27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版增分测评卷第四章　指数函数与对数函数

第四章指数函数与对数函数满分:150分时间:120分一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的)1.用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的正数零点的近似值时,得到参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984f(1.375)≈-0.260f(1.415)≈0.0054f(1.406)≈-0.056那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.01)可以是

()A.1.25

B.1.375

C.1.41

D.1.5

C

解析由题表中数据可得,f(1.406)·f(1.415)<0,且1.415-1.406=0.009<0.01,∴函数f(x)=x3+x2-2x-2的正数零点在(1.406,1.415)内,结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41.2.函数y=-2x与y=

的图象

()A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于直线y=x对称

D.关于原点对称

D

解析

解法一:设f(x)=-2x,则-f(-x)=-(-2-x)=

,所以函数y=-2x与函数y=

的图象关于原点对称.解法二:在同一平面直角坐标系内作出函数y=-2x与y=

的图象,如图,

由图可知,函数y=-2x与y=

的图象关于原点对称.3.已知log23=a,log27=b,则log4256用a,b可表示为

()A.

B.

C.

D.

B

解析

log4256=

=

=

=

.4.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是

()A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<c<a

C

解析∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log0.50.3>log0.50.5=1,c=log80.4<log81=0,∴c<a<b.5.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破,以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长,

现有一台计算机每秒能进行

×1012次运算,用它处理一段自然语言的翻译,需要进行2126次运算,那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为(参考数据:lg2≈0.301,100.829≈6.745)

()A.6.745×1022秒

B.6.745×1023秒

C.6.745×1025秒

D.6.745×1021秒

C

解析设处理这段自然语言的翻译所需时间为t秒,由题意得

×1012×t=2126,两边同时取对数,得lg

=lg2126,即lg5-2lg2+12+lgt=126lg2,则lgt=126lg2-lg5+2lg2-12=128lg2-lg

-12=129lg2-13≈25.829,所以t=1025.829=1025×100.829≈6.745×1025.6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=

-x,则不等式f(x-2)<4的解集为

()A.(1,3)

B.(-∞,3)

C.(1,+∞)

D.(-∞,1)∪(3,+∞)

A

解析当x≤0时,f(x)=

-x,易知f(x)在(-∞,0]上单调递减.因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.又f(1)=f(-1)=

-(-1)=4,所以不等式f(x-2)<4等价于f(|x-2|)<f(1),结合单调性得|x-2|<1,即-1<x-2<1,解得1<x<3,所以不等式f(x-2)<4的解集为(1,3).7.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是

()A.(-∞,2]

B.

C.

D.

C

解析因为函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)上单调递增,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以y=x2-ax+3a在区间[1,+∞)上单调递增,且x2-ax+3a>0在[1,+∞)上恒成立,所以

解得-

<a≤2,所以a的取值范围是

.8.已知函数f(x)=

若存在x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,使得f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)的取值范围是

()A.

B.

C.[4,+∞)

D.

∪[4,+∞)

D

解析当0<x1<x2<1时,f(x1),f(x2)∈(0,1),若f(x2)=2f(x1),则f(x1)∈

,即

∈

,所以x1∈

,此时x1·f(x2)=2x1f(x1)=2

,因为y=x3在

上单调递增,所以x1·f(x2)=2

∈

.当0<x1<1≤x2时,f(x1)=

∈(0,1),f(x2)=

∈[2,+∞),所以f(x2)>2f(x1),不满足题意.当1≤x1<x2时,f(x1)=

,若f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)=2x1f(x1)=2x1·

,令g(x)=2x·2x,x∈[1,+∞),易知g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=4,即x1·f(x2)∈[4,+∞).综上所述,x1·f(x2)的取值范围是

∪[4,+∞).二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选

对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列命题中正确的是

()A.

