1.5全称量词与存在量词学案-人教A版高中数学必修第一册

1.5全称量词与存在量词（学案）同学们，在我们以往的学习中，已经接触过不少数学命题，它们或是陈述事实，或是判断真假。今天我们来学习两类特殊的命题，它们的特点是含有“所有”“每一个”“存在”“至少有一个”这样的词语，这些词语在逻辑中被称为“量词”。准确理解和运用这些量词，对我们今后的数学学习，特别是进行逻辑推理至关重要。一、学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义，能够识别出自然语言中的全称量词和存在量词。2.掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能准确地用符号语言表示它们。3.学会判断全称量词命题和存在量词命题的真假。4.初步体会对全称量词命题和存在量词命题进行否定的方法。二、知识梳理（一）全称量词与全称量词命题在数学中，我们经常会遇到这样的语句：*“所有的正方形都是矩形。”*“每一个有理数都能写成分数的形式。”*“对于任意的实数x，都有x²≥0。”思考：这些语句有什么共同的特点？它们分别对哪个集合中的元素做出了怎样的判断？1.全称量词：我们把表示“全体”、“全部”、“每一个”、“任意一个”等含义的短语称为全称量词。常见的全称量词有：“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”等。通常，用符号“∀”表示“任意”。2.全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。这类命题的一般形式可以表示为：对M中任意一个x，p(x)成立。用符号简记为：∀x∈M，p(x)。其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句。例如：*“所有的正方形都是矩形”可以表述为“∀正方形x，x是矩形”。如果我们设M为所有正方形组成的集合，p(x)为“x是矩形”，那么这个命题就可以用符号表示为“∀x∈M，p(x)”。*“对任意实数x，都有x²≥0”设M为实数集R，p(x)为“x²≥0”，则符号表示为“∀x∈R，x²≥0”。（二）存在量词与存在量词命题再来看这样一些语句：*“存在一个实数x，使得x²-2x+1=0。”*“至少有一个素数不是奇数。”*“有些三角形是等腰三角形。”思考：这些语句又有什么共同的特点？它们与前面学习的全称量词命题有何不同？1.存在量词：我们把表示“个别”、“部分”、“存在一个”、“至少有一个”等含义的短语称为存在量词。常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等。通常，用符号“∃”表示“存在”。2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。这类命题的一般形式可以表示为：存在M中的元素x，使得p(x)成立。用符号简记为：∃x∈M，p(x)。其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句。例如：*“存在一个实数x，使得x²-2x+1=0”设M为实数集R，p(x)为“x²-2x+1=0”，则符号表示为“∃x∈R，x²-2x+1=0”。*“有些三角形是等腰三角形”设M为所有三角形组成的集合，p(x)为“x是等腰三角形”，则符号表示为“∃x∈M，p(x)”。（三）全称量词命题与存在量词命题的真假判断判断一个命题的真假是数学学习中的基本能力。对于全称量词命题和存在量词命题，它们的真假判断有其特殊性。1.全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的真假判断：要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)都成立。如果在集合M中找到一个元素x₀，使得p(x₀)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。（这种方法称为“举反例”）例如：*“∀x∈R，x²≥0”：对于任意实数x，x的平方都大于等于0，这是真命题。*“∀x∈R，x+1>x”：对于任意实数x，x+1总是比x大1，这是真命题。*“∀x∈N，2x是偶数”：自然数包括0和正整数，2x一定是偶数，这是真命题。*“∀x∈R，x²-1=0”：我们可以找到x=0，此时0²-1=-1≠0，所以这是假命题。2.存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假判断：要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x₀，使得p(x₀)成立即可。（这种方法称为“找特例”）如果在集合M中所有元素x，p(x)都不成立，那么这个存在量词命题就是假命题。例如：*“∃x∈R，x²-2x+1=0”：解方程x²-2x+1=0，得x=1，所以存在这样的实数x，是真命题。*“∃x∈{大于2的素数}，x是偶数”：素数中“2”是唯一的偶素数，但这里集合限定了“大于2的素数”，所以在这个集合中没有偶数，因此是假命题。（若去掉“大于2的”限制，则是真命题，因为2是素数且是偶数）*“∃x∈Z，使得x³<1”：整数包括负整数、0和正整数。例如x=0时，0³=0<1；x=-1时，(-1)³=-1<1，所以是真命题。