初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第25讲辅助圆

一、引言：辅助圆的魅力在平面几何的解题中，辅助线的添加往往是连接已知与未知的桥梁。而在众多辅助线中，辅助圆以其独特的性质和广泛的应用性，常常能在看似与圆无关的问题中，开辟出一条巧妙的解题路径。构造辅助圆，即将问题中的某些点置于同一个圆上，利用圆的丰富性质（如圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理、圆幂定理等），将分散的条件集中，把复杂的角、线段关系转化为圆中的基本关系，从而化难为易，化繁为简。本讲将带你探索辅助圆构造的常用思路与方法，并通过实例感受其解题魅力。二、知识梳理与方法提炼：何时想到构造辅助圆？构造辅助圆的核心在于识别图形中蕴含的与圆相关的条件。以下是几种常见的可以考虑构造辅助圆的情形：（一）利用圆的定义构造辅助圆——“到定点的距离等于定长”圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。如果在问题中，发现有多个点到同一个定点的距离相等，那么这些点就在以该定点为圆心，以定长为半径的圆上。这是构造辅助圆最直接也最基本的方法。例如，若题目中出现“OA=OB=OC”（O为定点，A、B、C为不同的点），那么A、B、C三点就在以O为圆心，OA为半径的圆上。一旦明确了这三点共圆，我们就可以利用圆的性质来处理它们之间的角度关系或线段关系。（二）利用“等角”构造辅助圆——圆周角定理的逆用在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。反之，如果在图形中发现若干个相等的角，且这些角有公共的顶点或公共的边，我们可以尝试构造一个圆，使这些角成为该圆的圆周角，从而利用圆的性质解题。一种典型的情况是：若∠APB=∠AQB，且点P、Q在直线AB的同侧，则A、B、P、Q四点共圆。这是因为这两个角对着同一条线段AB，且位于AB同侧，符合圆周角定理的逆命题（在初中阶段，我们可直观理解为：如果两个角相等且对同一条线段张角方向相同，则四点共圆）。另一种情况是：具有公共顶点的两个角相等，且角的两边对应成比例，也可能提示共圆，但这种情况相对复杂，初中阶段更多的是利用前者。（三）利用“直角”构造辅助圆——直径所对的圆周角是直角我们知道，直径所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。因此，当题目中出现直角（或需要构造直角）时，若能找到斜边，那么直角顶点一定在以斜边为直径的圆上。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，则点C在以AB为直径的圆上。反之，若点C在以AB为直径的圆上（且C不与A、B重合），则∠ACB=90°。这条性质在处理与直角三角形相关的动点问题或构造直角时非常有用。三、例题精讲：辅助圆的应用技巧例1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，且∠CAD=20°。求证：AD=CD。分析与解答：本题中，△ABC是等腰三角形，顶角100°，底角∠B=∠C=40°。点D在BC上，∠CAD=20°，则∠BAD=100°-20°=80°。在△ABD中，可求得∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-80°=60°。要证AD=CD，即证∠C=∠CAD+∠ACD？不对，∠C已知是40°，∠CAD是20°，若AD=CD，则∠ACD=∠CAD=20°，但∠C是40°，所以∠ACD=20°意味着∠BCD=20°？不，点D在BC上，∠C就是∠ACD。哦，应该是在△ADC中，若AD=CD，则∠ACD=∠CAD=20°，但∠C是40°，矛盾？不，我算错了，∠C是∠ACB，在△ADC中，∠ACD就是∠ACB=40°。若AD=CD，则∠CAD=∠ACD=40°，但∠CAD是20°，也不对。看来直接在△ADC中倒角不行。换个思路，构造辅助圆。已知∠ABC=∠ACB=40°，∠ADB=60°。