-

+

-

=-45B.2(lg2)2+3lg2lg5+(lg5)2-lg2=1C.若xlog34=1,则4x+4-x=

D.若2m=3n=k且

+

=2,则k=6

ABC

解析对于A,原式=

-

+

-1=

-49+

-1=-45,故A正确;对于B,2(lg2)2+3lg2lg5+(lg5)2-lg2=(2lg2+lg5)(lg2+lg5)-lg2=2lg2+lg5-lg2=lg2+lg5=1,故B正确;对于C,由xlog34=1,得x=

=log43,即4x=3,所以4x+4-x=4x+

=3+

=

,故C正确;对于D,由2m=3n=k,得m=log2k,n=log3k,且k>0,即

=logk2,

=logk3,所以

+

=logk2+logk3=logk6=2,解得k=

,故D错误.10.已知函数f(x)=a·

+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则

()A.a=-2,b=2

B.f(x)的值域为[0,2)C.若x<y<0,则f(x)<f(y)

D.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0

ABD

解析对于A,∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=0,∴a+b=0①,∵x→∞时,

→0,∴x→∞时,f(x)→b,又函数f(x)的图象无限接近直线y=2,∴b=2②,由①②知a=-2,b=2,因此A正确.对于B,由a=-2,b=2,得f(x)=

+2,∵

∈(0,1],∴

+2∈[0,2),因此B正确.对于C,由上述分析画出函数f(x)的大致图象如图所示,

由函数的图象知,f(x)在x∈(-∞,0]上单调递减,∵x<y<0,∴f(x)>f(y),因此C错误.对于D,易知函数f(x)=

+2为偶函数,∵f(x)=f(y),x≠y,∴-x=y,∴x+y=0,因此D正确.11.定义区间(α,β)的长度为β-α,记函数f(x)=lg[ax-(1+a2)x2](其中a>0)的定义域的长度为L(a),则下列说法

正确的有

()A.L(a)=

B.L(a)的值域为

C.L(a)在(0,1)上单调递增D.给定常数k∈(0,1),当a∈[1-k,1+k]时,L(a)的最小值为

ACD

解析对于A,令ax-(1+a2)x2>0,其中a>0,解得0<x<

,故f(x)的定义域为

,故L(a)=

,A正确;对于B,因为a>0,所以L(a)=

=

≤

=

,当且仅当a=

,即a=1时,等号成立,又L(a)=

>0,所以L(a)的值域为

,B错误;对于C,任取a1,a2∈(0,1)且a1<a2,则L(a1)-L(a2)=

-

=

=

=

,因为a1,a2∈(0,1)且a1<a2,所以a1-a2<0,1-a1a2>0,1+

>0,1+

>0,故L(a1)-L(a2)=

<0,即L(a1)<L(a2),故L(a)=

在(0,1)上单调递增,C正确;对于D,和C选项同理,由定义法可知L(a)=

在(1,+∞)上单调递减,结合C选项知,给定常数k∈(0,1),当a∈[1-k,1]时,L(a)单调递增,当a∈[1,1+k]时,L(a)单调递减,故L(a)的最小值为L(1-k)或L(1+k),L(1-k)-L(1+k)=

-

=

=

=

,因为k∈(0,1),所以-2k3<0,又k2-2k+2=(k-1)2+1>0,k2+2k+2=(k+1)2+1>0,所以

<0,即L(1-k)<L(1+k),所以L(a)的最小值为

,D正确.三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.若f(x)为定义在R上的偶函数,函数g(x)=f(x)(ex-e-x)+2,则g(-2026)+g(2026)=_________.

4

解析由题意知g(-x)=f(-x)(e-x-ex)+2=-f(x)(ex-e-x)+2=-g(x)+4,故g(x)+g(-x)=4,则g(-2026)+g(2026)=4.13.已知a∈R,函数f(x)=|2x+22-x-a|+a在区间[0,2]上的最大值是5,则a的取值范围是_________.解析令m=2x,则由x∈[0,2]得m∈[1,4],2x+22-x=m+

,易知y=m+

在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,故m+

∈[4,5],即2x+22-x∈[4,5].设t=2x+22-x,则f(x)=|2x+22-x-a|+a可转化为g(t)=|t-a|+a,t∈[4,5],易知函数g(t)=|t-a|+a的图象关于直线t=a对称,因此,当a≤

时,g(t)max=|5-a|+a=5,符合题意;当a>

时,g(t)max=|4-a|+a=2a-4=5,解得a=

,舍去.综上所述,a的取值范围是

.14.已知函数f(x)=

若方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,则实数m的取值范围是_____________.

