>0，令b=t；跳转到Step2。二分算法求方程的根设计思路：二分算法求方程根的算法迭代次数n与ε的关系：L/2n≤ε,L为区间大小（常量）时间复杂度：O(log(1/ε))#include<stdio.h>#include<math.h>#definef(x)(pow(x,3)-5*x*x+10*x-80)//要求解的方程constdoubleesp=0.00001;//计算精度intmain(){ doublea=0,b=10,t;//区间边界与中间值变量 inti=0;//迭代计数器 do{ t=(a+b)/2;//计算区间中间位置 if(f(t)*f(a)>0)a=t;//调整区间大小 elseb=t; i++;//迭代计数器加1 printf("i=%d,t=%.2f,a=%f,b=%f,f(t)=%f\n",i,t,a,b,f(t)); }while(fabs(f(t))>esp);//未到达精度继续循环 printf("t=%f\n",t); //输出方程的根 return0;}二分算法求方程的根代码实现二分算法求方程的根

牛顿迭代法求方程的根

蒙特卡洛投点法求定积分

梯度下降算法求极小值

目录牛顿迭代法求方程的根任务描述：方程求根问题牛顿迭代法：也被称作牛顿-拉弗森方法（Newton-RaphsonMethod），是求解非线性方程根的一种有效迭代算法。该方法得名于两位著名的数学家：艾萨克·牛顿（IsaacNewton）和约瑟夫·拉弗森（JosephRaphson）。用牛顿迭代法怎么求解呢?与二分算法相比，牛顿迭代法的收敛速度更快。

使用牛顿迭代法求相同方程的根，要求精确到0.000001，即｜f(t)｜<=0.000001。x3-5x2+10x-80=0牛顿迭代法求方程的根相关知识：牛顿迭代法的基本原理基本思想：利用函数在某一点的切线来近似代替函数本身，从而通过求解切线与x轴的交点来逼近原函数的根。牛顿迭代法求方程的根相关知识：牛顿迭代法的步骤（1）选择一个合适的初始点x0，如果初始点选择得当，可以大大加快收敛速度。（2）计算函数在x0处的函数值f(x0)和导数值f'(x0)。如果f'(x0)为0，则需要重新选择一个初始点，因为此时迭代公式无法进行计算。（3）利用迭代公式9.5计算出下一个近似根xn+1：

xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)（4）判断是否满足收敛条件。定义精度ε，当|f(xn+1)|<ε时，迭代过程结束；否则，将xn+1作为新的起点，重复步骤2-4。牛顿迭代法求方程的根相关知识：牛顿迭代法的收敛性分析（1）初始点的选择：初始点x0应尽可能接近真实的根，以减少迭代次数，提高收敛速度。（2）函数的性质：函数f(x)应该是连续的，且具有连续的导数。此外，如果函数在根附近较为平坦（即导数较小），则收敛速度可能会变慢。（3）避免导数为零的点：如果函数在某点的导数为零，那么牛顿迭代法在该点将无法继续进行，因为此时迭代公式中的分母为零。在选择初始点时，应尽量避免这类点。牛顿迭代法求方程的根相关知识：牛顿迭代法的优缺点优点：

1.收敛速度快且精度高。在满足收敛条件的情况下，只需少数几次迭代就可以得到足够精确的解。

2.具有一定的自适应性，可以根据函数的局部性质自动调整迭代步长和方向。缺点：

1.对初始点的选择非常敏感。不同的初始点可能会导致完全不同的迭代结果和收敛速度。需要计算函数的导数。

2.对于某些复杂的函数或者无法直接求导的函数（如分段函数或隐式函数），会增加计算的复杂性和误差。

3.在某些特殊情况下会失效或陷入死循环。例如当函数的导数在某些点处为0或者函数在某个区间内存在多个根时。牛顿迭代法求方程的根设计思路：牛顿迭代法求方程根的算法Input:一元函数f(x)的表达式，f(x)的导数表达式f'(x)，初始点x0，计算精度ε，最大迭代次数NOutput:函数f(x)的近似根Step1.初始化：设置当前迭代次数n为0，设置当前近似根xn为x0。Step2.计算函数值和导数值：计算f(xn)和f'(xn)，在每一步迭代中，都需要知道当前点的函数值和导数值，以便进行下一步的计算。Step3.检查终止条件：若n大于等于N或者|f(xn)|小于等于ε，则返回xn作为方程的近似根，算法结束。Step4.更新近似根：否则，根据牛顿迭代公式计算下一个近似根xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)，这是牛顿迭代法的核心步骤，通过这个公式来不断更新近似根，使其逐渐逼近真实根。Step5.迭代继续：n增加1，跳转到Step2，通过不断增加迭代次数，并重复上述步骤，可以逐渐找到满足精度要求的近似根。时间复杂度为O(loglog(1/ε)),ε为常量时等价于O(1)牛顿迭代法求方程的根代码实现（1）#include<stdio.h>#include<math.h>doublef(doublex){

