2016年高考理科数学四川卷-答案

PAGE125/122016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】C【解析】由题可知，，则中元素的个数为5，故选C．【提示】由与，求出两集合的交集，即可做出判断．【考点】交集及其运算．2.【答案】A【解析】由题可知，含的项为，选A．【提示】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【考点】二项式系数的性质．3.【答案】D【解析】由题可知，，则只需把的图像向右平移个单位，选D．【提示】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．【考点】的图象变换规律．4.【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5分为两步：先从1，3，5，三个数中选一个作为个位数有，再将剩下的4个数字排列得到，则满足条件的五位数有．选D．【提示】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．【考点】排列、组合的实际运用．5.【答案】B【解析】设年后该公司全年投入的研发资金为200万元由题可知，，解得，因资金需超过200万，则取4，即2019年，选B．【提示】设第年开始超过200万元，可得，两边取对数即可得出．【考点】等比数列的通项公式．6.【答案】B【解析】初始值，，程序运行过程如下所示，，，跳出循环，输出，选B．【提示】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为18．【考点】程序框图7.【答案】A【解析】如图，表示圆心为，半径为的圆内区域所有点（包括边界）；表示内部区域所有点（包括边界）．实数，满足②则必然满足①，反之不成立．则是的必要不充分条件．故选A．【提示】画出，表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【考点】简单线性规划的应用，必要条件，充分条件，充要条件．8.【答案】C【解析】如图，由题可知，设点坐标为显然，当时，；时，，要求最大值，不妨设．则，当且仅当等号成立，故选C．第8题图【提示】由题意可得，设，要求的最大值，设，运用向量的加减运算可得，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【考点】抛物线的简单性质．9.【答案】A【解析】方法一：设,，易知，，，，则直线:，:，与轴的交点为，设，则交点横坐标为，与轴的交点为，，则，故方法二：特殊值法，若，可算出，，故，排除B，C；令，，算出，故选A．【提示】设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线与的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得，两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得的面积的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．10.【答案】B【解析】由题意，，所以到，，三点的距离相等，是的外心，，所以，同理可得，，从而是的垂心；的外心与垂心重合，因此是正三角形，且是的中心；所以正三角形的边长为；我们以为原点建立直角坐标系，，，三点坐标分别为，，．由，设点的坐标为，其中，而，即是的中点，可以写出的坐标为则当时，取得最大值．故选B．第10题图【提示】由，可得为的外心，又，可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形．运用向量的数量积定义可得的边长，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得，的坐标，再设点的坐标为，，由中点坐标公式可得的坐标，运用两点的距离公式可得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【考点】向量的定义和性质，模的最值．第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】【解析】由题可知，（二倍角公式）．【提示】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【考点】二倍角的余弦12.【答案】【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为2次独立试验成功次数满足二项分布，则【提示】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数，由此能求出在2次试验中成功次数的均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差13.【答案】【解析】由题可知，三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为，则体积【提示】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．【考点】由三视图求面积，体积．14.【答案】【解析】首先，是周期为2的函数，所以；而是奇函数，所以，所以：，，即又，时，故，从而【提示】根据是周期为2的奇函数即可得到，利用当时，，求出，再求出，即可求得答案．【考点】函数奇偶性的性质．15.【答案】②③【解析】①设的坐标，伴随点，的伴随点横坐标为，同理可得纵坐标为故．错误；②设单位圆上的点的坐标为，则的伴随点的坐标为，所以也在单位圆上，即：点是点延顺时针方向旋转．正确；③设曲线上点的坐标，其关于轴对称的点也在曲线上，所以点的伴随点，点的伴随点，与关于轴对称．正确；④反例：例如这条直线，则，，，而这三个点的伴随点分别是，，，而这三个点不在同一直线上，下面给出严格证明：设点在直线：，点的伴随点为，则，解得．带入直线方程可知：，化简得：，当时，是一个常数，的轨迹是一条直线；当时，不是一个常数，的轨迹不是一条直线．所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线．错误．【提示】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【考点】命题的真假判断与应用三、解答题16.【答案】（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1频率=(频率/组距)*组距得（Ⅱ）由图，不低于3吨人数所占百分比为∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：即的居民月均用水量小于吨，同理，的居民月均用水量小于3吨，故假设月均用水量平均分布，则（吨）．注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差．【提示】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得值．【考点】频率分布直方图，用样本估计总体．17.【答案】（Ⅰ）证明：由正弦定理可知原式可以化解为和为三角形内角，则，两边同时乘以，可得由和角公式可知，原式得证．（Ⅱ）由题，根据余弦定理可知，为三角形内角，，则，即由（Ⅰ）可知，【提示】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解的正切函数值即可．【考点】正弦定理，余弦定理，余弦定理的应用．18.【答案】（Ⅰ）延长，交直线于点，点为中点，，，，即，四边形为平行四边形，，，，，面，面，，面，面故在面上可找到一点使得面．（Ⅱ）过作交于点，连结，过作交于点，，与所成角为，，，，，面，，且，面，面，，且，面，为所求与面所成的角，面，即．为二面角所成的平面角，由题意可得，而，，，四边形是平行四边形，，四边形是正方形，，，，，，．第18题图【提示】（Ⅰ）延长交直线于点，由点为的中点，可得，由，可得，已知．可得四边形为平行四边形，即．利用线面平行的判定定理证明得直线平面即可．（Ⅱ）如图所示，由，异面直线与所成的角为，，可得平面．由，．因此是二面角的平面角，大小为．．不妨设，则．经计算可得出．【考点】直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定．19.【答案】（Ⅰ），，，当时，，故，又，则，故当时也满足，故，（Ⅱ）证明：由双曲线的性质可知，由（Ⅰ）可得，为首项为1，公比为的等比数列故，即为首项为1，公比为的等比数列，通项公式为原式得证．【提示】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列为首项等于1、公比为的等比数列，再根据，a，成等差数列求得公比的值，可得的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得，根据，求得的值，可得的解析式，再利用放缩法可得，从而得证不等式成立．【考点】数列与解析几何的综合，数列的求和．20.【答案】（Ⅰ）设短轴一端点为，左，右焦点分别为，则．由题意，为直角三角形．解得，．代入可得．与椭圆只有一个交点，则，解得由，解得，则，所以的坐标为（Ⅱ）设在上，由，平行得的参数方程为代入椭圆得．整理可得设两根为，则有而，，故有．由题意．，故存在这样的【提示】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点与左右焦点、构成等腰直角三角形，结合直线与椭圆只有一个交点，利用判别式，即可求出椭圆的方程和点的坐标；（Ⅱ）设出点的坐标，根据写出的参数方程，代人椭圆的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出、和，由求出的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程．21.【答案】（Ⅰ）由题意，①当时，，，在上单调递减．②当时，，当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于在上恒成立．一方面，令，只需在上恒大于0即可．又，故在处必大于等于0.令，，可得另一方面，当时，