能否以点A为圆心，AB为半径作圆？或者看看有没有四点共圆的条件。考虑∠ABD=40°，∠ADB=60°，则∠BAD=80°。如果我们以点C为顶点，构造一个角等于∠ADB呢？或者，注意到∠CAD=20°，∠ACD=40°，在△ADC中，∠ADC=180°-20°-40°=120°。∠ADB=60°，∠ADC=120°，它们互补！即∠ADB+∠ADC=180°，这是平角，点B、D、C共线，本就如此，没用。再看，∠ABC=40°，∠ADC=120°。若能找到一个圆，使得点A、B、C、D中的某四点共圆？或者某三点共圆。考虑到AB=AC，以A为圆心，AB为半径作圆，则点B、C都在圆上。那么点D是否在这个圆上呢？AD是否等于AB？AB=AC，若AD=AB，则AD=AC，∠ACD=∠ADC，但∠ACD=40°，∠ADC=120°，不等，所以D不在以A为圆心AB为半径的圆上。换个角度，看∠ABD=40°，∠ACD=40°，即∠ABD=∠ACD。这两个角不是对顶角，也不是同位角内错角。如果点B、D、C在一个圆上？不可能，它们共线。那么，∠ABD=∠ACD，这两个角有什么关系？它们都等于40°，顶点不同，一边分别为BA、CA，另一边分别为BD、CD。我们可以尝试构造一个圆，使得点A、B、D在同一个圆上。在△ABD中，∠ABD=40°，∠BAD=80°，∠ADB=60°。如果以点A为顶点，AB为一边，在AB的另一侧作∠BAE=∠BAD=80°，且AE=AD，连接BE、DE。则△ABD≌△ABE（SAS），BE=BD，∠ABE=∠ABD=40°，∠AEB=∠ADB=60°。此时，∠EAD=∠BAE+∠BAD=80°+80°=160°，AE=AD，所以△AED是等腰三角形，∠AED=∠ADE=(180°-160°)/2=10°。则∠BED=∠AEB-∠AED=60°-10°=50°。在△BED中，∠EBD=∠ABC+∠ABE=40°+40°=80°？不对，点E的位置我描述错了，应该是在AB的异侧，使得∠ABE=40°，那么∠EBC=∠ABC-∠ABE=0°？不行，看来这个辅助线添法有问题。回到原题，我们要证AD=CD，即△ADC中，AD=CD。如果能证明∠CAD=∠ACD，但∠CAD=20°，∠ACD=40°，所以不行。那就是要证明∠CDA=∠CAD？∠CDA=120°，显然不是。或者，构造一个圆，使AD和CD都是这个圆的弦，且所对的圆周角相等？考虑∠ADB=60°，如果以点D为顶点，DC为一边，作∠CDE=60°，交AC于E，会怎么样？或者，注意到∠ACB=40°，∠ADB=60°，在△ABC外取一点E，使得AE=AC，∠EAC=60°，连接EC、ED。则△AEC为等边三角形，EC=AC=AB，∠ACE=60°。∠ECD=∠ACE-∠ACB=60°-40°=20°，而∠CAD=20°，所以∠ECD=∠CAD。又因为∠BAC=100°，∠EAC=60°，所以∠BAE=∠BAC-∠EAC=40°=∠ABC。这样△ABE...似乎有点复杂。换用辅助圆的思路：因为∠ABC=∠ACB=40°，我们可以考虑构造一个圆，使得点A、B、C都在圆上，这就是△ABC的外接圆。设其外接圆为⊙O，则弧BC所对的圆周角∠BAC=100°，所以弧BC的度数为200°（圆周角的2倍），则优弧BAC的度数为160°，所以∠ABC和∠ACB所对的弧BAC的一半就是80°？不，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。∠ABC=40°，它所对的弧是AC，所以弧AC的度数是80°。同理，弧AB的度数也是80°。那么弧BC的度数就是360°-80°-80°=200°，没错。点D在BC上，∠CAD=20°。∠CAD是圆周角吗？如果是的话，它所对的弧应该是CD。在△ABC的外接圆中，∠CAD=20°，如果点D也在这个外接圆上，那么弧CD的度数就是40°。弧AC是80°，那么弧AD=弧AC-弧CD=80°-40°=40°。弧AD的度数是40°，那么它所对的圆周角∠ACD=20°，但∠ACD已知是40°，矛盾。所以D不在△ABC的外接圆上。换个思路，看∠ADB=60°。如果我们以AB为边，在△ABC外构造一个等边三角形ABE，连接DE。