2026年人教版高中数学第7章数列应用专项练习

2026年人教版高中数学第7章数列应用专项练习考核对象：高中二年级学生难度等级：中等级别题型分值分布：-单项选择题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（8题，每题2分，共16分）-应用题（8题，每题4分，共24分）一、单项选择题（每题2分，共20分）要求：每题有4个选项，其中只有1个选项正确，请将正确选项的字母填在题干后的括号内。1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=11，若将此数列的前n项和记为S_n，则S_10的值为（）A.150B.180C.210D.2402.已知数列{b_n}满足b_1=2，且对于任意正整数n，都有b_{n+1}=b_n+2n，则b_6的值为（）A.20B.22C.24D.263.某工厂计划每年比上一年增产10%的产量，若该工厂2020年的产量为100万吨，则到2023年该工厂的年产量约为（）A.133.1万吨B.146.4万吨C.160.5万吨D.174.9万吨4.在等比数列{c_n}中，已知c_2=6，c_4=54，则该数列的前4项和S_4的值为（）A.60B.90C.120D.1505.某城市人口按每年递增2%的速度增长，若2020年该城市人口为100万，则经过5年后该城市的人口约为（）A.110.4万B.115.2万C.120.1万D.125.0万6.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，且公差d=2，则该数列的前10项和S_10的值为（）A.150B.180C.210D.2407.已知数列{d_n}的前n项和S_n满足S_n=2n^2-3n，则d_5的值为（）A.23B.25C.27D.298.在等比数列{e_n}中，若e_1=1，e_3=8，则该数列的前6项和S_6的值为（）A.63B.64C.65D.669.某投资者将10000元存入银行，年利率为5%，若每年复利计算一次，则5年后的本息和约为（）A.12763元B.12800元C.12868元D.12935元10.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_4=19，则该数列的第10项f_{10}的值为（）A.39B.41C.43D.45二、填空题（每空2分，共20分）要求：请将答案填在题干后的横线上。1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=12，则该数列的公差d=________。2.已知数列{b_n}满足b_1=3，且对于任意正整数n，都有b_{n+1}=b_n+n，则b_4的值为________。3.某工厂计划每年比上一年增产8%的产量，若该工厂2021年的产量为100万吨，则到2024年该工厂的年产量约为________万吨。4.在等比数列{c_n}中，已知c_2=4，c_4=64，则该数列的公比q=________。5.某城市人口按每年递增3%的速度增长，若2020年该城市人口为80万，则经过4年后该城市的人口约为________万。6.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=30，且公差d=3，则该数列的前8项和S_8的值为________。7.已知数列{d_n}的前n项和S_n满足S_n=3n^2+n，则d_6的值为________。8.在等比数列{e_n}中，若e_1=2，e_5=32，则该数列的前7项和S_7的值为________。9.某投资者将5000元存入银行，年利率为6%，若每年复利计算一次，则3年后的本息和约为________元。10.在等差数列{f_n}中，若a_1=7，a_6=31，则该数列的第15项f_{15}的值为________。三、判断题（每题2分，共20分）要求：请判断下列命题的真假，正确的填“√”，错误的填“×”。1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=14，则该数列的公差d=3。（________）2.已知数列{b_n}满足b_1=2，且对于任意正整数n，都有b_{n+1}=b_n+2n，则该数列是等比数列。（________）3.某工厂计划每年比上一年增产5%的产量，若该工厂2020年的产量为80万吨，则到2023年该工厂的年产量约为92.05万吨。（________）4.在等比数列{c_n}中，已知c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=3。（________）5.某城市人口按每年递增2%的速度增长，若2020年该城市人口为90万，则经过3年后该城市的人口约为93.64万。（________）6.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=24，且公差d=4，则该数列的前10项和S_10的值为120。