数学教学论（第3版）课件 第九章5 数学建模与数学教育

第五节数学建模与数学教育主讲教师：第九章数学课程改革中的热点问题研究节目录123数学建模的相关概念中学阶段数学建模素养的培养数学建模的一般过程4数学建模案例5开展数学建模教育的作用所谓模型是一种结构，是通过对原型的形式化或模拟与抽象得到的，是一种行为或过程的定量或定性的表示，通过它可以认识所代替的原型的性质和规律。例如，地理课上使用的地球仪和地图是地球表面的模型，深圳的“锦绣中华”是中国许多名胜古迹模型的集合；再如，北京的世界公园是世界上许多名胜模型的集合。1数学建模的相关概念1.1数学模型模型的分类很复杂，按照不同的考虑方式，有不同的分类方法。按模型的表达形式，模型大致地可分为实体模型和符号模型两大类。实体模型包括实物模型（例如，建筑物模型，作战用的沙盘模型，长江截流模型等，它们仅是将现实物体的尺寸加以改变，看起来比较逼真）和模拟模型（如地图、线路图等，它们在一定假设之下，用形象鲜明、便于处理的一系列符号代表现实物体的特征）。符号模型通常包括数学模型、仿真模型和化学、音乐等学科的符号模型，也包括用自然语言（如用汉语、英语等语言）对事物所作的直观描述，因此，符号模型也称语言模型。1数学建模的相关概念1.1数学模型数学模型（mathematicalmodel）是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。它或者能够解释特定现象的现实生态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。关于数学模型的含义有以下两种理解方式。1数学建模的相关概念1.1数学模型（1）广义的理解：一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型。例如：由于人们在实际生活中对计数的需要，算术便产生了，算术正是分享猎物、计算盈亏等实际问题的数学模型；方程是表示平衡关系的数学模型；函数是表示物体变化运动的数学模型；几何则是表示物体空间结构的数学模型。1数学建模的相关概念1.1数学模型（2）狭义的理解：数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构。这一框架或结构可以用一组方程来表示，可用数学解析式或函数关系式来表示，也可以用程序语言、图形、图表等表示。例如：二元一次方程组是“鸡免同笼”问题的数学模型；一次函数是匀速直线运动的数学模型；“一笔画”问题是在应用数学中，数学模型一般都是指后面这一类，这也是我们主要研究的。我们在一般情况下是按狭义理解数学模型的。1数学建模的相关概念1.1数学模型数学模型是数学抽象的产物，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学关系结构。相应地，数学建模即是对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，分析数学模型，验证数学模型的全过程。通过对实际问题抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。应当注意，数学模型不是对现实系统的简单模拟，它是人们用以认识现实系统和解决实际问题的工具。因此，数学建模是对现实对象的信息进行提炼、分析、归纳、翻译的结果。1数学建模的相关概念1.2数学建模《标准(2022年版）》指出，在小学阶段，数学建模素养表现为模型意识，意在培养学生对于数学模型普适性的初步认识；在初中阶段，数学建模素养体现为模型认知，即深刻理解并认识到数学模型在解决实际问题中的重要作用，而模型意识则是构建这种认知的基础。进人高中阶段，《标准（2017年版2020年修订)》对数学建模教学提出了新的要求。在核心素养视城下审视数学建模,把握数学建模素养的内涵和价值，对于教师实施数学建模教学尤为重要。2中学阶段数学建模素养的培养《标准（2017年版2020年修订)》指出:“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。”这其中蕴含着对数学建模能力的要求:首先，需将实际问题抽象为数学表达；其次，利用数学语言准确描述问题；最后，通过数学手段建立模型并求解。从课程标准给出的数学建模的主要过程中能够感知数学建模素养的多层内涵，除却知识的应用层面，更涉及方法、思维、价值、文化等深厚意蕴。数学建模素养与其余五个数学核心素养紧密相连，是学生关键能力发展的有力抓手。