26年广东省江门市鹤山市昆仑学校高一下册期中考试数学试题（附答案）

/数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设等比数列的前项和为．若，，则（）A.18 B.21 C.63 D.642.已知函数，则（）A.0 B. C.1 D.3.在等差数列中，，，则的值为（）A.13 B.14 C.16 D.174.在曲线上的点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（）A.12 B.14 C.16 D.246.已知函数在处取得极大值，则（）A.0 B.12 C.16 D.967.在的展开式中，项的系数为（）A.252 B.210 C.126 D.1208.当，满足，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列命题正确的有（）A.若，则B.已知函数，若，则C.若，则D.曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是10.在等差数列中，，，前n项和为，则正确的有（）A. B. C. D.11.某学校高二年级数学课外活动小组中有男生6人，女生4人，则下列说法正确的是（）A.若从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，则有90种不同的选法B.若从中选4人参加数学建模比赛，其中男、女生各2人，则有90种不同的选法C.若从中选5人参加数学建模比赛，其中学生甲一定要参加，则有252种不同的选法D.若从中选5人参加数学建模比赛，其中至少一名女生，共有246种不同的选法三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.由0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成__________个无重复数字的四位数.13.的展开式中的系数为，则的值为___________．14.已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________.四、解答题（本大题共5题，第15题13分，第16～17题每题15分，第18～19题每题17分，共77分）15.已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，（1）求；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式中系数最大的项．16.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数.（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；（2）两个唱歌节目不相邻；（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．17.已知数列的首项，前项和为，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）求函数的零点个数．19.在数列中，设，，（1）若数列是公比为q的等比数列，求证：，，成等比数列，并求这个数列的公比．（2）推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明．

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设等比数列的前项和为．若，，则（）A.18 B.21 C.63 D.64答案：B解析：解答过程：当，，又，.2.已知函数，则（）A.0 B. C.1 D.答案：A解析：解答过程：因为，所以.3.在等差数列中，，，则的值为（）A.13 B.14 C.16 D.17答案：A解析：解答过程：在等差数列中，，则.4.在曲线上的点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：，，所以过点的切线方程为：，即.5.小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（）A.12 B.14 C.16 D.24答案：B解析：思路：根据分类加法计数原理即可求解.解答过程：根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式．故选：B6.已知函数在处取得极大值，则（）A.0 B.12 C.16 D.96答案：A解析：思路：求导后利用极值点处导数为零求出参数，再验证后计算可得.解答过程：因为，由题意，所以或，经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.故选：A.7.在的展开式中，项的系数为（）A.252 B.210 C.126 D.120答案：B解析：思路：根据二项式定理可得的展开式中项的系数为，再结合组合数的性质即可得解.解答过程：的展开式的通项为，则的展开式中项的系数为，所以的展开式中项的系数为．故选：B．8.当，满足，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和取值范围的分析，得到在上恒成立.再分离参数得，，设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最大值即可.解答过程：由.设，，则.又因为，，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时，所以.因为，所以，.设，，则，.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以.即实数的最小值为.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列命题正确的有（）A.若，则B.已知函数，若，则C.若，则D.曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是答案：BC解析：解答过程：选项A：是常数，常函数的导数为0，故A错误。选项B：由复合函数求导法则得，令，即，故B正确。选项C：对求导得，故C正确。选项D：求导得，即切线斜率，结合倾斜角，得，故D错误。10.在等差数列中，，，前n项和为，则正确的有（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断.解答过程：根据题意，等差数列中，，，可得，解得，由于，A正确；，B错误；，所以，C正确；，D正确.11.某学校高二年级数学课外活动小组中有男生6人，女生4人，则下列说法正确的是（）A.若从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，则有90种不同的选法B.若从中选4人参加数学建模比赛，其中男、女生各2人，则有90种不同的选法C.若从中选5人参加数学建模比赛，其中学生甲一定要参加，则有252种不同的选法D.若从中选5人参加数学建模比赛，其中至少一名女生，共有246种不同的选法答案：ABD解析：解答过程：总人数有人.A：有序选取，，A正确.B：男生选2人、女生选2人，，B正确.C：甲必选，剩余9人选4人，，C错误.D：个人任意选人有种，人全选男生有种，所以至少一名女生的选择法有种，D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.由0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成__________个无重复数字的四位数.答案：300解析：思路：利用分步计数原理，先确定不能为0的千位数字，再排列剩余三位的无重复数字，即可计算总个数.解答过程：要组成无重复数字的四位数，按数位分步计算：1.确定千位：四位数千位不能为0，因此从1，2，3，4，5共5个数字中选1个，有种选法；2.确定百位、十位、个位：从选择千位后剩余的5个数字（包含0）中任选3个做无重复排列，有种排法；根据分步乘法计数原理，符合要求的四位数总个数为.13.的展开式中的系数为，则的值为___________．答案：解析：思路：根据二项展开式通项公式直接构造方程求解即可.解答过程：展开式通项为：，令，则；令，则；展开式中的系数为，解得：.故答案为：.14.已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________.答案：解析：思路：由函数是单调递增函数，得恒成立，分离参数，得.通过求的最大值，求得的取值范围，从而得到的最小值.解答过程：函数的定义域为..因为函数是单调递增函数，所以即恒成立，由得，当且仅当即时等号成立.所以，所以.故的最小值是.四、解答题（本大题共5题，第15题13分，第16～17题每题15分，第18～19题每题17分，共77分）15.已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，（1）求；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式中系数最大的项．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）结合题意建立方程，求解参数即可.（2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可.（3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可.（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得.（2）由已知得，其展开式的通项为，令，解得，则展开式的常数项为.（3）由已知得展开式的通项为，则第项的系数为，设第项的系数最大，则，解得，因为是整数，所以，此时系数最大的项为.16.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数.（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；（2）两个唱歌节目不相邻；（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．答案：(1)；（2）；（3）.解析：解答过程：试题分析：（1）先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；（2）先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．试题解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法.17.已知数列的首项，前项和为，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明；（2）由分组求和及错位相减法即可求解．（1）由，①当时，，由，解得，当时，，②①-②得：，即，从而，又因为，且也满足上式，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得，则，从而，所以，，令，①则，②①-②得：，所以，又，所以．18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）求函数的零点个数．答案：（1）；（2）；（3）个．解析：思路：（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.解答过程：（1）因为，所以．所以，．所以曲线在点处的切线为；（2）因为，令，得或．列表如下：a0极大值极小值所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，当时，函数有极小值；（3）因为，，所以由（2）得，当时，，又．由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．方法提示：本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.在数列中，设，，（1）若数列是公比为q的等比数列，求证：，，成等比数列，并求这个数列的公比．（2）推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明．答案：（1）证明见解析，公比为（2）猜想：在公比为的等比数列中，设，，，，则当时成等比数列，公比为，；当时，仅在为奇数时上述结论成立.证明见解析解析：思