电路的相关定理

第4章电路(diànlù)的定理(CircuitTheorems)

4.1叠加定理4.2替代(tìdài)定理4.3戴维南定理(dìnglǐ)和诺顿定理(dìnglǐ)

4.4特勒根定理

4.5互易定理

4.6对偶原理第一页，共43页。叠加定理在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用(zuòyòng)时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。4.1叠加定理(SuperpositionTheorem)不作用(zuòyòng)的

电压源（us=0)短路电流源(is=0)开路第二页，共43页。举例(jǔlì)证明定理ib1ia1R2R3R1+–us1i11ibiaR2+–R3+–R1+–us1us2us3i1ib2ia2R2+–R3R1us2i12ib3ia3R2R3+–R1us3i13i1=i11+i12+

i13证明第三页，共43页。ibiaR2+–R3+–R1+–us1us2us3i1R11ia+R12ib=us11R21ia+R22ib=us22us1-us2us2-us3由回路(huílù)法第四页，共43页。ib1ia1R2R3R1+–us1i11ib2ia2R2+–R3R1us2i12ib3ia3R2R3+–R1us3i13R11ia1+R12ib1=us1R21ia1+R22ib1=0R11ia2+R12ib2=-us2R21ia2+R22ib2=us2R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-us3第五页，共43页。ia=ia1+ia2+

ia3证得即回路电流(diànliú)满足叠加定理第六页，共43页。推广(tuīguǎng)到l个回路,第j个回路的回路电流：第j列第七页，共43页。同样可以证明(zhèngmíng)：线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。us1

usb把usi个系数(xìshù)合并为Gji第i个电压源单独(dāndú)作用时在第j个回路中产生的回路电流支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。第八页，共43页。1.叠加定理只适用于线性电路求电压(diànyā)和电流；不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。不适用于非线性电路。2.应用时电路的结构(jiégòu)参数必须前后一致。应用(yìngyòng)叠加定理时注意以下几点：5.叠加时注意参考方向下求代数和。3.不作用的电压源短路；不作用的电流源开路4.

含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。第九页，共43页。例1.求图中电压(diànyā)u。+–10V4A6

+–4

u解:(1)10V电压源单独作用(zuòyòng)，4A电流源开路4A6

+–4

u''u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压(diànyā)源短路u"=-42.4=-共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-+–10V6

+–4

u'第十页，共43页。例2求电压(diànyā)Us。(1)10V电压(diànyā)源单独作用：(2)4A电流(diànliú)源单独作用：解:+–10V6

I14A+–Us+–10I14

10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1'+–U1"Us'=-10I1'+U1'Us"=-10I1"+U1”

第十一页，共43页。Us'=-10I1'+U1’=-10I1'+4I1'=

-101+41=-6VUs"=-10I1"+U1”

=-10(-共同(gòngtóng)作用：Us=Us'+Us"=-10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'+–U1'6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1"第十二页，共43页。齐性原理(yuánlǐ)（homogeneityproperty)当电路中只有(zhǐyǒu)一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流)与激励成正比。RusrRkuskr已知：如图求：电压(diànyā)UL例3R1R3R5R2RL+–usR4+–UL设IL

=1AILU

+-U

K=Us/U

UL=K

IL

RL第十三页，共43页。可加性(additivityproperty)线性电路中，所有激励(jīlì)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。Rus1r1Rus2r2Rk1us1+k2us1k1r1+

k2r2Rus1+

us2r1+

r2Rk1us1k1r1Rk2us2k2r2us1us2rRkus1kus2krR线性例4例5例6第十四页，共43页。4.2替代(tìdài)定理(SubstitutionTheorem)任意一个线性电路，其中(qízhōng)第k条支路的电压已知为uk（电流为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。替代(tìdài)定理Aik+–uk支路

k

A+–ukikA第十五页，共43页。证明(zhèngmíng):ukukAik+–uk支路

k+–+–ACBAik+–uk支路

kABAC等电位(diànwèi)+–ukAik+–ukAB第十六页，共43页。说明(shuōmíng)1.替代定理适用于线性、非线性电路(diànlù)、定常和时变电路(diànlù)。2)被替代(tìdài)的支路和电路其它部分应无耦合关系。1)

原电路和替代后的电路必须有唯一解。2.替代定理的应用必须满足两个前提:第十七页，共43页。戴维南定理(dìnglǐ)任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uo和电阻Ri的串联组合来等效(děnɡxiào)替代；其中电压Uo等于端口开路电压，电阻Ri等于端口中所有独立电源置零后端口的入端等效(děnɡxiào)电阻。AababRiUo+-4.3戴维南定理(dìnglǐ)和诺顿定理(dìnglǐ)(Thevenin-NortonTheorem)第十八页，共43页。证明(zhèngmíng):电流源i为零abA+–u'+网络A中独立源全部置零abPi+–u''Riu'=Uoc(外电路开路(kāilù)时a、b间开路(kāilù)电压)u"=-

Rii得u=u'+u"=

Uoc

-

Rii证明abAi+–u替代abAi+–uN'iUoc+–uN'ab+–Ri=叠加第十九页，共43页。任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电阻等于把该一端口的全部(quánbù)独立电源置零后的输入电导。诺顿定理(dìnglǐ)AababGiIsc证明(zhèngmíng)留作课后思考第二十页，共43页。例1IA2A1+-uo1Ro1+-uo2Ro2I例2外电路含有(hányǒu)非线性元件J-100V40V200V30K10K60K+-UI5KAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-解：求开路(kāilù)电压UAB当电流I>2mA时继电器的控制(kòngzhì)触点闭合（继电器线圈电阻是5K）。问现在继电器触点是否闭合。第二十一页，共43页。60K+-UI5K+-uABRABAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-UABRAB