//待求解方程的函数表达式returnpow(x,3)-5*pow(x,2)+10*x-80;}doubledf(doublex){return3*pow(x,2)-10*x+10;//函数导数的表达式}牛顿迭代法求方程的根代码实现（2）doublenewton_raphson(doublex0,doubleepsilon,intmax_iterations){doublex=x0,fx,dfx;//解的初值，函数值，函数导数值intiteration=0;//迭代计数do{fx=f(x),dfx=df(x);//计算f(x),f'(x)if(fabs(dfx)<epsilon){//导数是否为0printf("Zeroderivative.Nosolutionfound.\n");return0;}

x=x-fx/dfx;//牛顿迭代公式iteration++;//计数器加1}while(fabs(fx)>=epsilon&&iteration<max_iterations);//迭代条件if(iteration==max_iterations){printf("Exceededmaximumiterations.Noaccuratesolutionfound.\n");}else{printf("Foundsolutionin%diterations.\n",iteration);}returnx;}牛顿迭代法求方程的根代码实现（3）intmain(){doublex0=1.0;//初始点可以根据需要调整doubleepsilon=0.00001;//精度要求intmax_iterations=1000;//最大迭代次数?doubleroot=newton_raphson(x0,epsilon,max_iterations);printf("Therootisapproximately%.5f\n",root);//输出方程的根return0;}二分算法求方程的根

牛顿迭代法求方程的根

蒙特卡洛投点法求定积分

梯度下降算法求极小值

目录蒙特卡洛投点法求定积分任务描述：定积分及其衍生问题蒙特卡洛投点法：一种基于随机数的数值积分方法，通过大量的随机投点来估计积分值。蒙特卡洛投点法在科学计算和工程实践中有着广泛的应用，如金融衍生品定价、统计物理、量子力学、生物医学成像等领域。怎么使用蒙特卡洛投点法呢？（1）使用蒙特卡洛投点法求解定积分：（2）使用蒙特卡洛投点法求圆周率π；（3）使用蒙特卡洛投点法求自然常数e。蒙特卡洛投点法求定积分相关知识：蒙特卡洛投点法基本原理蒙特卡洛投点法基本原理：利用随机数进行模拟试验，通过对模拟试验的结果进行统计，从而得出所求问题的解。求定积分基本思想：将积分看作某个随机变量的数学期望，并通过大量的随机抽样来估计这个期望，进而得到积分的近似值。函数在区间[0,10π]的定积分蒙特卡洛投点法求定积分蒙特卡洛投点法求定积分相关知识：蒙特卡洛投点法求定积分选择矩形区域：覆盖定积分代表的区域。横轴区间[0,10π]与纵轴区间[0,2]包围的范围，其中纵轴区间上限2是函数在区间[0,10π]的最大值ymax，设矩形面积为area。矩形被曲线分割为两个区域：分别记为区域A和区域B，面积分别记为areaA（要求的值）和areaB。随机投点：在矩形区间内随机产生N个点，设落在区域A内和区域B内点的总数分别为NA和NB。面积比公式：根据概率统计原理，areaA与area的面积之比等于NA与N之比：函数在区间[0,10π]的定积分蒙特卡洛投点法求定积分蒙特卡洛投点法求定积分相关知识：蒙特卡洛投点法求定积分（续）面积比公式：根据概率统计原理，areaA与area的面积之比等于NA与N之比：将area=(b-a)*ymax代入，变换后得到：函数在区间[0,10π]的定积分蒙特卡洛投点法求定积分areaA就是需要计算的定积分蒙特卡洛投点法求定积分设计思路：蒙特卡洛投点法求定积分①确定积分区域：首先确定被积函数y=f(x)在[a,b]区间上与x轴、y轴围成的区域。②生成随机点：在矩形区域[a,b]×[0,ymax]内随机生成N个点(xi,yi)，其中ymax为函数在[a,b]区间内的最大值。③统计落点数量：计算每个随机点的yi值是否小于或等于函数值ŷi=f(xi)，统计满足条件的点数NA。④估算积分值：根据蒙特卡洛方法的原理，积分的近似值可以通过公式计算：蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求定积分#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>#include<math.h>//定义被积函数doublef(doublex){

if(x==0)return2.0;//避免除以0的情况returnsin(x)/x+1;}蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求定积分（续）doublemonte_carlo_integration(double(*f)(double),doublea,doubleb,intn){doubleymax=0.0;doublex,y;//随机点的坐标intsum=0;//落在积分区域中点的总数srand(time(NULL));//初始化随机数生成器for(doublei=a;i<=b;i+=0.001){//寻找[a,b]区间内函数的最大值doubley_value=f(i);if(y_value>ymax)ymax=y_value;}for(inti=0;i<n;i++){//进行投点

x=a+(b-a)*((double)rand()/RAND_MAX);//在[a,b]间生成随机数xy=ymax*((double)rand()/RAND_MAX);//在[0,ymax]间生成随机数yif(y<=f(x))sum++;//随机点的纵坐标在曲线下方

