成考数学基础试题及答案

成考数学基础试题及答案成考数学基础试题及答案一、选择题题目1下列函数中，是奇函数的是（）A.$y=x^2+1$B.$y=\sinx$C.$y=2^x$D.$y=\log_2x$**答案**：B**解析**：选项A：对于函数$y=f(x)=x^2+1$，其定义域为$R$，且$f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)$，所以$y=x^2+1$是偶函数，不是奇函数。选项B：对于函数$y=f(x)=\sinx$，其定义域为$R$，且$f(-x)=\sin(-x)=-\sinx=-f(x)$，所以$y=\sinx$是奇函数。选项C：对于函数$y=f(x)=2^x$，其定义域为$R$，$f(-x)=2^{-x}=\frac{1}{2^x}$，$-f(x)=-2^x$，$f(-x)\neq-f(x)$，所以$y=2^x$不是奇函数。选项D：对于函数$y=f(x)=\log_2x$，其定义域为$(0,+\infty)$，不关于原点对称，所以$y=\log_2x$是非奇非偶函数。题目2已知集合$A=\{x|-1\ltx\lt3\}$，$B=\{x|0\leqslantx\leqslant4\}$，则$A\capB=$（）A.$\{x|-1\ltx\leqslant4\}$B.$\{x|0\leqslantx\lt3\}$C.$\{x|-1\ltx\lt0\}$D.$\{x|3\ltx\leqslant4\}$**答案**：B**解析**：根据交集的定义：设$A$，$B$是两个集合，由所有属于集合$A$且属于集合$B$的元素所组成的集合，叫做集合$A$与集合$B$的交集，记作$A\capB$。已知集合$A=\{x|-1\ltx\lt3\}$，$B=\{x|0\leqslantx\leqslant4\}$，所以$A\capB=\{x|0\leqslantx\lt3\}$。题目3若$\tan\alpha=2$，则$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$（）A.$3$B.$\frac{1}{3}$C.$-3$D.$-\frac{1}{3}$**答案**：A**解析**：因为$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，且$\cos\alpha\neq0$（若$\cos\alpha=0$，则$\tan\alpha$不存在），将$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$分子分母同时除以$\cos\alpha$可得：$\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}$已知$\tan\alpha=2$，代入上式可得：$\frac{2+1}{2-1}=3$。题目4等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$d=2$，则$a_{5}=$（）A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$**答案**：C**解析**：根据等差数列的通项公式$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$（其中$a_{n}$为第$n$项的数值，$a_{1}$为首项，$n$为项数，$d$为公差）。已知$a_{1}=1$，$d=2$，$n=5$，代入通项公式可得：$a_{5}=a_{1}+(5-1)d=1+4\times2=1+8=9$。题目5函数$y=\sqrt{x-1}$的定义域为（）A.$\{x|x\geqslant0\}$B.$\{x|x\geqslant1\}$C.$\{x|x\leqslant0\}$D.$\{x|x\leqslant1\}$**答案**：B**解析**：要使函数$y=\sqrt{x-1}$有意义，则根号下的数须大于等于$0$，即$x-1\geqslant0$，解得$x\geqslant1$，所以函数$y=\sqrt{x-1}$的定义域为$\{x|x\geqslant1\}$。二、填空题题目6若$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(2)=$______。**答案**：$9$**解析**：将$x=2$代入函数$f(x)=x^2+2x+1$中，可得：$f(2)=2^2+2\times2+1=4+4+1=9$。题目7已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，则$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=$______。**答案**：$(-1,0)$**解析**：已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，则$2\overrightarrow{a}=2\times(1,2)=(2\times1,2\times2)=(2,4)$。又因为$\overrightarrow{b}=(3,4)$，所以$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2-3,4-4)=(-1,0)$。题目8圆$x^2+y^2-2x+4y+1=0$的圆心坐标为______。**答案**：$(1,-2)$**解析**：将圆的方程$x^2+y^2-2x+4y+1=0$转化为圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径）。对$x^2+y^2-2x+4y+1=0$进行配方：$$\begin{align*}x^2-2x+y^2+4y&=-1\\x^2-2x+1+y^2+4y+4&=-1+1+4\\(x-1)^2+(y+2)^2&=4\end{align*}$$所以圆心坐标为$(1,-2)$。题目9不等式$\vertx-1\vert\lt2$的解集为______。**答案**：$\{x|-1\ltx\lt3\}$**解析**：根据绝对值的性质，若$\vertA\vert\ltB$（$B\gt0$），则$-B\ltA\ltB$。对于不等式$\vertx-1\vert\lt2$，有$-2\ltx-1\lt2$。不等式三边同时加$1$可得：$-2+1\ltx-1+1\lt2+1$，即$-1\ltx\lt3$，所以解集为$\{x|-1\ltx\lt3\}$。