26年广东广州知识城中学高一下册期中教学质量监测数学试题（附答案）

/数学一、单选题1.复数的虚部是（）A.i B. C.1 D.62.向量，，若，则（）A. B.C. D.3.已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q分别为（）A. B. C. D.4.如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量（）A. B. C. D.5.已知，，与的夹角为，则（）A. B.72 C.84 D.6.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A. B. C. D.7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.8.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.B.的最大值为2C.复数在复平面内对应的点位于第二象限D.若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为二、多选题9.在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（）A. B.点在以原点为圆心，以3为半径的圆上C.若，则 D.复数对应的点位于第二象限10.在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.面积的最大值为D.若，角的平分线交于点，则11.如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（）A.翻折过程中，始终有平面平面 B.翻折过程中，的长是定值C.若，则 D.存在某个位置，使得三、填空题12.某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为__________．13.已知复数（i为虚数单位），则|z|＝__.14.在中，已知，，，点D为边的中点，则______，______.四、解答题15.已知复数，i为虚数单位．（1）当z是纯虚数时，求m的值；（2）当时，求z的模．16.已知向量，.（1）若，求在上的投影向量的坐标；（2）设，若，求向量与的夹角的余弦值.17.在中，角的对边分别为．已知，，．（1）求A的值；（2）求c的值；（3）求的值．18.如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面；（3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．19.已知三个内角的对边分别为，且，的内心、重心、外心、垂心依次记为点，如图所示．（1）求；（2）连接，并延长交边于点，用，做基底来表示；（3）被誉为“数学之王”的瑞士数学家欧拉，在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：设的外心，重心，垂心分别是，则三点共线（欧拉线），且，请运用欧拉线定理，求的值．

数学一、单选题1.复数的虚部是（）A.i B. C.1 D.6答案：D解析：思路：根据复数的概念可得.解答过程：的虚部是6.故选：D.2.向量，，若，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：运用平面向量垂直及数量积坐标运算即可.解答过程：由于向量，且，则，解得故选：D3.已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q分别为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意可得，整理得，从而，求解即可.解答过程：因为是关于x的方程的一个根，所以，即，所以，解得.故选：D4.如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由对应性得是相应线段的中点，由中位线定理结合向量的线性运算可得．解答过程：解：∵，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，∴是的中位线，∴.故选：D.5.已知，，与的夹角为，则（）A. B.72 C.84 D.答案：A解析：思路：由向量数量积的定义计算即可求解.解答过程：因为，，与的夹角为，所以，则，故选：A.6.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．解答过程：作出原图形如下图所示：由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，所以平行四边形的周长是．故选：A．7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.解答过程：设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.8.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.B.的最大值为2C.复数在复平面内对应的点位于第二象限D.若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为答案：B解析：思路：由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可.解答过程：对于A，，A错误；对于B，，当时取等号，B正确；对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误；对于D，，，，，因此的面积为：，面积的最大值为，D错误.故选：B二、多选题9.在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（）A. B.点在以原点为圆心，以3为半径的圆上C.若，则 D.复数对应的点位于第二象限答案：CD解析：思路：对于A，根据共轭复数的概念和复数乘法的运算法则进行计算；对于B，根据题意得到点，判断到原点的距离即可；对于C，根据复数减法运算即可；对于D，根据复数除法进行计算从而得到点坐标即可判断.解答过程：对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于B，显然，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，，该复数对应的点位于第二象限，故D正确.故选：CD10.在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.面积的最大值为D.若，角的平分线交于点，则答案：BCD解析：解答过程：对于A，因为，所以，所以，又，即，则，又，所以，解得，又，故，故A错误；对于B，因为，外接圆的半径为2，所以，故B正确；对于C，因为，即，又，所以，得，当且仅当时，取等号，所以，即面积的最大值为，故C正确；对于D，由，结合，解得，由，即，解得，故D正确.11.如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（）A.翻折过程中，始终有平面平面 B.翻折过程中，的长是定值C.若，则 D.存在某个位置，使得答案：ABC解析：思路：对于A，易知为的中点，则，，再利用面面平行的判定定理，即可判断；对于B，利用等角定理得到以及（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值，即可判断；对于C，由，利用直角三角形中线定理可得，即可判断；对于D，由等角定理，根据，得到，即，即可判断.解答过程：因为E，F为中点，则，所以四边形CEFD是平行四边形，所以是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，故A正确；因为（定值），（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值，故B正确；若，则，所以，所以，故C正确；因为，所以，所以，因为在同一平面内，所以不可能垂直于，因为，所以不可能垂直于，故D错误.故选：ABC.三、填空题12.某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为__________．答案：解析：思路：根据球的体积公式计算即可求解.解答过程：由题意可得手持弹力球的半径是，故手持弹力球的体积为.13.已知复数（i为虚数单位），则|z|＝__.答案：1解析：思路：根据复数的除法运算计算得，再根据复数的模长公式可得结果.解答过程：∵，∴|z|＝1.故答案为：1.方法提示：本题考查了复数的除法运算和复数的模长公式，属于基础题.14.在中，已知，，，点D为边的中点，则______，______.答案：①.②.##解析：思路：在中，利用余弦定理求，在，中分别利用余弦定理求，，由此列方程求；在中由余弦定理求，再由同角关系求.解答过程：由余弦定理，得，即，．在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由与互补，则，所以，解得．在中，由余弦定理，得，因为，所以，所以．故答案为：；四、解答题15.已知复数，i为虚数单位．（1）当z是纯虚数时，求m的值；（2）当时，求z的模．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）根据纯虚数的定义即可求解；（2）根据模长公式即得.（1）由z是纯虚数，有，解得；（2）当时，，所以.16.已知向量，.（1）若，求在上的投影向量的坐标；（2）设，若，求向量与的夹角的余弦值.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）由已知，可得，在上的投影向量为，求解即可；（2）由可得，利用向量夹角的余弦公式求解即可.（1）因为，所以，即，因为，，所以，，所以，解得，所以，所以，，故在上的投影向量为，故在上的投影向量的坐标为；（2）因为，所以，即，所以，所以，，所以，，，故.17.在中，角的对边分别为．已知，，．（1）求A的值；（2）求c的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理化边为角再化简可求；（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.（1）已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，则，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故.18.如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面；（3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）画图见解析，截面的面积为．解析：思路：（1）连接SB，由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明；（2）由线面平行和面面平行的判定定理，即可得证；（3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，由平行四边形的判定和性质，推得截面为菱形，由对角线互相垂直，可得所求面积．解答过程：（1）证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB，由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1；（2）由EF∥DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂∥平面BDD1B1，可得EF∥∥平面BDD1B1，又由（1）可得EG∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1；（3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，可得AE∥A1N，AE＝A1N，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，可得截面AEC1M为平行四边形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝，所以截面的面积为×A1C1×ME＝××＝．19.已知三个内角的对边分别为，且，的内心、重心、外心、垂心依次记为点，如图所示．（1）求；（2）连接，并延长交边于点，用，做基底来表示；（3）被誉为“数学之王”的瑞士数学家欧拉，在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：设的外心，重心，垂心分别是，则三点共线（欧拉线），且，请运用欧拉线定理，求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先由余弦定理求出，再利用向量数量积公式求值.（2）设，其中，根据是内心，得到，从而求出，继而得到，连接，在中，平分，由