2中学阶段数学建模素养的培养2.1数学建模素养的内涵通过数学模型，数学得以打破其内部的固有界限，搭建起数学抽象与具体现实之间的桥梁。从这个意义上看，数学模型的出发点不仅仅是数学，还有现实世界的隐喻。并且，数学模型的研究手法也不是单向的，需要综合数学理论与现实背景，以形成既具备数学严谨性又能描述现实世界的结论。因此，数学模型的核心价值往往侧重于其对特定学科领域的实际贡献，而非是单纯数学层面的探索。以社会学中的人口发展模型为例，社会对其的关注焦点，更多在于模型能否精准描述人口总量和结构变动的规律，而非仅限于数学模型构造的精妙。2中学阶段数学建模素养的培养2.2数学建模素养的学科价值从《标准（2017年版2020年修订）》中给出的数学课程目标来看，要求经过高中数学课程的学习，学生能够自觉、有目的地使用数学语言来描述现实世界的情境，并且能够发现和提出相关的问题，从而感受数学与现实生活的联系；可以用数学的模型解决现实生活中的问题，并逐步积累数学实践的经验；可以了解到数学模型在自然科学、社会、工程技术等多个领域的应用价值，这不仅有助于提升实际操作能力，还能增强创造力和科学探索精神。从课程目标中可以清晰感知到数学建模素养的育人价值，而这种育人价值也是数学建模的课程目标所在。2中学阶段数学建模素养的培养2.3数学建模素养的育人价值数学教育界中对数学建模过程的定义也是类似的。通常认为，数学建模是周期式的循环过程，这种循环过程体现为“现实世界”与“数学世界”之间不断转换，从而运用数学来解决现实问题。不同研究对建模环节的划分提出不同建议。有些研究提出四阶段循环的数学建模框架，之后又发展出五阶段循环框架、七阶段循环框架等，甚至在此基础上发展出了双重循环框架。其中引用率较高的是布卢姆提出的七阶段建模循环框架，其框架与专业建模者高度相似。3数学建模的一般过程《标准（2017年版2020年修订）》中也提出了数学建模过程主要包括“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”，并给出了数学建模基本过程框架图。课程标准强调了现实问题的解决，提供了一个实用的流程，这个流程具有更好的可操作性，有助于教师与学生在实际教学活动中更好地掌握与应用。3数学建模的一般过程现就一般情况给出数学建模的步骤：3数学建模的一般过程模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验对一个实际问题进行数学建模，其价值在于能在已有的基础上有所创造。因此，在建模前就要了解有关背景知识，在此基础上分析问题，明确建立模型的目的，掌握对象的各种信息（如统计数据等)，弄清实际对象的特征，查阅前人在这方面的工作成果。总之，就是要做好建立模型的准备工作。3数学建模的一般过程3.1模型准备模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验要建立一个合理的数学模型，必须分析清楚哪些是主要的本质的因素，哪些是次要的非本质的因素。其目的就在于选出主要因素忽略非主要因素，这样不但使问题简化，便于进行数学描述，而且抓住了问题的本质。3数学建模的一般过程3.2模型假设模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验以建立“七桥问题”的数学模型为例，欧拉不考虑元素的长短与大小，也不涉及具体量的计算，而只关注研究对象中与位置关系有关的性质，在研究过程中，为了简化问题，把陆地、岛与半岛简化抽象成点，桥简化抽象成线，忽略次要因素的影响，作出恰当假设。欧拉不拘泥于解决个别的特殊问题，而是要解决具有一般性、普遍性的问题，这样才使问题的解决更具有科学价值，更能推动科学的发展。3数学建模的一般过程3.2模型假设模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验这是整个数学建模中最关键的一步，是一个从实际到数学的过程。在此过程中，应当根据所做的假设，利用适当的数学工具建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学结构。3数学建模的一般过程3.3模型建立模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验对于上述建立的模型进行数学上的求解，包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等方面，会用到传统的和近现代的数学方法，特别是计算机技术。