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单自由度系统的无阻尼自由振动侯人鸾20101120061只有一个自由度的振动系统，简称单自由度系统。概念mk0

x

静平衡位置弹簧原长位置mkLm(a)(b)(c)2所谓无阻尼自由振动，是指振动系统受到初始扰动（激励）以后即不再受外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二阶线性常微分方程描述它的振动规律。概念3振动微分方程直线振动mk0x

x

m如图，振动体的质量为m，弹簧弹性系数（刚度）为k。取静平衡位置0-0为坐标原点，x为位移。当质量块离开平衡位置时，（2-1）弹簧力由牛顿第二定律得即4振动微分方程令并代入上式得（2-2）改写为振动微分方程的通解由欧拉公式得（2-3）5振动微分方程式中D1，D2

由初始条件确定（2-3）式表明：单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，从而合成一个简谐振动。可用下式表示（2-4）A——振幅（最大振动位移）；φ

0——初相位角，rad；ωn——振动系统的固有角频率（表示振动快慢），rad/s

6振动微分方程ωn：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系

不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和开始时刻系统所处的状态有关

将振动的零时刻初始条件代入（2-3）中，得7则得振动微分方程f——固有频率（系统每秒钟振动的次数），HzT——周期（振动一次所用的时间），s周期T是频率f的倒数8扭振微分方程扭转振动如图，轴本身质量不计，圆盘转动惯量为I。其扭转刚度为kθ——轴转动一单位转角所需加的力矩。以静平衡位置为起始位置，角位移坐标为θ。当圆盘做扭转振动时（2-4）扭振微分方程式I其弹性恢复力矩9扭振微分方程式（2-4）与式（2-1）形式完全一致，可解得扭振的固有角频率（2-5）将振动的零时刻初始条件代入（2-5）中，得10由此可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件。惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量；弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。无阻尼自由振动11幻灯片放映

12

例：

重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长l，截面抗弯刚度

EI求：梁的自由振动频率及振幅mh0l/2l/2无阻尼自由振动x静平衡位置13

例：复摆刚体质量

m对悬点的转动惯量

重心

G

求：复摆在平衡位置附近做微

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