（________）7.已知数列{d_n}的前n项和S_n满足S_n=4n^2-2n，则d_5的值为18。（________）8.在等比数列{e_n}中，若e_1=3，e_4=81，则该数列的前6项和S_6的值为93。（________）9.某投资者将10000元存入银行，年利率为7%，若每年复利计算一次，则2年后的本息和约为11449元。（________）10.在等差数列{f_n}中，若a_1=9，a_5=21，则该数列的第10项f_{10}的值为33。（________）四、简答题（每题2分，共16分）要求：请简要回答下列问题。1.等差数列的前n项和S_n的公式是什么？并解释其中各项的含义。2.等比数列的前n项和S_n的公式是什么？并解释其中各项的含义。3.什么是数列的通项公式？如何根据前n项和S_n求通项公式a_n？4.什么是数列的递推公式？如何根据递推公式求数列的前几项？5.在实际问题中，如何判断一个数列是等差数列或等比数列？6.什么是数列的极限？数列极限有什么性质？7.什么是数列的级数？如何判断一个级数是否收敛？8.在实际问题中，如何应用数列的知识解决增长或衰减问题？五、应用题（每题4分，共24分）要求：请根据题意，列出相应的数列模型，并解答问题。1.某工厂计划从2020年开始，每年比上一年增加10%的产量。若该工厂2020年的产量为100万吨，求到2025年该工厂的年产量是多少万吨？2.某城市人口按每年递增2%的速度增长。若2020年该城市人口为80万，求经过10年后该城市的人口约为多少万？3.某投资者将10000元存入银行，年利率为5%，若每年复利计算一次，求5年后的本息和是多少元？4.某工厂计划从2021年开始，每年比上一年增加8%的产量。若该工厂2021年的产量为100万吨，求到2024年该工厂的年产量是多少万吨？5.某城市人口按每年递增3%的速度增长。若2020年该城市人口为90万，求经过8年后该城市的人口约为多少万？6.某投资者将5000元存入银行，年利率为6%，若每年复利计算一次，求3年后的本息和是多少元？标准答案及解析一、单项选择题1.B解析：等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=11，则公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=8/4=2。前10项和S_10=10/2(a_1+a_{10})=5(3+a_{10})。又a_{10}=a_5+d5=11+25=21，所以S_10=5(3+21)=120。参考答案：B2.C解析：数列{b_n}满足b_1=2，且b_{n+1}=b_n+2n，则b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+4=8，b_4=b_3+6=14，b_5=b_4+8=22，b_6=b_5+10=24。参考答案：C3.A解析：工厂产量按每年递增10%增长，2021年产量为100万吨，则2022年产量为100(1+10%)=110万吨，2023年产量为110(1+10%)=121万吨，2024年产量为121(1+10%)≈133.1万吨。参考答案：A4.B解析：等比数列{c_n}中，c_2=6，c_4=54，则公比q=(c_4/c_2)^(1/(4-2))=9^(1/2)=3。前4项和S_4=c_1q(q^3-1)/(q-1)=23(27-1)/(3-1)=90。参考答案：B5.B解析：城市人口按每年递增2%增长，2020年人口为100万，则2021年人口为100(1+2%)=102万，2022年人口为102(1+2%)≈104.04万，2023年人口为104.04(1+2%)≈106.12万，2024年人口为106.12(1+2%)≈108.24万。参考答案：B6.D解析：等差数列{a_n}中，a_3+a_9=30，且公差d=3，则a_3=a_1+2d，a_9=a_1+8d。a_3+a_9=2a_1+10d=30，代入d=3得2a_1+30=30，所以a_1=0。S_8=8/2(a_1+a_8)=4(0+(0+83))=120。参考答案：D7.C解析：数列{d_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则d_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。d_5=45-5=15。参考答案：C8.A解析：等比数列{e_n}中，e_1=1，e_3=8，则公比q=(e_3/e_1)^(1/(3-1))=8^(1/2)=2sqrt(2)。S_6=e_1(q^6-1)/(q-1)=1(64-1)/(2sqrt(2)-1)=63。参考答案：A9.C解析：投资者将10000元存入银行，年利率为5%，每年复利计算一次，则5年后的本息和为10000(1+5%)^5≈12868元。参考答案：C10.C解析：等差数列{f_n}中，a_1=5，a_4=19，则公差d=(a_4-a_1)/(4-1)=14/3。f_{10}=a_1+9d=5+9(14/3)=43。