第一章　1.4.2　第1课时　距离问题

距离问题第一章1.4.2第1课时学习目标1.理解并掌握点到直线的距离、点到平面的距离的向量表示，理解运用向量运算求解空间距离的原理.(重点)2.能运用点到直线、点到平面的距离公式解决立体几何中有关距离的问题，掌握用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”.(难点)立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？导语内容索引0102点、直线、平面到平面的距离点到直线的距离04随堂演练03课时对点练01点到直线的距离问题1

知识梳理

在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离.典例解：

在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离.典例解：

在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离.典例解：

在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离.延伸探究1解：

在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离.延伸探究1解：

反思感悟02点、直线、平面到平面的距离问题2

知识梳理注意点

在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离.延伸探究2解：

在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离.延伸探究2解：

在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离.延伸探究3解：

在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离.延伸探究3解：

在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离.延伸探究4解：

在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离.延伸探究4解：

反思感悟(2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离.(3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离.

反思感悟课堂小结1.知识清单：(1)点到直线的距离.(2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化.2.方法归纳：数形结合、转化法.3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.03随堂演练1234

√

√12341234

1234

√1234

1234

12344.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为

.

04课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案BABDDABA题号91112131516答案2DABCBC1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112(2)解

∵A1C⊥平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥AC1，∴四边形AA1C1C为菱形，取A1C1的中点E，连接AE，∵∠ACC1=60°，∴△AA1C1为等边三角形.∴AE⊥A1C1.又AC∥A1C1，∴AE⊥AC.又AB⊥平面AA1C1C，AE⊂平面AA1C1C，∴AB⊥AE.14.13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.13141516

答案123456789101112基础巩固131415

16√

√答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415√16√

答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415√16答案123456789101112131415

168.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若M，N，P，Q分别为A1B1，BC，A1D1，DC的中点，则直线MN与直线PQ之间的距离为

.答案123456789101112131415

16答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415216答案123456789101112131415

1610.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形.(1)求线段BF的长；答案123456789101112解：13141516

10.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形.(1)求线段BF的长；答案123456789101112解：13141516

10.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形.(2)求点C到平面AEC1F的距离.答案123456789101112解：13141516

10.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形.(2)求点C到平面AEC1F的距离.答案123456789101112解：13141516

11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，在空间中到三条棱AB，CC1，A1D1所在的直线距离相等的点有A.0个 B.2个 C.3个 D.无数个答案123456789101112131415综合运用16√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415√16√√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

证明：

答案12345678910111213141516∵A1C⊥平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥AC1，∴四边形AA1C1C为菱形，取A1C1的中点E，连接AE，∵∠ACC1=60°，∴△AA1C1为等边三角形.解：

答案12345678910111213141516∴AE⊥A1C1.又AC∥A1C1，∴AE⊥AC.又AB⊥平面AA1C1C，AE⊂平面AA1C1C，∴AB⊥AE.解：

答案12345678910111213141516解：

答案12345678910111213141516解：

答案12345678910111213141516解：

解：

答案12345678910111213141516