27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　判断或证明函数的奇偶性

08判断或证明函数的奇偶性重难点奇函数、偶函数的定义及图象特征

偶函数奇函数前提定义域关于原点对称

定义设函数f(x)的定义域为D,如果∀x

∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么

函数f(x)就叫做偶函数设函数f(x)的定义域为D,如果∀x

∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那

么函数f(x)就叫做奇函数图象关于y轴对称关于原点对称1.判断或证明具体函数的奇偶性(1)定义法:

(2)图象法:若函数f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数;若函数f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶函

数.(3)性质法:在公共定义域上,奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶,“奇±偶”的奇偶性不

能确定,要结合函数具体分析.勘破疑难

1.判断分段函数f(x)的奇偶性需分段判断f(x)与f(-x)的关系,一般是在每一个区间上任取自变

量,再向对称区间转化,验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,若函数在x=0处有意义,还要验证f(0).也可以

作出函数的图象,结合对称性判断.2.复合函数f(g(x))的奇偶性:一偶则偶,两奇为奇.2.判断或证明抽象函数的奇偶性已知抽象函数的关系式(关系式中含有x,y两个变量),判断f(x)的奇偶性,通常利用赋值法确定f(-x)与f(x)

的关系.常见的抽象函数的赋值规律如表:抽象函数形式赋值规律奇偶性f(x+y)=f(x)+f(y)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0;令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x)奇函数f(xy)=f(x)+f(y)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0;令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即f(-1)=0;令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),所以f(-x)=f(x)偶函数f(xy)=yf(x)+xf(y)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0;令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),即f(-1)=0;令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1),所以f(-x)=-f(x)奇函数f(xy)=f(x)f(y)令x=y=1,得f(1)=f(1)·f(1),此时需结合题目条件确定f(1);令x=y=-1,得f(1)=f(-1)·f(-1);再令y=-1即可判断奇偶性与f(1)的值有关勘破疑难用赋值法判断抽象函数的奇偶性时,要向有利于明确f(-x)与f(x)的关系的方向赋值.典例

(1)下列函数是奇函数的是

()A.f(x)=(

)2

B.f(x)=

C.f(x)=

D.f(x)=

(2)已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数x,y,满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1)=1,则下列结论错误的

是

()A.f(0)=2

B.f(x)为偶函数C.f(x)为奇函数

D.f(2)=-1

C

D

思路点拨

(1)结合奇函数的定义逐一判断即可,注意“定义域优先”原则.(2)对于抽象函数问题,考虑赋值法.解析

(1)对于A,f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,故A不符合题意.对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=

=

=f(x),所以f(x)为偶函数,故B不符合题意.对于C,f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)+f(x)=

+

=

+

=2≠0,所以f(x)不是奇函数,故C不符合题意.对于D,f(x)的定义域为R,关于原点对称,且∀x∈[-1,1],有-x∈[-1,1],f(-x)=-x;∀x∈(-∞,-1),有-x∈(1,+∞),f(-x)=(-x-1)2+1=(x+1)2+1=-[-(x+1)2-1];∀x∈(1,+∞),有-x∈(-∞,-1),f(-x)=-(-x+1)2-1=-(x-1)2-1=-[(x-1)2+1].综上,∀x∈R,都有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故D符合题意.(2)对于A,已知f(1)的值,要求f(0)的值,需使x,y满足的等式中仅存在f(1)和f(0).令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),又f(1)=1,所以f(0)=2,故A正确.对于B,C,判断f(x)的奇偶性,需得出f(x)与f(-x)的关系.解法一:令x=0,y=x,得f(x)+f(-x)=f(0)f(x),又f(0)=2,所以f(-x)=f(x),又f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,故B

正确,C错误.解法二:令x=0,得f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),即f(-x)