单招数学基础试题及答案

单招数学基础试题及答案单招数学基础试题及答案一、选择题题目1下列函数中，是奇函数的是（）A.$y=x^2$B.$y=x^3$C.$y=|x|$D.$y=2^x$**答案**：B**解析**：对于选项A，函数$y=x^2$，其定义域为$R$，且$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，所以$y=x^2$是偶函数，不是奇函数。对于选项B，函数$y=x^3$，其定义域为$R$，且$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，所以$y=x^3$是奇函数。对于选项C，函数$y=|x|$，其定义域为$R$，且$f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$，所以$y=|x|$是偶函数，不是奇函数。对于选项D，函数$y=2^x$，其定义域为$R$，$f(-x)=2^{-x}=(\frac{1}{2})^x$，$-f(x)=-2^x$，$f(-x)\neq-f(x)$，所以$y=2^x$是非奇非偶函数。题目2已知集合$A=\{x|-1\ltx\lt3\}$，$B=\{x|0\leqslantx\leqslant4\}$，则$A\capB=$（）A.$\{x|-1\ltx\leqslant4\}$B.$\{x|0\leqslantx\lt3\}$C.$\{x|-1\ltx\leqslant0\}$D.$\{x|3\leqslantx\leqslant4\}$**答案**：B**解析**：集合$A=\{x|-1\ltx\lt3\}$，$B=\{x|0\leqslantx\leqslant4\}$，根据交集的定义：设$A$，$B$是两个集合，由所有属于集合$A$且属于集合$B$的元素所组成的集合，叫做集合$A$与集合$B$的交集，记作$A\capB$。所以$A\capB=\{x|0\leqslantx\lt3\}$。题目3若$\sin\alpha=\frac{1}{3}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，则$\cos\alpha=$（）A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$B.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$D.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$**答案**：B**解析**：根据三角函数平方关系$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，可得$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$。已知$\sin\alpha=\frac{1}{3}$，则$\cos^{2}\alpha=1-(\frac{1}{3})^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$，所以$\cos\alpha=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$。又因为$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，在这个区间内$\cos\alpha\lt0$，所以$\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。题目4等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$d=2$，则$a_{5}=$（）A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$**答案**：C**解析**：等差数列的通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$（其中$a_{n}$为第$n$项的数值，$a_{1}$为首项，$n$为项数，$d$为公差）。已知$a_{1}=1$，$d=2$，$n=5$，将其代入通项公式可得：$a_{5}=a_{1}+(5-1)d=1+4\times2=1+8=9$。题目5已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$m=$（）A.$3$B.$4$C.$5$D.$6$**答案**：D**解析**：若两个向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$平行，则$x_1y_2-x_2y_1=0$。已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，那么$1\timesm-3\times2=0$，即$m-6=0$，解得$m=6$。二、填空题题目1函数$y=\sqrt{x-1}$的定义域为__________。**答案**：$\{x|x\geqslant1\}$**解析**：要使根式有意义，则根号下的数须大于等于$0$，即$x-1\geqslant0$，解得$x\geqslant1$，所以函数$y=\sqrt{x-1}$的定义域为$\{x|x\geqslant1\}$。题目2若$log_{2}x=3$，则$x=$__________。**答案**：$8$**解析**：根据对数的定义：如果$a^b=N$（$a\gt0$，且$a\neq1$），那么数$b$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$log_{a}N=b$。已知$log_{2}x=3$，则$x=2^3=8$。题目3椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率$e=$__________。**答案**：$\frac{\sqrt{7}}{4}$**解析**：对于椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gtb\gt0$），其中$a$为长半轴长，$b$为短半轴长，$c$为半焦距，且$c^2=a^2-b^2$，离心率$e=\frac{c}{a}$。在椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$中，$a^2=16$，$b^2=9$，则$a=4$，$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。题目4从$5$名男生和$4$名女生中任选$3$人参加活动，其中至少有$1$名女生的选法有__________种。**答案**：$74$**解析**：“至少有$1$名女生”的对立事件是“没有女生”，即选出的$3$人都是男生。从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。从$5$名男生中选$3$人的选法有$C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1}=10$种。从$5+4=9$人中任选$3$人的选法有$C_{9}^3=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9\times8\times7\times6!}{3!\times6!}=84$种。所以至少有$1$名女生的选法有$C_{9}^3-C_{5}^3=84-10=74$种。题目5若直线$y=kx+1$与圆$x^{2}+y^{2}=1$相切，则$k=$__________。**答案**：$0$**解析**：圆$x^{2}+y^{2}=1$的圆心坐标为$(0,0)$，半径$r=1$。根据点$(x_0,y_0)$到直线$Ax+By+C=0$（$A$、$B$不同时为$0$）的距离公式$d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，直线$y=kx+1$可化为$kx-y+1=0$。因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{\vertk\times0-0+1\vert}{\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}}=1$，$\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$，两边平方可得$k^{2}+1=1$，解得$k=0$。三、解答题题目1已知等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}=4$，$a_{5}=32$，求$a_{1}$，$q$及$S_{6}$（$S_{n}$为前$n$项和）。**答案**：**解析**：设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$。根据等比数列通项公式$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$，可得$a_{2}=a_{1}q$，$a_{5}=a_{1}q^{4}$。已知$a_{2}=4$，$a_{5}=32$，则$\begin{cases}a_{1}q=4\\a_{1}q^{4}=32\end{cases}$，用$a_{1}q^{4}$除以$a_{1}q$可得：$\frac{a_{1}q^{4}}{a_{1}q}=\frac{32}{4}$，即$q^{3}=8$，解得$q=2$。将$q=2$代入$a_{1}q=4$，可得$a_{1}\times2=4$，解得$a_{1}=2$。等比数列的前$n$项和公式为$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)$，将$a_{1}=2$，$q=2$，$n=6$代入可得：$S_{6}=\frac{2\times(1-2^{6})}{1-2}=\frac{2\times(1-64)}{-1}=2\times(64-1)=126$。题目2解不等式$\frac{2x-1}{x+3}\gt0$。**答案**：**解析**：要使分式$\frac{2x-1}{x+3}\gt0$成立，则分子分母须同号，可得到$\begin{cases}2x-1\gt0\\x+3\gt0\end{cases}$或$\begin{cases}2x-1\lt0\\x+3\lt0\end{cases}$。解不等式组$\begin{cases}2x-1\gt0\\x+3\gt0\end{cases}$：由$2x-1\gt0$，解得$x\gt\frac{1}{2}$；由$x+3\gt0$，解得$x\gt-3$。取两者的交集，得$x\gt\frac{1}{2}$。解不等式组$\begin{cases}2x-1\lt0\\x+3\lt0\end{cases}$：由$2x-1\lt0$，解得$x\lt\frac{1}{2}$；由$x+3\lt0$，解得$x\lt-3$。取两者的交集，得$x\lt-3$。综合两个不等式组的解，不等式$\frac{2x-1}{x+3}\gt0$的解集为$\{x|x\lt-3或x\gt\frac{1}{2}\}$。题目3已知函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$。（1）求函数$f(x)$的单调区间；（2）求函数$f(x)$在区间$[-1,2]$上的最大值和最小值。**答案**：**解析**：（1）对函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$可得$f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。当$x\lt0$时，$f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增；当$0\ltx\lt2$时，$f^\prime(x)=3x(x-2)\lt0$，所以$f(x)$在$(0,2)$上单调递减；当$x\gt2$时，$f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0$，所以$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递