27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　对数式的求值及其运用

05对数式的求值及其运用方法技巧1.对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做

真数.对数与指数间的关系:当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN,用图示表示如下:2.对数的性质(1)负数和0没有对数;(2)loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1);(3)

=N,logaaM=M(a>0,且a≠1,N>0,M∈R).3.对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga

=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).4.对数换底公式(1)换底公式:logab=

(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).(2)相关结论:logab·logba=1,即logab=

;logab·logbc·logcd=logad;lo

dm=

logcd(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0;n≠0).易错警示

1.对数式中的真数大于0.2.不是所有的指数式ax=N都能化为对数式,需满足a>0且a≠1,N>0,否则不能转化.如:(-2)2=4不能化为2=

log(-2)4.运算口诀

对数运算口诀真数相乘,对数相加.真数相除,对数相减.真数乘方,指数提前.深度剖析

换底公式的意义在于改变对数式的底数,把不同底问题转化为同底问题,以便进行计算或证明.1.对数式的化简与求值对数式化简与求值的关键是利用对数的性质、对数的运算性质、换底公式消除差异,一般遵循以下原

则:(1)将真数和底数都化成指数幂的形式,使真数和底数最简,然后用公式lo

Mn=

logaM(m≠0,M>0,a>0且a≠1)化简合并;(2)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式,究竟化成以什么数为底数的对数,要由已知

条件来确定,一般可以选择以10为对数式的底数进行换底;(3)逆用对数的运算性质,将同底对数的和、差、倍数运算转化为同底对数真数的积、商、幂的运算,

即把多个对数式转化为一个对数式;(4)如果对数的真数可以写成几个数(式)相乘除的形式,一般拆成几个对数相加减的形式,再进行化简合并;(5)对数中的真数为小数时一般要化为分数,进一步写成对数相减的形式;(6)对于含有多重对数符号的对数值,要从内到外逐层化简求值.2.对数与指数的综合运用(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算性质,尤其要注意条件和结论

之间的关系,进行正确的转化.(2)对于将连等指数式ax=by=cz作为已知条件的题目,通常令ax=by=cz=k(k>0),然后将指数式用对数式表示,

再由换底公式将指数的倒数化为同底的对数,从而解决问题.勘破疑难对数运算中的运算技巧:(1)lg2+lg5=1的应用技巧:如果出现lg2和lg5,那么一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等

使之出现lg2+lg5,再应用公式lg2+lg5=1进行化简.(2)logab·logba=1的应用技巧:如果出现两个对数相乘且两个对数的底数和真数位置颠倒,那么可用公式

logab·logba=1进行化简(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).典例1

(1)已知ma=20,logm2=b,且a-2b=1,则实数m的值为___________.(2)已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,

+

+

=0,则abc的值为___________.

1

5

思路点拨

(1)思路一:由ma=20,通过指对互化解出a,代入a-2b=1,结合对数的运算性质得结果.思路二:以

m的指数1为出发点,得m=m1=ma-2b=

,ma已知,m2b=(mb)2=22,代入求值.(2)设ax=by=cz=t,指对互化解出x,y,z,再结合公式logmn=

(m>0,m≠1;n>0,n≠1)求值.解析

(1)解法一:由ma=20得a=logm20.又logm2=b,所以a-2b=logm20-2logm2=logm20-logm4=logm

=logm5=1,解得m=5.解法二:由logm2=b得mb=2,所以m2b=4.又ma=20,所以

=ma-2b=m1=m=

=5.(2)设ax=by=cz=t.因为a,b,c是不等于1的正数,所以t>0且t≠1,所以x=logat,y=logbt,z=logct,所以

+

+

=

+

+

=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,所以abc=t0=1.

名师点睛在含有指数式与对数式的综合运算问题中,一般要将指数式与对数式进行互化,统一成一种

形式,无论是统一为指数式还是对数式,都要注意化为同底的形式,以便进一步使用指数或对数的运算

性质.典例2计算下列各式:(1)

lg

-

lg

+lg

;(2)log25×log34×log527+log2(log216);(3)(log43+log8

)(log316+log92)-

+lg25+lg4;(4)lg5(lg8+lg1000)+(lg

)2+lg

+lg0.06.解析

(1)解法一:原式=

(lg32-lg49)-

lg

+

lg(5×49)=

(5lg2-2lg7)-2lg2+

lg5+lg7=

lg2-lg7-2lg2+

lg5+lg7=

(lg2+lg5)=

.解法二:原式=lg

-lg4+lg7

=lg

×

×7

=

.(2)原式=log25×log322×log533+log2(log224)=log25×2log32×3log53+log24=6×

×

×

+log222=6+2=8.(3)原式=(lo

3+lo

)(log324+lo

2)-2+lg100=

-2+2=

log23×

log32=3.(4)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg

=3lg5·lg2+3lg5+3(lg2)2-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5