参考答案：C---二、填空题1.2解析：等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=12，则公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=10/4=2.5。参考答案：2.52.12解析：数列{b_n}满足b_1=3，且b_{n+1}=b_n+n，则b_2=b_1+1=4，b_3=b_2+2=6，b_4=b_3+3=9，b_5=b_4+4=13，b_6=b_5+5=18。参考答案：183.115.2解析：工厂产量按每年递增8%增长，2021年产量为100万吨，则2022年产量为100(1+8%)=108万吨，2023年产量为108(1+8%)≈116.64万吨，2024年产量为116.64(1+8%)≈125.97万吨。参考答案：125.974.2解析：等比数列{c_n}中，c_2=6，c_4=54，则公比q=(c_4/c_2)^(1/(4-2))=9^(1/2)=3。参考答案：35.92.46解析：城市人口按每年递增3%增长，2020年人口为80万，则2021年人口为80(1+3%)=82.4万，2022年人口为82.4(1+3%)≈84.912万，2023年人口为84.912(1+3%)≈87.524万，2024年人口为87.524(1+3%)≈90.826万。参考答案：90.8266.120解析：等差数列{a_n}中，a_3+a_9=30，且公差d=3，则a_3=a_1+2d，a_9=a_1+8d。a_3+a_9=2a_1+10d=30，代入d=3得2a_1+30=30，所以a_1=0。S_8=8/2(a_1+a_8)=4(0+(0+83))=120。参考答案：1207.33解析：数列{d_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则d_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。d_6=66-2=34。参考答案：348.127解析：等比数列{e_n}中，e_1=2，e_5=32，则公比q=(e_5/e_1)^(1/(5-1))=16^(1/4)=2。S_7=e_1(q^7-1)/(q-1)=2(128-1)/(2-1)=127。参考答案：1279.6149解析：投资者将5000元存入银行，年利率为6%，每年复利计算一次，则3年后的本息和为5000(1+6%)^3≈6149元。参考答案：614910.67解析：等差数列{f_n}中，a_1=7，a_6=31，则公差d=(a_6-a_1)/(6-1)=24/5。f_{15}=a_1+14d=7+14(24/5)=67。参考答案：67---三、判断题1.√解析：等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=14，则公差d=(a_4-a_1)/(4-1)=9/3=3。2.×解析：数列{b_n}满足b_1=2，且b_{n+1}=b_n+2n，则该数列不是等比数列，因为公比不恒定。3.√解析：工厂产量按每年递增5%增长，2020年产量为80万吨，则2021年产量为80(1+5%)=84万吨，2022年产量为84(1+5%)≈88.2万吨，2023年产量为88.2(1+5%)≈92.41万吨，2024年产量为92.41(1+5%)≈96.53万吨。4.√解析：等比数列{c_n}中，c_2=6，c_4=54，则公比q=(c_4/c_2)^(1/(4-2))=9^(1/2)=3。5.×解析：城市人口按每年递增2%增长，2020年人口为90万，则2021年人口为90(1+2%)=91.8万，2022年人口为91.8(1+2%)≈93.796万，2023年人口为93.796(1+2%)≈95.918万，2024年人口为95.918(1+2%)≈98.184万。6.×解析：等差数列{a_n}中，a_3+a_7=24，且公差d=4，则a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d。a_3+a_7=2a_1+8d=24，代入d=4得2a_1+32=24，所以a_1=-4。S_10=10/2(a_1+a_{10})=5(-4+(a_1+9d))=5(-4+20)=80。7.×解析：数列{d_n}的前n项和S_n=4n^2-2n，则d_n=S_n-S_{n-1}=8n-6。d_5=85-6=34。8.×解析：等比数列{e_n}中，e_1=3，e_4=81，则公比q=(e_4/e_1)^(1/(4-1))=27^(1/3)=3。S_7=e_1(q^7-1)/(q-1)=3(2187-1)/(3-1)=3285。9.√解析：投资者将10000元存入银行，年利率为7%，每年复利计算一次，则2年后的本息和为10000(1+7%)^2≈11449元。10.×解析：等差数列{f_n}中，a_1=9，a_5=21，则公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=12/4=3。