高考数学备考专练3小题＋1大题(立几)-节选自武汉四调

专练314小题＋1大题(立几)——节选自武汉四调一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x|x2－4x≤0},B＝{x|－3<x≤4},则(∁RA)∩B＝()A.(0,4) B.[－3,4]C.(－3,0) D.[4,＋∞)答案C解析由x2－4x≤0,可得x(x－4)≤0,解得0≤x≤4,所以A＝{x|0≤x≤4},所以∁RA＝{x|x<0或x>4},所以(∁RA)∩B＝{x|x<0或x>4}∩{x|－3<x≤4}＝(－3,0).2.数列{an}的通项公式为an＝2n－11,Sn为其前n项和,则Sn的最小值为()A.－9 B.－7C.－3 D.－19答案D解析令an＝2n－11<0,因为n∈N*,所以解得n＝1,2,3,所以数列{an}的前3项为负,从第4项起为正,所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19.3.已知向量a,b满足|a|＝1,|b|＝2,(a－b)⊥a,则a与b的夹角为()A.π6 B.C.π3 D.答案C解析因为(a－b)⊥a,所以(a－b)·a＝0,所以a2－a·b＝0,所以a2＝a·b＝|a|·|b|·cos<a,b>＝|a|2,又|a|＝1,|b|＝2,cos<a,b>＝12,<a,b>∈[0,π]所以<a,b>＝π3,故选4.随着DeepSeek的流行,各种AI大模型层出不穷,现有甲、乙两个AI大模型,在对甲、乙两个大模型进行深度体验后,6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分),得到如图所示的统计表格,则下列结论不正确的是()评委编号模型名称

