高一数学必修第1册第3章函数性质习题集

高一数学必修第1册第3章函数性质习题集一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,1)上的最大值是（）A.-2B.0C.2D.3解析：本题考查函数极值与最值的求解。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。由于区间为(-2,1)，只需考虑x=1。当x∈(-2,-1)时，f′(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，函数单调递减。因此x=-1为极大值点，f(-1)=1；x=1为极小值点，f(1)=-2。比较端点值f(-2)=-2，f(1)=-2，f(-1)=1，可得最大值为1。正确答案为C。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在R上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：本题考查绝对值函数的性质。将f(x)分段：当x<-2时，f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。显然在区间[-2,1]上f(x)恒等于3，而在其他区间存在更小值。因此最小值为3。正确答案为C。3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值是（）A.-1B.1C.-2D.2解析：本题考查二次函数的顶点性质。函数f(x)的顶点横坐标为x=-a。由题意x=1为顶点，则-a=1，解得a=-1。正确答案为A。4.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于哪个点中心对称？（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(-1,0)解析：本题考查函数的对称性。若图象关于点(a,b)中心对称，则f(x)-b=-[f(2a-x)-b]，即f(x)+f(2a-x)=2b。代入f(x)=x³-3x+1，得x³-3x+1+(2a-x)³-3(2a-x)+1=2b，化简得2a=0，b=1。正确答案为A。5.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[0,3]上的单调性关系是（）A.f单调增，g单调增B.f单调减，g单调增C.f单调增，g先增后减D.f单调减，g先减后增解析：求导f′(x)=2x-2，g′(x)=3x²-3。对于f(x)，在[0,1]上f′(x)<0单调减，在[1,3]上f′(x)>0单调增；对于g(x)，在[0,1]上g′(x)<0单调减，在[1,3]上g′(x)>0单调增。因此f与g在区间[0,3]上单调性相同。正确答案为A。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：求导f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。计算端点值f(-1)=-4，f(3)=0；计算极值点f(1-√3/3)=4-2√3>0，f(1+√3/3)=4+2√3>0。因此f(x)在[-1,3]上只有一个零点x=3。正确答案为B。7.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的值域分别是（）A.[2,10]和[-4,4]B.[2,10]和[-10,4]C.[2,10]和[-10,10]D.[2,10]和[-10,6]解析：对于f(x)，对称轴x=1，f(1)=2，f(-2)=10，值域为[2,10]；对于g(x)，对称轴x=0，f(0)=3，f(-2)=-10，f(2)=4，值域为[-10,4]。正确答案为B。8.函数f(x)=x³-3x+1的图象与直线y=x的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：构造函数h(x)=f(x)-x=x³-4x+1，求导h′(x)=3x²-4，令h′(x)=0得x=±2√3/3。计算极值点h(-2√3/3)=10+4√3>0，h(2√3/3)=10-4√3>0，h(-2)=-1，h(2)=5，因此h(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)各有一个零点。正确答案为C。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值是（）A.4B.5C.6D.7解析：求导f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。计算端点值f(-1)=-4，f(3)=0；计算极值点f(1-√3/3)=4-2√3>0，f(1+√3/3)=4+2√3>0。最大值为f(1+√3/3)=4+2√3。正确答案为D。10.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于哪个点中心对称？（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(-1,0)解析：本题与第4题相同，考查函数的对称性。正确答案为A。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为________。解：f(-2)=-2，f(2)=2，f(-1)=2，f(1)=-2，最大值为2，最小值为-2，差为4。参考答案：42.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域为________。解：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。最小值为3，值域为[3,+∞)。参考答案：[3,+∞)3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则f(0)的值为________。解：由题意-a=1，得a=-1，则f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2。f(0)=3。参考答案：34.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点________中心对称。解：由第4题解析，中心对称点为(0,1)。参考答案：(0,1)5.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[0,3]上同时单调递增的区间为________。解：f′(x)=2x-2，g′(x)=3x²-3。f(x)在[1,3]上单调增，g(x)在[1,3]上单调增。参考答案：[1,3]6.函数f(x)=x³-3x+1的零点个数为________。解：求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-1)=1，f(1)=-1，f(0)=1，因此有一个零点在(-1,0)和(0,1)各一个。参考答案：27.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1,3]上的值域为________。解：对称轴x=1，f(1)=2，f(-1)=6，f(3)=6，值域为[2,6]。参考答案：[2,6]8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的极值点为________。解：求导f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。参考答案：1-√3/3，1+√3/39.函数f(x)=x³-3x+1的图象与直线y=x的交点个数为________。解：构造函数h(x)=f(x)-x=x³-4x，求导h′(x)=3x²-4，令h′(x)=0得x=±2√3/3。h(-2√3/3)>0，h(2√3/3)>0，h(-2)<0，h(2)>0，因此有两个零点。参考答案：210.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的值域分别为________和________。解：f(x)值域为[2,10]；g(x)值域为[-10,4]。参考答案：[2,10]和[-10,4]三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）解：求导f′(x)=3x²≥0，恒成立，因此单调递增。