（四）全称量词命题与存在量词命题的否定对一个命题进行否定，就是得到一个新命题，它与原命题的真假性相反。对于含有量词的命题，其否定形式需要特别注意量词的转换。1.全称量词命题的否定：全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是存在量词命题“∃x∈M，¬p(x)”。也就是说，将全称量词改为存在量词，并否定结论p(x)。例如：*原命题：“所有的矩形都是平行四边形。”（∀x∈{矩形}，x是平行四边形）否定：“存在一个矩形不是平行四边形。”（∃x∈{矩形}，x不是平行四边形）——显然原命题为真，其否定为假。*原命题：“∀x∈R，x²≥0。”否定：“∃x∈R，x²<0。”——原命题为真，否定为假。*原命题：“∀x∈N，x>0。”（这里假设N为正整数集，如果N包含0，则原命题为假）否定：“∃x∈N，x≤0。”——若N包含0，则原命题为假，否定为真。2.存在量词命题的否定：存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“∀x∈M，¬p(x)”。也就是说，将存在量词改为全称量词，并否定结论p(x)。例如：*原命题：“存在一个实数x，使得x²-2x+1=0。”（∃x∈R，x²-2x+1=0）否定：“对任意实数x，都有x²-2x+1≠0。”（∀x∈R，x²-2x+1≠0）——原命题为真（x=1时成立），其否定为假。*原命题：“有些三角形是等边三角形。”（∃x∈{三角形}，x是等边三角形）否定：“所有的三角形都不是等边三角形。”（∀x∈{三角形}，x不是等边三角形）——原命题为真，否定为假。*原命题：“∃x∈R，x+1=x。”否定：“∀x∈R，x+1≠x。”——原命题为假，否定为真。总结：否定全称得存在，否定存在得全称，同时否定结论。三、典型例题例1：判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题，并指出其中的量词。(1)每一个有理数都能写成分数的形式。(2)有些三角形不是直角三角形。(3)对任意的正实数，这个数的平方根也一定是正数。(4)存在一个自然数x，使得x+8=5。解：(1)是全称量词命题，量词是“每一个”。(2)是存在量词命题，量词是“有些”。(3)是全称量词命题，量词是“任意的”。(4)是存在量词命题，量词是“存在一个”。例2：用符号“∀”或“∃”表示下列命题。(1)对任意的实数a，b，都有a²+b²≥2ab。(2)存在实数x，使得x³>x²。(3)所有的偶数都是合数吗？（注意：这不是命题，因为它是疑问句）(4)任何一个实数除以1，仍等于这个实数。解：(1)∀a∈R，b∈R，a²+b²≥2ab。(2)∃x∈R，x³>x²。(3)不是命题，无需表示。(4)∀x∈R，x÷1=x。例3：判断下列命题的真假。(1)∀x∈R，x²-3x+2=0。(2)∃x∈R，x²-3x+2=0。(3)所有的素数都是奇数。(4)存在一个正整数，它既是偶数又是素数。解：(1)假命题。例如，当x=0时，0²-3×0+2=2≠0。(2)真命题。因为x=1或x=2时，方程成立。(3)假命题。素数2不是奇数，是偶数。(4)真命题。正整数2既是偶数又是素数。例4：写出下列命题的否定，并判断其真假。(1)p：∀x∈R，x²-x+1>0。(2)q：∃x∈R，x²+2x+2≤0。(3)r：所有的正方形都是矩形。(4)s：至少有一个实数x，使得x³+1=0。解：(1)¬p：∃x∈R，x²-x+1≤0。因为x²-x+1=(x-0.5)²+0.75≥0.75>0恒成立，所以p为真命题，¬p为假命题。(2)¬q：∀x∈R，x²+2x+2>0。因为x²+2x+2=(x+1)²+1≥1>0恒成立，所以q为假命题，¬q为真命题。(3)¬r：存在一个正方形不是矩形。原命题r是真命题，所以¬r是假命题。(4)¬s：对任意实数x，都有x³+1≠0。因为当x=-1时，x³+1=(-1)³+1=0，所以s是真命题，¬s是假命题。四、课堂练习1.下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题？并判断真假。(1)有的平行四边形是菱形。(2)所有的素数都是奇数。(3)∀x∈R，x²+1≥1。(4)∃x∈Z，x³<1。2.用符号“∀”或“∃”表示下列命题。(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数。(2)对所有的实数x，都有x+1>x。3.写出下列命题的否定，并判断其真假。(1)∀x∈R，|x|≥0。(2)∃x∈R，x²+x+1=0。五、思考与拓展1.命题“∀x∈M，p(x)”为真命题时，我们可以说“集合M中的所有元素都具有性质p”。那么，如何用集合的语言来描述这种情况？（提示：与集合的子集有关）2.尝试构造几个含有量词的数学命题，并判断其真假，然后写出它们的否定。六、学习小结1.本节课我们学习了全称量词（∀）、全称量词命题及其符号表示，存在量词（∃）、存在量词命题及其符号表示。2.掌握了判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法：全称看“每一个”，存在看“有一个”。3.学习了对全称量词命题和存在量词命题进行否定的方法：转换量词，并否定结论。即：*¬(∀x∈M，p(x))⇔∃x∈M，¬p(x)*¬(∃x∈M，p(x))⇔∀x∈M，¬p(x)七、作业布置1.教材习题（具体见教材对应章节）。2.补充练习：(1)判断下列命题的类型及真假：①任