123456甲7.09.38.39.28.98.9乙8.19.18.58.68.78.6A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差答案A解析甲、乙的得分从小到大排列如下:甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确;甲得分的众数为8.9,乙得分的众数为8.6,甲得分的众数大于乙得分的众数,故B正确;甲得分的平均数7.0＋8.3＋8.9＋8.9＋9.2＋9.36＝8.6乙得分的平均数8.1＋8.5＋8.6＋8.6＋8.7＋9.16＝8.6所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数,故A错误;甲的方差s12≈0.6133,乙的方差为s22≈0.0867,故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D正确.5.若tanα＋π4＝7,则cosA.725 B.C.1225 D.答案A解析由tanα＋π可得tanα＋tanπ41−tan解得tanα＝34所以cos2α＝cos＝1−36.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C＝π3,c＝6,△ABC面积为3,D为边AB上一点,CD是∠ACB的角平分线,则CDA.3 B.1C.32 D.答案B解析在△ABC中C＝π3,c＝6由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacosC,所以62＝b2＋a2－2bacosπ所以36＝b2＋a2－ba,又△ABC面积为3,所以12basinπ3＝3所以36＝b2＋a2－ba＝(a＋b)2－3×4,所以a＋b＝43,因为CD是∠ACB的角平分线,C＝π3所以∠ACD＝∠DCB＝π6因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC,所以12AC·CDsin∠ACD＋12BC·CDsin∠BCD＝12AC·CBsin所以12b·CDsinπ6＝12basin所以b·CD＋a·CD＝43,所以(b＋a)·CD＝43,所以CD＝1.7.已知正四棱锥的侧棱长为33,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为()A.1 B.3C.2 D.3答案D解析设底面边长为a(a>0),则高h＝(33由h>0,所以0<a<36,所以体积V＝13a2h＝1设f(a)＝27a4－12a6,a∈(0,36)则f'(a)＝108a3－3a5＝3a3(6＋a)(6－a),所以当0<a<6时,f'(a)>0,所以f(a)在(0,6)上单调递增;当6<a<36时,f'(a)<0,所以f(a)在(6,36)上单调递减;所以当a＝6时f(a)取得极大值,即为最大值,此时该棱锥的体积最大,此时h＝27−68.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N12,14,记函数f(x)＝P(ξ≤x),则A.关于直线x＝12B.关于直线x＝14C.关于点12D.关于点14答案C解析由连续型随机变量ξ服从正态分布N12可得μ＝12,σ2＝14,可得μ＝12,σ所以正态密度曲线关于x＝12对称即P(ξ≤x)＝P(ξ≥1－x),由f(x)＝P(ξ≤x),可得f(x)＝P(ξ≤x)在x≤12时随着x的增加,f(x)增加较快,在x>12时随着x的增加,f(x)所以f(x)无对称轴,故A,B错误;f(x)＋f(1－x)＝P(ξ≤x)＋P(ξ≤1－x)＝P(ξ≥1－x)＋P(ξ≤1－x)＝1,所以f(x)关于点12,12成中心对称,故C正确二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0分)9.若复数z＝3−5i1−i,A.z＝4－iB.|z|＝17C.z在复平面内对应的点位于第四象限D.复数ω满足|ω|＝1,则|ω－z|的最大值为17＋1答案BCD解析复数z＝3−5i1−i＝(3−5i)(1＋i)(1−i)(1＋i)＝4－i,z＝4＋i,z＝4＋i,|z|＝42＋1＝17,z的实部为4,虚部为－1,则z在复平面内对应的点位于第四象限,故C正确;因为复数ω满足|ω|＝1,设ω在单位圆上,则|ω－z|表示ω和点z之间的距离,其最大值为z到原点的距离加半径,最大值为17＋1,故D正确.10.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n,an的前n项和为Sn,则()A.a1＝2B.数列{an}是等比数列C.Sn,S2n,S3n构成等差数列D.数列1an答案AD解析对于A,当n＝1时,可得a1＝1×21＝2,故A正确;对于B,a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n,当n≥2时,a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1,两式相减可得2n－1an＝n·2n－(n－1)·2n－1＝(n＋1)2n－1,所以an＝n＋1,当n＝1,a1＝2适合上式,所以an＝n＋1;由ana所以数列{an}不是等比数列,故B错误;对于C,由an＝n＋1可知,an－an－1＝n＋1－n＝1,所以{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,所以Sn＝2n＋n(所以S2n＝4n＋2nS3n＝6n＋3nSn＋S3n＝2n＋n(n−1)2＝8n＋5n2－2n,又2S2n＝8n＋4n2－2n,所以Sn＋S3n≠2S2n,所以Sn,S2n,S3n不构成等差数列,故C错误;对于D,1a所以T100＝1a1·a＝12－13＋13－111.下列不等式正确的是()A.eπ>πe B.－ln0.9<1C.5sin15<1 D.sin13答案ABC解析对于A,令f(x)＝lnx则f'(x)＝1−lnx当x>e时,f'(x)<0,则函数f(x)在(e,＋∞)上单调递减,因为π>e,则f(π)<f(e),即lnππ<lnee,即elnπ<πlne,即lnπe<lneπ,所以πe对于B,令g(x)＝x－ln(x＋1),则g'(x)＝1－1x当x>0时,g'(x)＝xx＋1即函数g(x)在(0,＋∞)上为增函数,所以g19＝19－ln10即19>ln109＝－ln0.9,B对于C,令h(x)＝x－sinx,0<x<1,则h'(x)＝1－cosx>0对任意的x∈(0,1)恒成立,所以函数h(x)在(0,1)上为增函数,因为15∈(0,1)则h15＝15－sin1所以5sin15<1,C正确对于D,令p(x)＝sinx－x＋x36,0<x<1,则p'(x)＝cosx－1＋令q(x)＝cosx－1＋x2由C可知,q'(x)＝x－sinx＝h(x)>h(0)＝0对任意的x∈(0,1)恒成立,所以函数q(x)在(0,1)上单调递增,则p'(x)＝q(x)>q(0)＝0,则函数p(x)在(0,1)上单调递增,因为13∈(0,1),则p13＝sin13－13＋1162＝sin1又因为53162－1π＝53π−162162π>53×3.14−162162π＝166.42−162162π>0三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.若双曲线x2－y2m＝1的离心率为2,则m的值为答案3解析依题意可得a2＝1,b2＝m,∴c2＝1＋m,∴c2a2＝1＋m＝4,13.为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y＝N1＋Ny0−1e−px,其中N为饱和度,y0为初始值,p为年增长率.若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,(结果四舍五入保留到整数,参考数据:e－0.5≈0.61,e－0.6≈0.55,e－0.7≈0.49)答案36解析根据题意,所给模型中y0＝20,N＝1020,p＝10%＝0.1,x＝6,则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y＝1因为e－0.6≈0.55,所以y＝10201＋50e所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块.14.在各棱长均相等的正四面体PABC中,取棱PC上一点T,使PT＝2TC,连接TA,TB,三棱锥T－PAB的内切球的球心为M,三棱锥T－ABC的内切球的球心为N,则平面MAB与平面NAB的夹角的正弦值是.

答案3解析设三棱锥T－PAB的内切球分别与平面PAB、平面TAB相切于D,E两点,易知PA＝PB,TA＝TB,易知DP平分∠APB,ET平分∠ATB,取AB中点为Q,则M在∠PQT的平分线上,同理三棱锥T－ABC的内切球球心N在∠TQC的角平分线上,易知AB⊥平面PQC,故MQ⊥AB,同理NQ⊥AB,于是∠MQN为平面MAB与平面NAB的夹角的平面角,设正四面体棱长为3a,则QP＝QC＝332a,PC＝3a,∠MQN＝12所以sin∠MQN＝12四、解答题(本题共13分.考查方向:立几)15.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝AC＝2,AA1＝4,AB⊥AC,AA1上的点E满足BE⊥AB1.(1)求证:BE⊥平面AB1C;(2)求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值.(1)证明因为CA⊥AB,CA⊥A1A,AA1∩AB＝A,AB,AA1⊂平面ABB1A1,所以CA⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A,所以CA⊥BE,又因为BE⊥AB1,AB1,CA⊂平面AB1C,且AB1∩AC＝A,BE⊥平面AB1C.(2)解以A为