}return((double)sum/n)*(b-a)*ymax;//估算积分值}蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求定积分（续）intmain(){doublea=0.0,b=10*3.14159;//积分区间[a,b]intn=1000000;//投点次数doubleintegral=monte_carlo_integration(f,a,b,n);printf("%f\n",integral);return0;}蒙特卡洛投点法求定积分相关知识：蒙特卡洛投点法求圆周率选择矩形区域：覆盖圆所在区域。横轴区间[0,1]与纵轴区间[0,1]包围的范围，其中，矩形（正方形）面积为1，圆的面积为π*(0.5)2=π/4。随机投点：在正方形内随机产生N个点，设落在区域A（圆）内和区域B（正方形除圆以外）内点的总数分别为NA和NB。面积比公式：圆面积与正方形面积之比等于NA除以N：π/4=NA/N。可推导出：蒙特卡洛投点法求圆周率正方形与内接圆蒙特卡洛投点法求定积分设计思路：蒙特卡洛投点法求圆周率①初始化：设定投掷点的总数N，以及正方形和圆的边界。②随机投点：在正方形区域内随机生成N个点，记录每个点的坐标。③判断点是否在圆内：对于每个随机生成的点，判断其是否在半径为0.5的圆内。这可以通过计算点到圆心的距离来实现，如果距离小于或等于0.5，则认为点在圆内。④计算比例：统计落在圆内的点数NA，并计算比例NA/N。⑤估算π：根据几何概率的原理，π的值可以通过4*NA/N来估算。蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求圆周率#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>#include<math.h>#defineN1000000//投点总数intmain(){srand(time(NULL));//初始化随机数生成器intinsideCircle=0;//落在圆内的点数doublex,y;//随机点的坐标doubledistance;//点到圆心的距离蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求圆周率（续）for(inti=0;i<N;i++){

//在[0,1]范围内生成随机坐标

x=(double)rand()/RAND_MAX;y=(double)rand()/RAND_MAX;

//计算点到圆心的距离，圆心坐标为(0.5,0.5)

distance=sqrt((x-0.5)*(x-0.5)+(y-0.5)*(y-0.5));

//判断点是否在圆内，并计数

if(distance<=0.5)insideCircle++;

}//估算π的值并打印结果doublepiEstimate=4.0*insideCircle/N;printf("Pi=%f\n",piEstimate);return0;}蒙特卡洛投点法求定积分相关知识：蒙特卡洛投点法求自然常数构造定积分：函数f(x)=1/x的积分公式为：其在区间[1,2]的定积分为选择矩形区域：覆盖定积分所在区域。横轴区间[1,2]与纵轴区间[0,1]包围的范围（f(1)=1是区间[1,2]中纵轴最大值），矩形面积为1，定积分结果为ln2。随机投点：在矩形内随机产生N个点，设落在区域A内点的总数为NA。面积比公式：积分面积与矩形面积之比等于NA除以N：ln2=NA/N，可推导出：蒙特卡洛投点法求自然常数1/x在区间[1,2]的定积分蒙特卡洛投点法求定积分设计思路：蒙特卡洛投点法求自然常数①初始化：设定投掷点的总数N，以及由横轴区间[1,2]和纵轴区间[0,1]构成的矩形。②随机投点：在矩形区域内随机生成N个点，记录每个点的坐标(xi,yi)。③判断点是否在曲线下方：对于每个随机生成的点(xi,yi)，计算ŷ=1/xi，若yi<ŷi，则该点落入区域A，将NA加1。④估算e：根据几何概率的原理，e的值可以通过公式来估算：蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求自然常数#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>#include<math.h>//定义被积函数doublef(doublex){return1/x;}蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求自然常数（续）doublemonte_carlo_integration(double(*f)(double),doublea,doubleb,intn){doubleymax=0.0;doublex,y;intsum=0;srand(time(NULL));//初始化随机数生成器//寻找[a,b]区间内函数的最大值for(doublei=a;i<=b;i+=0.001){

doubley_value=f(i);

if(y_value>ymax)

ymax=y_value;}for(inti=0;i<n;i++){//进行蒙特卡洛投点

x=a+(b-a)*((double)rand()/RAND_MAX);//在[a,b]间生成随机数x

y=ymax*((double)rand()/RAND_MAX);//在[0,ymax]间生成随机数y

if(y<=f(x))sum++;