(1,2)

解析令f(x)=t,则原方程化为1-m2+2mt=t2,即[t-(m-1)][t-(m+1)]=0,解得t=m-1或t=m+1.易知y=ex+2-1在(-∞,0]上单调递增,令ex+2-1=0,得x=-2,故函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,0]上单调递增,且当x→-∞时,f(x)→1,f(0)=e2-1.作出函数y=f(x)的图象,如图所示,

观察图象得,当t<0或t>e2-1时,方程f(x)=t有1个实数根;当t=0或1≤t≤e2-1时,方程f(x)=t有2个不同的实数根;当0<t<1时,方程f(x)=t有3个不同的实数根,由方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,得

或

即

或

则1<m<2,所以实数m的取值范围是(1,2).四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)求值:(1)

-(-9.6)0-

+1.5-2;(2)log25

×log45-lo

3-log24+

.解析

(1)

-(-9.6)0-

+1.5-2=

-1-

+

(3分)=

-1-

+

=

-1=

.

(6分)(2)log25

×log45-lo

3-log24+

=-

log52×

log25+log33-2log22+2

(10分)=-

+1-2+2=

.

(13分)16.(15分)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种普洱茶用95℃

的水冲泡,等茶水温度降至60℃饮用,口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下,刚泡好的茶水达

到最佳饮用口感的放置时间,每隔1分钟测量一次茶水温度,得到茶水温度y(单位:℃)与时间t(单位:分钟)

的部分数据如表所示:时间t/分钟012345茶水温度y/

℃95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)给出下列三种函数模型:①y=at+b(a<0),②y=a·bt+d(a>0,0<b<1),③y=loga(t+b)+c(b>0,a>1),请根据上表

中的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并利用前3组数据求出相应的解析式;(2)根据(1)中所求模型,解决下列问题.(i)推测实验室室温(注:茶水温度接近室温时,将趋于稳定);(ii)求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.(参考数据:lg3≈0.48,lg5≈0.7)解析

(1)由题表中数据可知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢,

(2分)模型③y=loga(t+b)+c(b>0,a>1)为单调递增函数,不符合题意.

(3分)模型①y=at+b(a<0)为一次函数模型,不符合递减速度逐渐变慢,因此模型①不符合,

(4分)选模型②y=a·bt+d(a>0,0<b<1),则

解得

所以y=70·0.9t+25(t≥0).

(7分)(2)(i)因为当t趋于无穷大时,y无限接近25,所以推测实验室室温为25℃.

(10分)(ii)令70·0.9t+25=60,则0.9t=

,

(12分)所以t=log0.9

=

=

=

≈7.5,

(14分)即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为7.5分钟.

(15分)17.(15分)已知函数f(x)=(log2x-2)log2

.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若对于任意的x∈[2,16],f(x)<mlog4x恒成立,求m的取值范围;(3)若关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解,求实数b的取值范围.解析

(1)由题意得函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=(log2x-2)log2

=(log2x-2)(log2x-1),令s=log2x,则s∈R,故求f(x)的最小值即求y=(s-2)(s-1)=s2-3s+2在R上的最小值.

(3分)由y=s2-3s+2=

-

结合二次函数的性质得当s=

时,ymin=-

,故f(x)min=-

.

(5分)(2)由f(x)<mlog4x,得(log2x-2)(log2x-1)<

log2x.令t=log2x,由x∈[2,16],得t∈[1,4].由题意可知,对于任意的t∈[1,4],(t-2)(t-1)<

t恒成立,即t+

-3<

恒成立.

(7分)令h(t)=t+

-3,t∈[1,4],则h(t)max<

.由对勾函数的单调性可知h(t)在[1,

]上单调递减,在[

,4]上单调递增,且h(1)=0,h(4)=

,所以当t∈[1,4]时,h(t)max=h(4)=

.

(9分)因此

<

,解得m>3,即m的取值范围是(3,+∞).

(10分)(3)结合(1)可知,y=

-

在

上单调递减,在

上单调递增,令log2x=

,得x=

=2

,结合复合函数的单调性可知f(x)在(0,2

)上单调递减,在(2

,+∞)上单调递增,且f(2

)=-

,令f(x)=0,得x=2或x=4.画出函数|f(x)|=

的大致图象,如图:

(12分)则函数y=|f(x)|在(0,2)上单调递减,在(2,2

)上单调递增,在(2

,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,

(13分)因此当b∈{0}∪

时,关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解.

