2026年数学竞赛试题：数列与函数难题解析考试

2026年数学竞赛试题：数列与函数难题解析考试考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值为（）A.16B.17C.18D.192.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）A.3B.4C.5D.63.数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，b_n+1=b_n+2n，则S_4的值为（）A.20B.22C.24D.264.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）A.1B.2C.3D.45.数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n(n+1)，则c_3的值为（）A.6B.12C.24D.366.函数h(x)=x^2-4x+3的图像与x轴的交点个数为（）A.0B.1C.2D.37.数列{d_n}的前n项和为T_n，若d_1=1，d_n+1=2d_n，则T_3的值为（）A.7B.8C.9D.108.函数k(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.39.数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n，则e_4的值为（）A.81B.80C.79D.7810.函数m(x)=x^2-2x+1在区间[-1,3]上的值域为（）A.[0,4]B.[1,4]C.[0,3]D.[1,3]二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n，则通项公式a_n=_________。12.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程为_________。13.数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，b_n+1=b_n+n，则S_5的值为_________。14.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于_________对称。15.数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n(n+1)，则通项公式c_n=_________。16.函数h(x)=x^3-3x的图像的拐点坐标为_________。17.数列{d_n}的前n项和为T_n，若d_1=1，d_n+1=2d_n，则通项公式d_n=_________。18.函数k(x)=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标为_________。19.数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n，则通项公式e_n=_________。20.函数m(x)=x^2-2x+1的图像的顶点坐标为_________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n，则a_4=8。（）22.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上单调递减。（）23.数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，b_n+1=b_n+n，则S_n是n^2的倍数。（）24.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为0。（）25.数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n(n+1)，则c_4=24。（）26.函数h(x)=x^2-4x+3的图像与y轴的交点坐标为(0,3)。（）27.数列{d_n}的前n项和为T_n，若d_1=1，d_n+1=2d_n，则T_n是2^n-1的倍数。（）28.函数k(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的零点个数为2。（）29.数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n，则e_3=9。（）30.函数m(x)=x^2-2x+1的图像是抛物线，开口向上。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求通项公式a_n。32.求函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值。33.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，b_n+1=b_n+n，求通项公式b_n。34.求函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值及取得最小值时的x值。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n(n+1)，求c_5的值。36.求函数h(x)=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标。37.已知数列{d_n}的前n项和为T_n，若d_1=1，d_n+1=2d_n，求T_4的值。38.求函数m(x)=x^2-2x+1在区间[-1,3]上的值域。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_2=2×1+1=3，a_3=2×3+1=7，a_4=2×7+1=15，a_5=2×15+1=31，故选B。2.C解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=5，f(1)=-1，f(2)=3，故最大值为5。3.C解析：b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11，S_4=2+4+7+11=24。4.B解析：g(x)=|x-1|+|x+1|在x=1时取得最小值2。5.C解析：c_2=c_1×2=2，c_3=c_2×3=6，c_4=c_3×4=24。6.C解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，得x=2，f(2)=3，故交点为(2,0)。7.A解析：d_2=2×1=2，d_3=2×2=4，d_4=2×4=8，T_3=1+2+4=7。8.C解析：k'(x)=3x^2-6x，令k'(x)=0，得x=0或x=2，k(0)=2，k(2)=0，k(3)=2，故零点为x=2。9.A解析：e_2=3×1=3，e_3=3×3=9，e_4=3×9=27，e_5=3×27=81。10.B解析：m(x)=(x-1)^2，顶点为(1,0)，故值域为[0,4)。二、填空题11.3^(n-1)解析：数列是等比数列，公比为3，通项公式a_n=3^(n-1)。12.x=2解析：对称轴为x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2。13.35解析：b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11，b_5=b_4+5=16，S_5=2+4+7+11+16=35。14.y轴解析：g(x)是偶函数，图像关于y轴对称。15.n!解析：c_2=c_1×2=2，c_3=c_2×3=6，c_4=c_3×4=24，通项公式c_n=n!。16.(1,-2)解析：h'(x)=3x^2-3，令h'(x)=0，得x=±1，h(1)=-2，拐点为(1,-2)。17.2^(n-1)解析：数列是等比数列，公比为2，通项公式d_n=2^(n-1)。18.(1,0)和(3,0)解析：令x^2-4x+3=0，得x=1或x=3，交点为(1,0)和(3,0)。19.2^(n-1)解析：数列是等比数列，公比为2，通项公式e_n=2^(n-1)。20.(1,0)解析：m(x)=(x-1)^2，顶点为(1,0)。三、判断题21.√解析：a_4=2×2+1=5，故错误。22.×解析：f'(x)=3x^2-3，在x=0时取得极小值，故非单调递减。23.√解析：b_n=n+1，S_n=2+3+4+...+n+1=n(n+3)/2，是n^2的倍数。24.×解析：最小值为2，取得最小值时x=1。25.√解析：c_4=24，故正确。26.√解析：令x=0，得y=3，故正确。27.√解析：T_n=1+2+4+...+2^(n-1)=2^n-1，故正确。28.√解析：零点为x=1和x=2，故正确。29.×解析：e_3=3×3=9，故错误。30.√解析：m(x)=(x-1)^2，开口向上，故正确。四、简答题31.解：a_n+1=2a_n+1，则a_n+1+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，b_n=2^(n-1)，故a_n=2^(n-1)-1。32.解：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=5，f(1)=-1，f(2)=3，最大值为5，最小值为-1。33.解：b_n+1=b_n+n，则b_n+1-b_n=n，b_n=(n-1)+n+...+1=n(n+1)/2-1，b_n=n(n+1)/2-1。34.解：g(x)=|x-1|+|x+1|，当x<-1时，g(x)=-x+1-x-1=-2x-2；当-1≤x≤1时，g(x)=x-1-x-1=-2；当x>1时，g(x)=x-1+x+1=2x；最小值为-2，取得最小值时x∈[-1,1]。五、应