}return((double)sum/n)*(b-a)*ymax;//估算积分值}蒙特卡洛投点法求定积分代码实现：蒙特卡洛投点法求自然常数（续）intmain(){doublea=1.0,b=2.0;//积分区间[a,b]intn=1000000;//投点次数doubleintegral=monte_carlo_integration(f,a,b,n);doublee=pow(2,1/integral);printf("%f\n",e);return0;}二分算法求方程的根

牛顿迭代法求方程的根

蒙特卡洛投点法求定积分

梯度下降算法求极小值

目录梯度下降算法求极小值任务描述：函数极小值问题梯度下降算法：一种优化算法，在需要求解最小化问题的各个领域、特别是涉及大量数据和复杂模型的领域中都有广泛的应用，它是机器学习、优化理论、信号处理和控制系统等领域中的一项关键技术。怎么求极小值呢？使用梯度下降算法求函数的极小值：f(x,y)=x2+y2梯度下降算法求极小值相关知识：一维函数的梯度下降算法基本原理：计算函数在某点的梯度（斜率），并沿着梯度的反方向进行一小步的移动，从而逐步逼近函数的极小值点。类比：沿着楼梯向下走。实现步骤：随机选择初始点，从初始点出发沿着曲线下降的方向调整横坐标，直到无法调整为止。1.初始点为A时，设横坐标为x，曲线下降的方向是横轴向右（斜率为负数），因此调整的方法是x=x+α，其中α是学习率（learningrate），决定了调整位置的幅度。2.初始点为C时，设横坐标为x，曲线下降的方向是横轴向左（斜率为正数），因此调整的方法是x=x-α。

梯度下降算法求极小值相关知识：多维函数的梯度下降算法将导数换成偏导数，就可以得到多维函数的梯度下降公式:对于函数f(x,y)=x2+y2，偏导数分别为：∂f(x,y)/∂(x)=2x,∂f(x,y)/∂(y)=2y函数f(x,y)=x2+y2最终的梯度下降公式为：梯度下降算法求极小值相关知识：局部最小值问题局部最优解：在某个小范围内找到的最优解。例如函数在某个区间的最小值，这个最小值只在该区间内有效，并不代表在整个定义域中是全局最小的。例如图中位置D就是局部最优解。梯度下降算法中的局部最优解问题：在迭代过程中总是倾向于向更低的位置调整，若初始位置在局部最优解附近，算法找到局部最优解时，会认为已经找到最优解从而停止进一步的搜索，无法找到全局最优解。随机初始化：通过多次运行算法并使用不同的初始参数，可以增加找到全局最优解的机会。梯度下降算法求极小值相关知识：学习率α学习率α：决定算法在每一次迭代中数据更新的步长大小，直接影响梯度下降算法的收敛速度和性能。固定学习率：最简单的一种策略，可能无法适应函数曲面的不同区域。学习率衰减：随着时间的推移，逐渐减小学习率。有助于算法在初期进行快速全局搜索，并在接近最优解时进行更精细的局部搜索。梯度下降算法求极小值设计思路：实现方法（以二维函数为例）①初始化：为参数选择一个初始值(x0,y0)。初始值可以是随机的，也可以根据一些先验知识或特定策略来选择。②计算梯度：计算函数关于各个参数的梯度，梯度指示了调整的方向。③调整参数：使用计算出的梯度来对各个参数进行更新。具体来说，向梯度的反方向迈出一小步，步长由学习率控制。④迭代优化：步骤②和③反复进行，直到满足某个停止条件（例如达到预设的最大迭代次数，或者函数值f(x,y)的变更小于某个阈值）。每次迭代中，根据当前的参数值重新计算梯度，并使用它来更新参数。⑤收敛：算法有望收敛到一个使函数值尽可能小的参数设置。这并不意味着找到了全局最小值，但在实际应用中，找到一个足够好的局部最小值通常就足够了。梯度下降算法求极小值设计思路：算法实现Input:初始点(x0,y0)，学习率α，迭代次数T，精度阈值εOutput:函数f(x,y)的最小值点(x,y)Step1.初始化(x,y)=(x0,y0)；Step2.对于t从1到T进行迭代，直到收敛（即参数更新后f的变化量小于ε）：

Step2.1.计算函数f(x,y)在当前点(x,y)的梯度，即f关于x的偏导数∂f/∂x和f关于y的偏导数d∂/∂y；

Step2.2.更新x和y：x=x-α*(∂f/∂x)，y=y-α*(∂f/∂y)；Step3.返回优化后的坐标点(x,y)，该点即为函数f(x,y)的近似最小值点。梯度下降算法求极小值代码实现#include<stdio.h>#include<math.