f_{10}=a_1+9d=9+93=36。---四、简答题1.等差数列的前n项和S_n的公式是S_n=n/2(a_1+a_n)，其中n是项数，a_1是首项，a_n是第n项。解析：该公式表示等差数列前n项的和，通过首项和末项的平均值乘以项数得到。2.等比数列的前n项和S_n的公式是S_n=e_1(q^n-1)/(q-1)，其中e_1是首项，q是公比，n是项数。解析：该公式表示等比数列前n项的和，通过首项乘以公比n次方减1再除以公比减1得到。3.数列的通项公式a_n是描述数列第n项的公式，可以通过前n项和S_n求通项公式a_n，即a_n=S_n-S_{n-1}。解析：通过前n项和与前n-1项和的差得到第n项。4.数列的递推公式是描述数列第n项与前面项之间关系的公式，通过递推公式可以求数列的前几项。解析：递推公式通常给出第n项与前面几项的关系，通过逐项计算得到数列的前几项。5.在实际问题中，可以通过判断数列的相邻项之差是否恒定来判断一个数列是等差数列，通过判断数列的相邻项之比是否恒定来判断一个数列是等比数列。解析：等差数列的相邻项之差恒定，等比数列的相邻项之比恒定。6.数列的极限是数列项数趋向无穷大时，数列项的趋向值，数列极限的性质包括唯一性、局部有界性等。解析：数列极限描述数列项数趋向无穷大时，数列项的趋向值。7.数列的级数是数列各项的和，通过判断级数的部分和是否收敛来判断级数是否收敛。解析：级数的收敛性取决于部分和的极限是否存在。8.在实际问题中，可以通过数列的等差或等比性质解决增长或衰减问题，例如人口增长、投资增长等。解析：通过数列的等差或等比性质可以建立数学模型，解决实际问题。---五、应用题1.解：工厂产量按每年递增10%增长，2020年产量为100万吨，则2021年产量为100(1+10%)=110万吨，2022年产量为110(1+10%)=121万吨，2023年产量为121(1+10%)≈133.1万吨，2024年产量为133.1(1+10%)≈146.41万吨，2025年产量为146.41(1+10%)≈161.05万吨。答：到2025年该工厂的年产量约为161.05万吨。2.解：城市人口按每年递增2%增长，2020年人口为80万，则2021年人口为80(1+2%)=82.4万，2022年人口为82.4(1+2%)≈84.912万，2023年人口为84.912(1+2%)≈87.524万，2024年人口为87.524(1+2%)≈90.348万，2025年人口为90.348(1+2%)≈92.354万，2026年人口为92.354(1+2%)≈94.454万，2027年人口为94.454(1+2%)≈96.666万，2028年人口为96.666(1+2%)≈98.966万，2029年人口为98.966(1+2%)≈101.418万，2030年人口为101.418(1+2%)≈103.999万，2031年人口为103.999(1+2%)≈106.719万，2032年人口为106.719(1+2%)≈109.616万，2033年人口为109.616(1+2%)≈112.706万，2034年人口为112.706(1+2%)≈115.996万，2035年人口为115.996(1+2%)≈119.519万，2036年人口为119.519(1+2%)≈123.306万，2037年人口为123.306(1+2%)≈127.326万，2038年人口为127.326(1+2%)≈131.628万，2039年人口为131.628(1+2%)≈136.207万，2040年人口为136.207(1+2%)≈140.981万，2041年人口为140.981(1+2%)≈145.995万，2042年人口为145.995(1+2%)≈151.378万，2043年人口为151.378(1+2%)≈157.091万，2044年人口为157.091(1+2%)≈162.998万，2045年人口为162.998(1+2%)≈169.198万，2046年人口为169.198(1+2%)≈175.717万，2047年人口为175.717(1+2%)≈182.616万，2048年人口为182.616(1+2%)≈189.833万，2049年人口为189.833(1+2%)≈197.399万，2050年人口为197.399(1+2%)≈205.299万。答：经过10年后该城市的人口约为205.299万。3.解：投资者将10000元存入银行，年利率为5%，每年复利计算一次，则5年后的本息和为10000(1+5%)^5≈12800元。答：5年后的本息和约为12800元。4.解：工厂产量按每年递增8%增长，2021年产量为100万吨，则2022年产量为100(1+8%)=108万吨，2023年产量为108(1+8%)≈116.64万吨，2024年产量为116.64(1+8%)≈125.97万吨。答：到2024年该工厂的年产量约为125.97万吨。5.解：城市人口按每年递增3%增长，2020年人口为90万，则2021年人口为90(1+3%)=93.7万，2022