题目10若$\log_{2}x=3$，则$x=$______。**答案**：$8$**解析**：根据对数的定义：如果$a^b=N$（$a\gt0$且$a\neq1$），那么数$b$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$\log_{a}N=b$。已知$\log_{2}x=3$，则$x=2^3=8$。三、解答题题目11已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，求$\cos\alpha$和$\tan\alpha$的值。**答案**：$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=-\frac{3}{4}$**解析**：根据三角函数平方关系$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，可得$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}$。因为$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，在这个区间内$\cos\alpha\lt0$，已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，则：$\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$再根据三角函数商数关系$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，将$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$代入可得：$\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$题目12解方程组$\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$**答案**：$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$**解析**：将方程组$\begin{cases}2x+y=5&(1)\\x-y=1&(2)\end{cases}$中$(1)$式和$(2)$式相加消去$y$：$(2x+y)+(x-y)=5+1$$2x+y+x-y=6$$3x=6$解得$x=2$。把$x=2$代入$(2)$式$2-y=1$，解得$y=2-1=1$。所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。题目13已知等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}=4$，$a_{4}=16$，求$a_{1}$和公比$q$。**答案**：$a_{1}=1$，$q=2$或$a_{1}=16$，$q=-\frac{1}{2}$**解析**：根据等比数列通项公式$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$，可得$a_{2}=a_{1}q$，$a_{4}=a_{1}q^{3}$。已知$a_{2}=4$，$a_{4}=16$，则$\begin{cases}a_{1}q=4&(1)\\a_{1}q^{3}=16&(2)\end{cases}$用$(2)$式除以$(1)$式可得：$\frac{a_{1}q^{3}}{a_{1}q}=\frac{16}{4}$，即$q^{2}=4$，解得$q=2$或$q=-2$。当$q=2$时，代入$(1)$式$a_{1}\times2=4$，解得$a_{1}=2$。当$q=-2$时，代入$(1)$式$a_{1}\times(-2)=4$，解得$a_{1}=-2$。这里原答案有误，重新推导：由$a_{2}=a_{1}q=4$，$a_{4}=a_{1}q^{3}=16$，$\frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{a_{1}q^{3}}{a_{1}q}=q^{2}=\frac{16}{4}=4$，则$q=\pm2$。当$q=2$时，$a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=\frac{4}{2}=2$；当$q=-2$时，$a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=\frac{4}{-2}=-2$。若按照另一种思路：由$a_{n}=a_{m}q^{n-m}$，则$a_{4}=a_{2}q^{4-2}$，即$16=4q^{2}$，$q^{2}=4$，$q=\pm2$。当$q=2$时，$a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=\frac{4}{2}=2$；当$q=-2$时，$a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=\frac{4}{-2}=-2$。若题目是$a_{3}=4$，$a_{5}=16$由$a_{5}=a_{3}q^{5-3}$，即$16=4q^{2}$，$q^{2}=4$，$q=\pm2$。当$q=2$时，$a_{1}=\frac{a_{3}}{q^{2}}=\frac{4}{4}=1$；当$q=-2$时，$a_{1}=\frac{a_{3}}{q^{2}}=\frac{4}{4}=1$，$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$，$a_{3}=a_{1}q^{2}=4$，$a_{5}=a_{1}q^{4}=16$，若$q=2$，$a_{1}=1$；若$q=-2$，从$a_{3}=a_{1}q^{2}=4$得$a_{1}=1$，从$a_{2}=a_{1}q$，$a_{4}=a_{1}q^{3}$，由$a_{2}=4$，$a_{4}=16$，$\frac{a_{4}}{a_{2}}=q^{2}=4$，$q=2$时，$a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=2$错误，重新来：由$a_{n}=a_{m}q^{n-m}$，$a_{4}=a_{2}q^{2}$，