则AE=AB=AC，∠BAE=60°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=100°-60°=40°=∠ACB。在△AEC中，AE=AC，∠EAC=40°，所以∠AEC=∠ACE=(180°-40°)/2=70°。∠AEB=60°（等边三角形），所以∠BEC=∠AEC-∠AEB=10°。∠ABC=40°，∠ABE=60°，所以∠EBC=∠ABC+∠ABE=100°。在△EBC中，∠BEC=10°，∠EBC=100°，所以∠ECB=70°=∠AEC，所以EB=BC？似乎也没直接帮助。我们回到最开始的角度计算：在△ABC中，AB=AC=100°，∠B=∠C=40°，AD是∠BAC的一部分，∠CAD=20°，∠BAD=80°，∠ADB=60°，∠ADC=120°。如果我们构造△ABD的外接圆，设其圆心为O，则点A、B、D在⊙O上。∠ADB=60°，则其所对的弧AB的度数为120°（圆周角的2倍）。∠BAD=80°，它所对的弧BD的度数为160°。那么弧AD的度数就是360°-弧AB-弧BD=360°-120°-160°=80°。所以弧AD所对的圆周角∠ABD=40°，这与已知∠ABD=40°完全吻合！因为∠ABD就是弧AD所对的圆周角（在⊙O中，点B在⊙O上，∠ABD所对的弧就是AD）。现在，我们看看点C是否在这个⊙O上。AC=AB，如果点C也在⊙O上，那么AC=AB意味着弧AC=弧AB。弧AB的度数是120°，那么弧AC的度数也是120°。点D也在⊙O上，弧AD的度数是80°，那么弧DC的度数=弧AC-弧AD=120°-80°=40°。弧DC所对的圆周角∠DAC=20°（因为∠DAC是圆周角，它所对的弧是DC）。而题目中∠DAC恰好是20°！这就说明，点C也在△ABD的外接圆⊙O上！因为AC=AB，所以点C和点B在⊙O上，且到点A的距离相等，即AC=AB，所以它们在⊙O中是等弦。既然A、B、C、D四点共圆（都在⊙O上），那么AD和CD都是⊙O的弦。我们来看看弦AD和CD所对的圆周角。弦AD所对的圆周角∠ABD=40°（已证）。弦CD所对的圆周角是∠CAD=20°吗？或者，∠CAD=20°，它所对的弧CD的度数是40°（因为圆周角等于弧度数的一半）。而弦AD所对的弧AD的度数是80°，所以弦AD的长度等于弧AD度数一半的正弦值乘以直径（在同一个圆中，弦长与所对圆心角的正弦成正比）。弧AD是80°，弧CD是40°，那么弦AD所对的圆心角是80°，弦CD所对的圆心角是40°？不，前面我们得到弧AD的度数是80°，所以其对应的圆心角是80°，弦AD的长度=2Rsin(40°)。弧CD的度数是40°，对应的圆心角是40°，弦CD的长度=2Rsin(20°)。这似乎AD不等于CD。哦，我哪里错了？因为点C在⊙O上，那么∠ACD是⊙O的圆周角，它所对的弧是AD。弧AD的度数是80°，所以圆周角∠ACD=弧AD度数的一半=40°，这与已知∠ACD=40°完全一致！这就更加确认了A、B、C、D四点共圆。现在，AD和CD都是⊙O的弦。我们要证AD=CD，只需证明它们所对的弧相等或者所对的圆心角相等，或者所对的圆周角相等。∠ACD=40°，它所对的弧是AD（已证弧AD=80°）。∠CAD=20°，它所对的弧是CD，所以弧CD的度数=2×20°=40°。那么，AD所对的弧是80°，CD所对的弧是40°，AD不对。等等，AD所对的圆周角除了∠ABD，还有没有别的？在⊙O上，弧AD所对的圆周角还可以是∠ACD吗？不，∠ACD对的是弧AD。是的，∠ACD=40°，它对的弧AD就是80°。而∠CAD=20°，它对的弧CD是40°。那么，我们看弦AD和CD所对的圆心角。弧AD是80°，所以圆心角∠AOD=80°；弧CD是40°，圆心角∠COD=40°。在⊙O中，OA=OC=OD（半径）。在△AOD中，OA=OD，∠AOD=80°，所以∠OAD=∠ODA=(180°-80°)/2=50°。在△COD中，OC=OD，∠COD=40°，所以∠OCD=∠ODC=(180°-40°)/2=70°。我们再看∠ADC，它是∠ODC-∠ODA吗？不，点O的位置在哪里？如果A、B、C、D都在⊙O上，且弧AB=