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文档简介

08一元二次函数零点的分布方法技巧1.函数的零点对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)有关的常用结论(1)判别式Δ=b2-4ac:若Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;若Δ=0,则方程有两个相等的实数根;若Δ<0,则

方程无实数根.(2)根与系数的关系:当Δ>0时,设方程的两根分别为x1和x2,则x1+x2=-

,x1x2=

.3.函数零点存在定理(1)条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0;(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的

解.名师点拨

函数的零点、函数的图象、方程的解的关系:

易错警示

1.函数的零点是实数,不是点,如f(x)=x+4的零点为-4,而不是(-4,0).2.并不是所有的函数都有零点,如y=

,y=x2+1均没有零点.设x1,x2是一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,且a>0)的两个零点,则x1,x2的分布情况如表:零点的分布图象等价条件x1<x2<k

k<x1<x2k1<x1<x2<k2

m<x1<k<x2<n

只有一个零点在(k1,k2)内

f(k1)f(k2)<0(f(k1)=0或f(k2)=0时单独验证)勘破疑难由一元二次函数的零点分布求参数的关键点:(1)定开口方向与判别式:由二次项系数的正负确定抛物线的开口方向;由题目对零点个数的要求确定

判别式Δ的符号.(2)抓端点函数值:把指定的分界点(区间端点)代入函数解析式中,通过零点与分界点的相对位置确定函

数值的正负.(3)看图象对称轴的位置:对“两个零点都在某一侧”或“都在某区间内”的情况,除了上述条件,还需

保证对称轴落在指定区域内.将上述所有条件得到的参数范围取交集,即可得到参数的最终取值范围.注意:若一元二次函数的零点分布在闭区间上,则应先对闭区间的端点单独考虑,再利用开区间的结论

解决问题.典例已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.(1)若f(x)有两个零点,一个比2大,另一个比2小,求实数m的取值范围;(2)若f(x)的两个零点都比1大,求实数m的取值范围;(3)若f(x)的两个零点x1,x2满足0<x1<1<x2<4,求实数m的取值范围.解析

(1)如图1所示,需满足f(2)<0,即22+2(m-1)×2+2m+6<0,解得m<-1.所以实数m的取值范围为(-∞,-1).(2)如图2所示,需满足

即

解得-

<m<-1.所以实数m的取值范围为

.(3)如图3所示,需满足

即

解得-

<m<-

.所以实数m的取值范围为

.

方法总结根据一元

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