3数学建模的一般过程3.4模型求解模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验对上述求得的模型结果进行数学上的分析。有时是根据问题的性质，分析各变量的依赖关系或稳定性质；有时则根据所得结果，给出数学上的预测；有时则是给出数学上的最优决策或控制。3数学建模的一般过程3.5模型分析模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验完成模型的设计及求解之后，还需要对模型的各种性能作出评价，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性。它一般包括稳定性和敏感性分析、统计检验和误差分析、新旧模型的对比、实际可行性检验等几个方面。显然，这一步对于模型的成败是非常重要的，并且是必不可少的。若检验结果不符合或部分不符合要求，那么必须回到建模之初，对假设进行修改或补充，重新建模；若检验结果与实际情况相符，则可进行最后的工作一一模型应用。具体的数学建模过程如图9-9所示。3数学建模的一般过程3.6模型检验3数学建模的一般过程3.6模型检验需要指出的是，并非所有建模过程都要经过上述步骤，有时各个步骤之间的界限也不那么明显。因此,在建模过程中不要局限于形式上的按部就班,重要的是要根据对象的特点和建模的目的,去粗取精,去伪存真,从繁到简。4数学建模案例4.1问题情境每逢佳节来临之际，如春节、元旦，在欢乐、祥和、热闹、喜庆的日子里，家家户户都要吃饺子。在包饺子的时候，人们总希望面与馅比例合适，既不剩面也不剩馅，做到恰到好处。然而有时会不随人愿，可能面多，也可能馅多。那么，在面一定的情况下，馅多了怎么办？在通常情况下，1kg面，1kg馅，包100个饺子。现在，若1kg面不变，馅比1kg多了，试问是多包几个使饺子小些，还是少包几个使饺子大些呢？4数学建模案例4.2问题假设（1）皮的厚度一样。（2）形状大小相同。（3）把包饺子看成包汤圆，即把饺子看成汤圆形状的圆球形。4数学建模案例4.3建立数学模型若将1kg面做成一个圆形大皮（极限状态），设其半径为R，面积为S大,包成体积为V大的饺子；若将1kg面做成n个圆形小皮，设每个小皮的半径为r，面积为S小，每个小皮包成的饺子体积为V小，此时在S大=nS小的情况下，如图9-10所示。建立数学模型：4数学建模案例4.4模型求解与分析从

可以看出，皮越大越能装馅，这与人们日常生活的经验是一致的。因此，计算一下，在面一定（如1kg）的情况下，包100个饺子，用1kg的馅，那么，包50个饺子用多少馅。经过计算可知，面量一定时，若100个饺子包1kg馅，则50个饺子包1.4kg馅。4数学建模案例4.5模型应用根据以上模型，可以得到前面所提出问题的答案。在1kg面不变，馅比1kg多的情况下，应少包几个，包大些，即在面一定的情况下，馅多了应使皮大一些，少包几个。从某种意义上说，数学建模就是一次科研活动的小小缩影，从教学角度来看，数学建模学习方式是一种广义的研究性学习。开展数学建模教育有利于学生将学习过的数学知识与方法同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际问题联系起来。教学中，不仅应使学生知道数学有用，怎样用，更要使学生体会到在真正的实际应用中还要继续进行数学知识的学习。开展数学建模教育有以下作用。5开展数学建模教学的作用数学建模是一个从实际到数学，再从数学到实际的过程。模型得到的结果是否符合实际，是模型好坏的重要标志。每一个数学模型建立之后，都要经过结果分析环节，考虑其在实际中的合理性。在这样的训练中就逐渐培养了学生们注重实际的观念，为以后从事实际工作打下了良好的基础。5开展数学建模教学的作用5.1可以促进学生树立数学应用的意识，增强解决实际问题的能力用数学方法来解决实际问题，先要将实际问题抽象成数学模型，作为数学结构来研究分析。实际上，数学建模过程就是经验材料的数学组织化，而数学材料的逻辑组织化是数学应用的过程。从方法论角度看，数学模型是联系认识主体和实体的环节，是一种数学思想方法；从数学角度看，数学建模又是一种数学活动。因此，开展数学建模教育，可以培养学生的数学思维能力,提高学生的数学素质。5开展数学建模教学的作用5.2可以培养学生良好的数学观和方法论在建模过程中，往往要求学生充分发挥联想，把表面上完全不同的实际问题，用相同或相似的数学模型去描述它们。通过这样的训练，除了能使学生学会灵活运用数学知识，还可以培养学生的观察力和想象力。这是由于知识是有限的，而想象力涵盖着世界上的一切，可以使知识无限地延展。从这种意义上讲，想