(15分)18.(17分)已知函数y=f(x),甲、乙、丙、丁四位同学研究该函数,分别得到如下结论:甲:函数y=f(x)图象的对称中心为(-1,2);乙:f(0)=0;丙:函数y=f(x)只有单调递增区间,没有单调递减区间;丁:函数y=f(x)的图象与两坐标轴共有3个交点.其中有且只有3位同学的结论是正确的.(1)给出下列四个函数:f(x)=kx+b(k≠0),f(x)=

(a≠0),f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(x)=kax+b(a>0且a≠1),其中只有一个函数满足题意,求满足题意的f(x)的解析式;(2)已知函数g(x)=f(3x).(i)若g(x)的定义域为[0,1],求g(x)的值域;(ii)探究函数y=g(x)图象的对称中心的坐标,并证明你探究的结论.解析

(1)函数f(x)=kx+b(k≠0)一定不满足丁的结论,且甲、乙、丙的结论不能同时满足,不符合题意;函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)一定不满足甲、丙的结论,不符合题意;函数f(x)=kax+b(a>0且a≠1)一定不满足甲、丁的结论,不符合题意.

(3分)因此函数f(x)=

(a≠0)满足题意,且满足甲、乙、丙的结论,不满足丁的结论.

(4分)解法一:因为f(x)图象的对称中心为(-1,2),所以设f(x)=

+2,由f(0)=0,得

+2=m+2=0,所以m=-2,所以f(x)=2-

=

.

(7分)解法二:因为f(x)=

=

·

=

·

,且其图象的对称中心为(-1,2),所以-

=-1,

=2,即b=a,c=2a,因为f(0)=0,所以

=0,所以d=0,所以f(x)=

=

.

(7分)(2)(i)函数g(x)=f(3x)=2-

,

(8分)易知g(x)在[0,1]上单调递增,且g(0)=2-

=1,g(1)=2-

=

.所以g(x)的值域为

.

(10分)(ii)解法一:函数y=g(x)图象的对称中心为(0,1).

(12分)证明:设P(m,n)是函数g(x)图象上的任一点,则g(m)=

=n,

(13分)设P(m,n)关于(0,1)的对称点为Q,易得Q(-m,2-n),

(14分)因为g(-m)=

=

,且2-n=2-

=

,所以g(-m)=2-n,即点Q(-m,2-n)也在g(x)的图象上.

(16分)所以g(x)的图象关于点(0,1)中心对称.

(17分)解法二:函数y=g(x)图象的对称中心为(0,1).

(12分)证明:g(x)=

=

=1+

,

(13分)设h(x)=

,x∈R,因为h(-x)=

=

=-

=-h(x),(15分)所以h(x)=

为奇函数,其图象的对称中心为(0,0),所以g(x)=1+h(x)的图象的对称中心为(0,1).

(17分)19.(17分)对于函数y=f(x),记所有满足∀s,t∈(0,+∞),s>t,都有f(s)≥f(t)的函数构成集合A;所有满足∀s,t∈

(0,+∞),都有f(s+t)≥f(s)+f(t)的函数构成集合B.(1)分别判断函数①h(x)=2x+1,②m(x)=x2是不是集合B中的元素,并说明理由;(2)若f(x)=lo

(x+a)(a≥0)是集合B中的元素,求a的最小值;(3)若g(x)=xf(x),求证:f(x)∈A是g(x)∈B的充分不必要条件.解析

(1)①不是.

(1分)∀s,t∈(0,+∞),h(s+t)-h(s)-h(t)=2(s+t)+1-(2s+1)-(2t+1)=-1<0,因此h(s+t)<h(s)+h(t),所以h(x)=2x+1不是集合B中的元素.

(3分)②是.

(4分)∀s,t∈(0,+∞),m(s+t)-m(s)-m(t)=(s+t)2-s2-t2=2st>0,所以m(s+t)>m(s)+m(t),所以m(x)=x2是集合B中的元素.

(6分)(2)当a≥0时,∀s,t∈(0,+∞),f(s+t