曲线及曲面画法

§9.1曲线

第1\1页本课主要内容:(概述、线的分类、线投影的一般性质、圆的投影和椭圆的投影)概述曲线是点连续地改变方向运动的轨迹。当点的运动无一定规律时，则形成的曲线称为不规则曲线；如果点的运动有一定规律时，则形成的曲线称为有规则的曲线。作曲线的投影时，需定出曲线上一定数量点的投影，然后将同面投影点依次光滑连接即可。线的分类按曲线上所有点的相对位置可分为两大类曲线，一类叫平面曲线，即曲线上所有点都在同一个平面内，如圆、椭圆、双曲线、抛物线等；另一类叫空间曲线，即曲线上任意连续四个点不在同一平面内，如螺旋线等。图9-1平面曲线（ABC）与投影面垂直时的投影线投影的一般性质1.曲线的投影一般仍为曲线。当曲线所在的平面垂直投影面时，它在该投影面上的投影为一直线，如图9-1所示。2.曲线所在的平面与某投影面平行时，它在该投影面的投影反映实形，如图9-2所示。3.曲线与直线相切，其同面投影仍相切（如图9-3）。4.曲线的二重点k（自身的交点），其投影后的性质不变(如图9-4)。图9-2平面曲线（ABC）与投影面平行时的投影图9-3曲线AB与直线CD相切时的投影图9-4曲线AB的二重影K的投影圆和椭圆的投影1．圆的投影圆是最常见的平面曲线，当圆平行于某一投影面时，它在该投影面上的投影反映圆的实形，如图9-5a所示；当圆垂直于某一投影面时，它在该投影面上的投影为一直线；当圆倾斜于某一投影面时，它在该投影面上的投影为椭圆（如图9-5b）。椭圆的作法，可在圆周上取一定数量的点，并求出各点的投影，依次光滑连接即为所求，或在确定它的长短轴方向及其长度后运用四心圆法近似作图即可。如图9-5b所示，一半径为R的正垂圆的正面投影为一直线，其长度等于圆的直径，它的水平投影为一椭圆，其长轴为圆的正垂线直径，CD的水平投影cd,长度等于该圆直径，短轴为圆的正平线直径AB的水平投影ab，此椭圆采用四心圆法近似作出。图9-5平行面及垂直面中圆的投影图9-6换面法求作一般位置面内圆的投影2.椭圆的投影如图9-6所示，已知圆位于平行四边形平面ABCD上，圆心为该平面上一点O，半径为R，求作该圆的投影。由于平行四边形ABCD为一般位置平面，在该平面内圆的各投影都是椭圆，如果把平行四边形ABCD平面换面成投影面的垂直面（正垂面、铅垂面），可画出圆的水平投影椭圆及正面投影椭圆。用图9-5b的作图方法，即可画出圆的水平投影椭圆及正面投影椭圆。§9.2曲面

第1\3页本课主要内容:(概述、曲面的分类、曲面的表示法及可展直纹曲面、不可展直纹曲面、曲纹面)概述曲面可看成动线运动时的轨迹，形成曲面的动线称为母线，母线在曲面上任一位置称之为素线，母线为直线时所形成的曲面中心称为直纹面；母线为曲线时所形成的曲面称为曲纹面。母线作规则运动时所形成的曲面称为规则曲面。控制母线运动的点、线、面称之为定点、导线和导面。如图9-7所示，直母线AB沿曲导线Ｌ运动时，并始终平行于直导线MN，这样就形成了一个柱面。母线AB在柱面上任一位置（如图9-7中A1B1），称为素线。图9-7规则曲面的形成图9-8圆柱面的几种形成方法当母线绕某一直线作回转运动时形成的曲面称为回转面，而这条直线称之为回转轴。需提出，一个曲面的形成是多种多样的，如图9-8圆柱面，可看成直母线绕轴线Ｏ’Ｏ回转运动时而形成的圆柱回转面，也可看成是曲母线圆沿轴向位移而形成的圆柱面。曲面的分类根据曲面母线的性质、形成方法等，曲面可分为：曲面的表示法曲面用投影表示时，作图的基本原则是画出决定该曲面的一些几何要素的投影，如形成曲面的导线、导面、导点及母线等的投影，还应画出曲面各个投影的轮廓线。如图9-9所示，母线为直线AB，导线为L，直导线为MN，两面投影的轮廓线为a1b1、a2b2。可展直纹曲面可展直纹曲面的特点，其曲面是由直母线运动而形成的。该曲面上相邻两条素线彼此平行或相交，这种曲面能不改变其面积而展开成平面图形，常见的有柱面、锥面、切线曲面等。§9.3螺旋线和螺旋面

第1\1页本课主要内容:(螺旋线、螺旋面)螺旋线螺旋线是应用比较广的一种空间曲线。螺旋线可以在不同的曲面上形成，常见的螺旋线有圆柱螺旋线、圆锥螺旋线等。1.圆柱螺旋线(1)柱螺旋线的形成当一动点A沿着导圆柱的母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱面轴线作等角速回转运动，点A的运动轨迹称为圆柱螺旋线（图9-19a）。

图9-19；圆柱螺旋线形成、投影画法及螺旋线的展开(2)圆柱螺旋线的基本要素（a）导圆柱面的直径D。（b）导程Ph动点A绕圆柱面回转一周沿轴向移动的距离。（c）旋向螺旋线的旋转方向有右旋及左旋之分。(3)圆柱螺旋线的画法根据圆柱螺旋线的三个基本要素，可画出圆柱螺旋线的投影图如图9-19b所示（右旋螺旋线）。

(a)将导面的水平投影（圆周）等分为若干等分（图中为12等分），并按逆时针方向顺次标记为0、1、2…11、12各等分点；而在正面投影图上将导程Ph作同数等分（12等分）并自上而下标记为00、10、20、30…110、120、各等分点。

(b)过等分点00、10、20、30…110、120作OX轴平行线与过水平投影各等分点0、１、２…11、12，作OX轴的垂线对应相交，可得0'、1'、2'…11'、12'，然后依次光滑连接即得螺旋线的正面投影（不可见部分画成虚线），螺旋线的水平投影在圆周上。

(c)圆柱螺旋线的展开图6—19是圆柱螺旋线的展开图，螺旋线是周长πD和导程Ph为直角三角形的斜边。每一导程螺旋线长度L=。图中的a为圆柱螺旋线的升角tga=，它的余角b称为螺旋角。2.圆锥螺旋线一动点沿圆锥面上的直母线作匀速直线运动，而母线同时又绕圆锥轴线作等角速回转运动，则动点在锥面上的轨迹称为圆锥螺旋线。母线回转一周时，动点沿轴线方向移动的距离Ph称为导程。圆锥螺旋线的画法和圆柱螺旋线类似，也是将导面的底圆和导程分为同数等分（12等分）；在圆锥面上作出各条素线的投影，各条素线的正面投影与过导程等分点所作的轴平行线相交，可得a'、b'、c'…m'，既为圆锥螺旋线上各点的正面投影，再求出相应的水平投影a、b…m，然后依次光滑连接各点（不可见部分画为虚线），既得圆锥螺旋线的两面投影。如图9-20所示，为右旋圆锥螺旋线，其水平投影是一条阿基米德螺旋线。图9-20圆锥螺旋线画法螺旋面1.渐开线螺旋面直母线作螺旋运动的同时，且与导圆柱面上的螺旋线相切形成的曲面称为渐开线螺旋面。如图9-21中直母线AB绕轴线OO作螺旋运动，同时与导圆柱面上的螺旋线相切（切点为A