二极管导通I=26.7/(5+6.67)=2.3mA>2mA结论(jiélùn):继电器触点闭合。第二十二页，共43页。例3R多大时能从电路中获得(huòdé)最大功率，并求此最大功率。解：15V5V2A+20

+--20

10

5

+-85VR10

5V+-20

15V2A20

+-10

5

+-85VR10

10V2A10

+-10

5

+-85VR10

第二十三页，共43页。R获最大功率(gōnglǜ)。50V30

+-5

+-85VRU0R0+-R10V2A10

+-10

5

+-85VR10

第二十四页，共43页。Uo+–Ri3

UR-+解：(1)求开路(kāilù)电压UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V3

6

I1+–9V+–Uo+–6I1已知如图，求UR

。例43

6

I1+–9V+–UR+–6I13

第二十五页，共43页。(2)求等效(děnɡxiào)电阻Ri方法1开路(kāilù)电压、短路电流3

6

I1+–9VIsc+–6I1Uo=9V3I1=-6I1I1=0IscA6

+–9VIscRi=Uo/Isc=9/1.5=6

第二十六页，共43页。方法2加压求流（独立(dúlì)源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I

6/(6+3)=(2/3)IRi=U/I=6

3

6

I1+–6I1U+–IU=9

(2/3)I=6I(3)等效电路Uo+–Ri3

UR-+第二十七页，共43页。网络N和具有相同的拓扑结构。2.各支路电压、电流均取关联(guānlián)的参考方向1.对应支路取相同的参考(cānkǎo)方向取：特勒根定理(dìnglǐ)

ukik+-

ukik+-^^N4.4特勒根定理(Tellegen’sTheorem)第二十八页，共43页。证明(zhèngmíng)令流出

流出

流出节点的所有支路电流和n个节点,有n项=0同理可证：第二十九页，共43页。例已知如图,求电流(diànliú)ix。R+-10V1ANR+-5Vix解i1i2设电流(diànliú)i1和i2，方向如图所示。由特勒根定理(dìnglǐ)，得第三十页，共43页。4.5互易定理(ReciprocityTheorem)第一种形式(xíngshì):激励电压源，响应(xiǎngyìng)电流图a电路中，只有(zhǐyǒu)j支路中有电压源uj，其在k支路中产生的电流为ikj。图b电路中，只有k支路中有电压源uk，其在j支路中产生的电流为ijk。当uk

=

uj

时，ikj

=

ijk

。ikj线性电阻网络N+–ujabcd(a)j支路k支路cd线性电阻网络Nijk+–ukab(b)j支路k支路第三十一页，共43页。证明(zhèngmíng)选定(xuǎndìnɡ)回路电流，使支路j和支路k都只有一个回路电流流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致。ikj线性电阻网络N+–ujabcd(a)cd线性电阻网络Nijk+–ukab(b)IjIkIjIk列方程第三十二页，共43页。j行j列k列图a图b图a图bk行第三十三页，共43页。图a图b无受控源，系数(xìshù)矩阵对称当uk

=

uj

时，ikj

=

ijk当含有受控源时，系数矩阵不对称互易定理不成立。互易定理成立(chénglì)。第三十四页，共43页。ukjij+–jj'k'k(a)ik+–ujkjj'k'k(b)第二种形式(xíngshì):激励(jīlì)电流源，响应电压当ik

=

jj

时，ukj

=

ujk

课后思考(sīkǎo)第三十五页，共43页。求电流(diànliú)I。解利用(lìyòng)互易定理I2I1=0.5AI=I1-I3例1I2

4

2

8

+–10V3

I2

4

2

8

+–10V3

I1I2I3I3I2=0.25A第三十六页，共43页。例2R+_2V2

0.25A已知如图,求：I1R+_10V2

I1解R+_2V2

0.25A互易(hùyì)齐次性注意(zhùyì)方向第三十七页，共43页。(1)适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和另一支(yīzhī)路间电压、电流的关系。(2)激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。(3)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个(liǎnɡɡè)节点间。(4)互易时要注意电压、电流(diànliú)的方向。(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：第三十八页，共43页。4.6对偶原理(DualPrinciple)一.网络对偶(duìǒu)的概念1.平面网络；3.两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换(zhuǎnhuàn),互换的元素称为对偶元素;这两个方程所表示的两个电路互为对偶。例1.网孔电流(diànliú)方程：(R1+R2)il=us节点电压方程：(G1+G2)un=isR2+–usilR1G1G2unis2.两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）；第三十九页，共43页。(R1+R2)il=us(G1+G2)un=isR2+–usilR1G1G2unis电阻R电压源us网孔电流ilKCL串联(chuànlián)网孔电导G电流源is节点电压unKVL并联节点对应元素互换，两个方程可以彼此(bǐcǐ)转换，两个电路互为对偶。第四十页，共43页。例2网孔方程(fāngchéng)：节点(jiédiǎn)方程：两个(liǎnɡɡè)电路互为对偶电路。(R1+R2)il1-R2

il2=us1-(R2-

rm)il1+(R