正确。2.函数f(x)=|x|在R上存在极值点。（）解：f(x)在x=0处不可导，但x=0为拐点，不是极值点。错误。3.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1处取得最小值，则f(0)的值必小于f(1)。（）解：由题意-b=2，得b=-2，则f(x)=x²-2x+c=(x-1)²+c-1。f(0)=c-1，f(1)=c-1，相等。错误。4.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于原点中心对称。（）解：f(-x)=-x³+3x-1≠-f(x)，不是奇函数，不对称。错误。5.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[0,3]上同时单调递增。（）解：g(x)在[1,3]上单调递增，f(x)在[1,3]上单调递增。正确。6.函数f(x)=x³-3x+1的零点个数为3个。（）解：求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-1)=1，f(1)=-1，f(0)=1，因此有一个零点在(-1,0)和(0,1)各一个。错误。7.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1,3]上的值域为[2,6]。（）解：对称轴x=1，f(1)=2，f(-1)=6，f(3)=6，值域为[2,6]。正确。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的极值点为x=0。（）解：求导f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。x=0不是极值点。错误。9.函数f(x)=x³-3x+1的图象与直线y=x的交点个数为2个。（）解：构造函数h(x)=f(x)-x=x³-4x，求导h′(x)=3x²-4，令h′(x)=0得x=±2√3/3。h(-2√3/3)>0，h(2√3/3)>0，h(-2)<0，h(2)>0，因此有两个零点。正确。10.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的值域分别为[2,10]和[-10,4]。（）解：f(x)值域为[2,10]；g(x)值域为[-10,4]。正确。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1,3]上的单调区间和极值点。解：求导f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-1,1-√3/3)时，f′(x)>0，单调递增；当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时，f′(x)<0，单调递减；当x∈(1+√3/3,3)时，f′(x)>0，单调递增。极值点为x=1-√3/3和x=1+√3/3。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象有什么对称性？解：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。函数关于x=-1.5中心对称。3.函数f(x)=x³-3x+1的图象与直线y=x的交点有什么几何意义？解：构造函数h(x)=f(x)-x=x³-4x，交点即为h(x)的零点。h(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)各有一个零点，因此交点个数为2。4.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[0,3]上的值域有什么关系？解：f(x)值域为[2,6]；g(x)值域为[-10,4]。g(x)的值域包含f(x)的值域，即f(x)的值域是g(x)值域的子集。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求p、q的值及f(x)的单调区间。解：由f(0)=1得q=1，f(x)=x³-px+1。求导f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=0，得p=3，f(x)=x³-3x+1。求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。当x∈(-∞,-1)时，f′(x)>0，单调递增；当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，单调递减；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，单调递增。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象与直线y=kx+3相交于两点，求k的取值范围。解：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。当x<-2时，-2x-1=kx+3，解得x=-4/(2+k)，需x<-2，即k>-2；当x>1时，2x+1=kx+3，解得x=2/(k-2)，需x>1，即k>2。因此k>2。3.函数f(x)=x³-3x+1的图象与直线y=x的交点坐标是什么？解：构造函数h(x)=f(x)-x=x³-4x，求导h′(x)=3x²-4，令h′(x)=0得x=±2√3/3。h(-2√3/3)>0，h(2√3/3)>0，h(-2)<0，h(2)>0，因此有两个零点。通过牛顿迭代法可近似求得交点坐标为(1.5321,1.5321)和(-1.5321,-1.5321)。4.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[0,3]上的最大值和最小值分别是多少？解：f(x)在[0,1]上单调减，在[1,3]上单调增，f(0)=3，f(1)=2，f(3)=6，最大值为6，最小值为2；g(x)在[0,1]上单调减，在[1,3]上单调增，g(0)=0，g(1)=-2，g(3)=6，最大值为6，最小值为-2。因此f(x)的最大值为6，最小值为2；g(x)的最大值为6，最小值为-2。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.C3.A4.A5.A6.B7.B8.C9.D10.A解析：第1题通过端点值和极值比较；第2题利用绝对值函数分段；第3题根据顶点公式；第4题通过中心对称定义；第5题比较导数符号；第6题通过极值和端点；第7题分别求值域；第8题构造函数求零点；第9题通过极值比较；第10题与第4题相同。二、填空题1.42.[3,+∞)3.34.(0,1)5.[1,3]6.27.[2,6]2.1-√3/3，1+√3/39.210.[2,10]和[-10,4]解析：第1题通过极值比较；第2题利用绝对值函数分段；第3题根据顶点公式；第4题通过中心对称定义；第5题比较导数符号；第6题通过极值和端点；第7题分别求值域；第8题通过极值比较；第9题通过极值比较；第10题分别求值域。三、判断题1.√2.×3.×4.×5.√6.×7.√8.×9.√10.√解析：第1题通过导数判断单调性；第2题通过导数判断极值；第3题通过顶点公式；第4题通过中心对称定义；第5题比较导数符号；第6题通过极值和端点；第7题分别求值域；第8题通过极值比较；第9题通过极值比较；第10题分别求值域。四、简答题1.解：求导f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-1,1-√3/3)时，f′(x)>0，单调递增；当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时，f′(x)<0，单调递减；当x∈(1+√3/3,3)时，f′(x)>0，单调递增。极值点为x=1-√3/3和x=1+√3/3。2.解：f(x)分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。函数关于x=-1.5中心对称。3.解：构造函数h(x)=f(x)-x=x³-4x，交点即为h(x)的零点。h(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)各有一个零点，因此交点个数为2。4.解：f(x)值域为[2,