高等代数电子教案 第4章 线性方程组

PAGE1PAGE《高等代数》教学教案第4章线性方程组授课序号01教学基本指标教学课题第4章第1节线性方程组的表示方式Cramer法则（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性方程组的表示形式教学难点Cramer法则参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握线性方程组的矩阵表示形式和向量表示形式；掌握Cramer法则.教学基本内容线性方程组的表示方式一般来说,称具有下列形式的方程组为n元线性方程组的标准式:（4.1）其中都是常数,称为线性方程的系数,是未知数,也是常数,称为线性方程的常数项,方程组中所有未知数都是一次的.方程组(4.1)的一个解是指一组(n个)常数使得用替换每个方程中的后等式都成立.常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组.1.线性方程组的矩阵表示方式在(4.1)中，令则线性方程组(4.1)可以表示成(4.2)称(4.2)为线性方程组(4.1)的矩阵表达形式,为此线性方程组的系数矩阵,称为线性方程组的增广矩阵.注4.2以A作为系数矩阵的齐次线性方程组是.引理4.1设是一个线性方程组.对增广矩阵施行初等行变换得到矩阵,则两个线性方程组和同解.2，线性方程组的向量表达形式令表示的列向量组，根据分块矩阵的运算规则，由可以得到:(4.3)称(4.3)为线性方程组(4.1)的向量表达形式.Cramer法则定理4.2设为n阶可逆矩阵，对于任意的n维列向量,线性方程组有唯一解,即其中是一个n阶行列式,它是把中第j列元素用向量代替后所得.推论4.3设A为可逆矩阵,则齐次线性方程组只有零解.授课序号02教学基本指标教学课题第4章第2节齐次线性方程组（5课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点解空间与基础解系教学难点解空间和基础解系参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉解空间和基础解系的定义；掌握齐次线性方程组解的结构.教学基本内容解空间与基础解系设是一个齐次线性方程组,其中是一个矩阵.设的列向量组为则此方程组的向量表示形式为x1从(4.5)可以看出,齐次线性方程组有非零解当且仅当向量组线性相关,当且仅当.令表示齐次线性方程组的解集合,则是一个n维(列)向量集合.引理4.4数域上齐次线性方程组的解集合对于向量的加法和数乘向量运算封闭,称为解空间.引理4.5在上面的假设条件之下,方程组与方程组同解.由于的秩也是,不妨假定它的前个列向量线性无关,方程组可以表示为a11此时矩阵可逆，根据Cramer法则,对赋值,可以唯一的得到一组的值,它们依照顺序合成一个n维向量即为方程组的一个解.不妨设(4.7)其中，可以取任意数，依次取得到个解：不难看出线性无关.如果将解空间看成一个可能含有无限多个向量的向量组,我们希望这个解向量就是解空间的一个极大无关组.为此,我们只须证明方程组的任意一个解可以表示为这个解的线性组合即可.设是齐次线性方程组的一个解,则必须适合方程组,根据(4.7)可以得到：于是;这表明方程组的任一解均可表示为的线性组合,因此是方程组解空间的一个极大无关组,又称为该方程组的一个基础解系.定理4.6(齐次线性方程组解的理论)设齐次线性方程组,其中是一个矩阵.设则基础解系包含个向量.

授课序号07教学基本指标教学课题第4章第3节非齐次线性方程组（5课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点非齐次线性方程组的通解教学难点非齐次线性方程组的解参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握非齐次线性方程组的通解的定义；理解非齐次线性方程组有解的充要条件.教学基本内容一、非齐次线性方程组的通解现在考虑非齐次线性方程组其中设是一个m维列向量,它们对应一个线性方程组方程组的向量表示形式为(4.9)由(4.9)可知,方程组有解当且仅当向量组的线性组合,且表示系数组成的n维向量（依照的顺序）是方程组的一个解.令表示增广矩阵,从矩阵秩的角度,方程组有解的判定条件和解的数量可以概括为以下定理.定理4.7设为非齐次线性方程组.则以下结论成立：线性方程组有解当且仅当如果则方程组有唯一解；如果则方程组有无穷多解，为了表述方便,称齐次线性方程组为线性方程组的导出组.任取的两个解计算可得这说明是齐次线性方程组的一个解.任取的一个基础解系,再取的一个解（称为一个特解）,则方程组的解可以表示成(4.10)其中可以在数域中任意取值,称为方程组的通解.二、非齐次线性方程组的求解步骤解线性方程组步骤如下:(1)对进行初等行变换,计算仅当时方程组有解.(2)设并假定A的前行线性无关,则对施行初等行变换可将其后面的行都变为零行,从而得到原方程组的同解方程组:再不妨设此方程组系数矩阵的前列线性无关